江蘇省蘇州市第五中學高考數(shù)學總復習 第4講 隨機變量及其概率分布課件

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1、第第4講隨機變量及其概率分布講隨機變量及其概率分布 知 識 梳 理 1離散型隨機變量隨著試驗結果變化而變化的變量稱為 ，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為 隨機變量隨機變量 離散型 2離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則表稱為離散型隨機變量X的 (2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)pi0(i1,2，n)； 1Xx1x2xixnPp1p2pipn概率分布列p1p2pn 3常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，其分布列為，其中pP(X1)稱為成功概

2、率X01P1pp 辨 析 感 悟 1離散型隨機變量(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量()(2)離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1. ()(3)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的 () 2分布列的性質(zhì)及兩個特殊的概率分布(4)如果隨機變量X的分布列由下表給出：則 它 服 從 二 點 分 布 ()(5)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布()X25P0.30.7 感悟提升 1離散型隨機變量的特點一是在試驗之前不能斷言隨機變量取什么值，即具有隨機性；二是在大量重復試驗中能按一定統(tǒng)計規(guī)律取值的變量，即存在統(tǒng)計規(guī)律性

3、，如(1)、(3) 2分布列的兩條性質(zhì)離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量X的取值范圍以及取各值的概率，如(6)；要理解兩種特殊的概率分布兩點分布與超幾何分布，如(4)、(5)；并善于靈活運用兩性質(zhì)：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1檢驗分布列的正誤，如(2). 考點一離散型隨機變量分布列的性質(zhì) 【例1】 設離散型隨機變量X的分布列為求隨機變量Y|X1|的分布列解由分布列的性質(zhì)，知020.10.10.3m1，m0.3.列表X01234P0.20.10.10.3mX01234|X1|10123P(Y1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(Y0)P(X1)0.1，P(Y2)0.3

4、，P(Y3)0.3.因此Y|X1|的分布列為：Y0123P0.10.30.30.3規(guī)律方法 (1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)(2)若X是隨機變量，則Y|X1|仍然是隨機變量，求它的分布列可先求出相應隨機變量的值，再根據(jù)互斥事件概率加法求Y取各值的概率，進而寫出分布列 【訓練1】 隨機變量X的分布列如下：其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)_.X101Pabc 考點二離散型隨機變量的分布列 【例2】 (2013天津卷)一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號分別為2,3,4.從盒子中任取

5、4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望審題路線(1)編號為3的卡片來源有兩類，利用古典概型求事件的概率(2)根據(jù)任取4張卡片的不同情況確定X的所有可能取值，然后求出相應的概率，進而確定分布列、計算數(shù)學期望所以隨機變量X的分布列是規(guī)律方法 (1)求隨機變量的分布列的主要步驟：明確隨機變量的取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；求每一個隨機變量取值的概率；列成表格(2)求出分布列后注意運用分布列的兩條性質(zhì)檢驗所求的分布列是否正確 【訓練2】 (2014青島質(zhì)

6、檢)已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和(1)求X的分布列；(2)求X的數(shù)學期望E(X) 考點三超幾何分布問題 【例3】 (2014哈爾濱調(diào)研)PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物根據(jù)現(xiàn)行國家標準GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標從某自然保護區(qū)2013年全年每天的PM2.5監(jiān)測

7、數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)記X表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求X的分布列審題路線(1)由頻數(shù)分布表，知10天中僅有3天空氣質(zhì)量達到一級，利用古典概型可求第(1)問中的概率(2)超標的天數(shù)X服從超幾何分布利用超幾何分布的概率公式代入求解PM2.5日均值(微克/立方米)25,35 (35,45 (45,55 (55,65 (65,75 (75,85頻數(shù)311113規(guī)律方法 (1)求解本題的關鍵在于：從統(tǒng)計圖表中準確提取信息；明確

8、隨機變量X服從超幾何分布(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)超幾何分布的特征是：考察對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型. 1求分布列的關鍵是正確求出隨機變量的所有可能值及對應的概率，要注意避免分類不全面或計算錯誤 2注意運用分布列的兩個性質(zhì)檢驗求得分布列的正誤 3求概率分布的常見類型(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)表求離散型隨機變量的分布列；(2)由古典概型求離散型隨機變量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復試驗有k次發(fā)

9、生的概率求離散型隨機變量的分布列 思想方法12分類討論思想在概率中的應用 【典例】 在一個盒子中，放有標號分別為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為x，y，記X|x2|yx|.(1)求隨機變量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；(2)求隨機變量X的分布列反思感悟 (1)解決本題的關鍵是正確求出隨機變量的所有可能值及對應的概率(2)隨機變量X的值是x，y的函數(shù)，所以要對x，y的取值進行分類討論(3)分類不全面或計算錯誤是本題易錯點 【自主體驗】(2012江蘇卷)設X為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，X0；當兩條棱平行時，X的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，X1.求隨機變量X的分布列