江蘇省蘇州市第五中學高考數(shù)學總復習 第4講 隨機變量及其概率分布課件

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1、第第4講隨機變量及其概率分布講隨機變量及其概率分布 知 識 梳 理 1離散型隨機變量隨著試驗結果變化而變化的變量稱為 ，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為 隨機變量隨機變量 離散型 2離散型隨機變量的分布列及性質(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則表稱為離散型隨機變量X的 (2)離散型隨機變量的分布列的性質pi0(i1,2，n)； 1Xx1x2xixnPp1p2pipn概率分布列p1p2pn 3常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，其分布列為，其中pP(X1)稱為成功概

2、率X01P1pp 辨 析 感 悟 1離散型隨機變量(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量()(2)離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1. ()(3)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的 () 2分布列的性質及兩個特殊的概率分布(4)如果隨機變量X的分布列由下表給出：則 它 服 從 二 點 分 布 ()(5)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布()X25P0.30.7 感悟提升 1離散型隨機變量的特點一是在試驗之前不能斷言隨機變量取什么值，即具有隨機性；二是在大量重復試驗中能按一定統(tǒng)計規(guī)律取值的變量，即存在統(tǒng)計規(guī)律性

3、，如(1)、(3) 2分布列的兩條性質離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量X的取值范圍以及取各值的概率，如(6)；要理解兩種特殊的概率分布兩點分布與超幾何分布，如(4)、(5)；并善于靈活運用兩性質：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1檢驗分布列的正誤，如(2). 考點一離散型隨機變量分布列的性質 【例1】 設離散型隨機變量X的分布列為求隨機變量Y|X1|的分布列解由分布列的性質，知020.10.10.3m1，m0.3.列表X01234P0.20.10.10.3mX01234|X1|10123P(Y1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(Y0)P(X1)0.1，P(Y2)0.3

4、，P(Y3)0.3.因此Y|X1|的分布列為：Y0123P0.10.30.30.3規(guī)律方法 (1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)(2)若X是隨機變量，則Y|X1|仍然是隨機變量，求它的分布列可先求出相應隨機變量的值，再根據(jù)互斥事件概率加法求Y取各值的概率，進而寫出分布列 【訓練1】 隨機變量X的分布列如下：其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)_.X101Pabc 考點二離散型隨機變量的分布列 【例2】 (2013天津卷)一個盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號分別為2,3,4.從盒子中任取

5、4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望審題路線(1)編號為3的卡片來源有兩類，利用古典概型求事件的概率(2)根據(jù)任取4張卡片的不同情況確定X的所有可能取值，然后求出相應的概率，進而確定分布列、計算數(shù)學期望所以隨機變量X的分布列是規(guī)律方法 (1)求隨機變量的分布列的主要步驟：明確隨機變量的取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；求每一個隨機變量取值的概率；列成表格(2)求出分布列后注意運用分布列的兩條性質檢驗所求的分布列是否正確 【訓練2】 (2014青島質

6、檢)已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和(1)求X的分布列；(2)求X的數(shù)學期望E(X) 考點三超幾何分布問題 【例3】 (2014哈爾濱調研)PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物根據(jù)現(xiàn)行國家標準GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標從某自然保護區(qū)2013年全年每天的PM2.5監(jiān)測

7、數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質量達到一級的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)記X表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求X的分布列審題路線(1)由頻數(shù)分布表，知10天中僅有3天空氣質量達到一級，利用古典概型可求第(1)問中的概率(2)超標的天數(shù)X服從超幾何分布利用超幾何分布的概率公式代入求解PM2.5日均值(微克/立方米)25,35 (35,45 (45,55 (55,65 (65,75 (75,85頻數(shù)311113規(guī)律方法 (1)求解本題的關鍵在于：從統(tǒng)計圖表中準確提取信息；明確

8、隨機變量X服從超幾何分布(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)超幾何分布的特征是：考察對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型. 1求分布列的關鍵是正確求出隨機變量的所有可能值及對應的概率，要注意避免分類不全面或計算錯誤 2注意運用分布列的兩個性質檢驗求得分布列的正誤 3求概率分布的常見類型(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)表求離散型隨機變量的分布列；(2)由古典概型求離散型隨機變量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復試驗有k次發(fā)

9、生的概率求離散型隨機變量的分布列 思想方法12分類討論思想在概率中的應用 【典例】 在一個盒子中，放有標號分別為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為x，y，記X|x2|yx|.(1)求隨機變量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；(2)求隨機變量X的分布列反思感悟 (1)解決本題的關鍵是正確求出隨機變量的所有可能值及對應的概率(2)隨機變量X的值是x，y的函數(shù)，所以要對x，y的取值進行分類討論(3)分類不全面或計算錯誤是本題易錯點 【自主體驗】(2012江蘇卷)設X為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，X0；當兩條棱平行時，X的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，X1.求隨機變量X的分布列