【西安交通大學(xué)】【電介質(zhì)物理】【姚熹、張良瑩】【課后習(xí)題答案】

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1、第二章變化電場中的電介質(zhì)2-1什么是瞬時(shí)極化、緩慢極化？它們所對應(yīng)的微觀機(jī)制代表什么？極化對電場響應(yīng)的各種情況分別對何種極化有貢獻(xiàn)？答 案 略2-2何謂緩慢極化電流？研究它有何意義？在實(shí)驗(yàn)中如何區(qū)分自由電荷、束縛電荷隨產(chǎn)生的傳到電流？答 案 略2-3何謂時(shí)域響應(yīng)、頻域響應(yīng)？兩者的關(guān)系如何？對材料研究而言，時(shí)域、頻域的分析各由什么優(yōu)缺點(diǎn)？答 案 略2-4 已 知 某 材 料 的 極 化 弛 豫 函 數(shù) f (t)1e t /，同時(shí)材料有自由電荷傳導(dǎo) ， 其 電 導(dǎo) 率 為 ， 求 該 材 料 的 介 質(zhì) 損 耗 角 正 切 tg 。解 ：由弛豫函數(shù)f (t )1 e t / 可 知 德 拜 模

2、型極化損耗tgP ， 漏 導(dǎo) 損 耗 tg G如果交變電場的頻率為；則 tg(s)P =22stgG =(1s 2 2 )01該 材 料 的 介 質(zhì) 損 耗 正 切 為 ： tg= tg P + tg G2-5在 一 平 板 介 質(zhì) （ 厚 度 為 d ， 面 積 為 S） 上 加 一 恒 定 電 壓 V， 得到 通 過 介 質(zhì) 的 總 電 流 為 Ie Vt , 已 知 介 質(zhì) 的 光 頻 介 電 常 數(shù) 為，求單位體積內(nèi)的介質(zhì)損耗、自由電子的電導(dǎo)損耗、極化弛豫與時(shí)間的關(guān)系。若施加頻率為 的交變電場，其值又為多少 ？ 并 求 出 介 質(zhì) 極 化 弛 豫 函 數(shù) f （ t ）。解：在電場的作

3、用下（恒場）介質(zhì)中的功率損耗即為介質(zhì)損 耗電 功dAVdqVI (t )dtt()tVt)(1Vt )AVIdt(eVtet0Vdt0WAVVe VtI(t Vt)單 位 體 積 中 的 介 電 損 耗 ： wW 1(VVe Vt )dsds自由電子電導(dǎo)損耗 ：w1Vds極化弛豫損耗：wV e Vtds電導(dǎo)率：RdVsV, I0Rds電 流：Ie Vt其 中IR為傳導(dǎo)電流I reVt 為 極 化 電 流另一方面I rdQrd( sr )dPrdtdtsdtdPr( s) 0 E0 e t /dt故I r( s) 0 E0 e t /e Vt有1 , EV , (s) 0 sV 2dVdds20

4、 sV因 而 ， 加 交 變 電 場 w時(shí)：( s)r2 21極化損耗：( s)r 12 21電導(dǎo)損耗：r 2dsV00單 位 體 積 中 的 極 化 損 耗 功 率 ： Wr10 r 1E 2( s) 02 V 222d 2 (122 )V單位體積中的電導(dǎo)損耗功率：WGdsWWrWG弛 豫 函 數(shù)： f1 e t /Ve Vt2-6若 介 質(zhì) 極 化 弛 豫 函 數(shù) f (t)1 e t / ， 電 導(dǎo) 率 為 ， 其 上 施 加 電 場E(t)=0 (t0 , a為 常 數(shù) )求通過介質(zhì)的電流密度。解 ：已知： f1 e t/tD(T)0E(T )0 ( s)f ( t x ) E ( x

5、 ) dx0t0 ( s)t 1(t x ) /xdx0e00t0 (s0t0 (sdD (t )E(t )j(t)=0dt)(te t /)(e t /1)0 ( s)e t /t2-7 求德拜弛豫方程中 吸收峰的半高寬？ 吸收峰高為多少？出現(xiàn)在什么頻率點(diǎn)上？ 吸收峰中（以半高寬為范圍） 的變化為多少？占總變化量的百分之幾？解 ：令 d r0可 得m1max1 (s)d2半 高(11)( s)max( s12224可以解得23,1 (23)半高寬123(23)23由 于(s)122在 吸收峰的半高寬范圍， 的變化1(23) 1 (23)( s)( s)1 (23) 21 (23) 20.86

6、6(s)的總變化量 ( (0)( )s占總變化量的百分?jǐn)?shù) 86.6%28試對德拜方程加以變化，說明如何通過 () ，( )的測量，最后確定弛豫時(shí)間。解 ： 在極大值處1m1 ( s)2測 量 曲線測1 (2max1 ( s)2)時(shí)，對應(yīng)1sm 求m測 量曲 線 測 max1 (s) 時(shí) 對 應(yīng)m 求 弛 豫時(shí) 間 ：12m另r1,122122ss所 以 r( r) ,r,且時(shí) ， rs( r)所 以時(shí) ，很大，r可以求的( s)29已知一極性電介質(zhì)具有單弛豫時(shí)間，為了確定這一弛豫時(shí)間，對其 在一定的頻率范圍內(nèi)進(jìn)行測量（在一定的溫度下），結(jié)果表明 所對應(yīng)的頻率遠(yuǎn)高于所用的頻率，證明得到的地變化滿

7、足形式(l M 2 f 2 ) f其中2M4 2 l若介質(zhì)具有明顯的直流電導(dǎo)，若介質(zhì)沒有明顯的直流電導(dǎo)，與 f 的 變 化 關(guān) 系 記 成 對 數(shù) 形 式 更有 用 ， 為 什 么 ？解 ：已知2M 2 / 4 2l ,2 f1,1212212( )( s2 )2( s)(12 2 )12 ( s)f (1 4 2 f 2 2 )2 ( s)f (1M 2 f 2 / l )2 ( s) (lM 2 f 2 ) fl令2( s)l即() (lMf 2 ) f如果介質(zhì)有明顯的直流電導(dǎo)( s)( )2 210當(dāng)1 時(shí) ，漏導(dǎo)損耗1可 以 用 ln f 或 者 ln作 圖2-10一個(gè)以極性電介質(zhì)（單

8、弛豫）制作的電容器，在上施加一正弦交變電壓，試寫出熱損耗對頻率的函數(shù)。并證明在 極大值對應(yīng)的頻率下?lián)p耗為其極大值得一半。試問能否用上面的結(jié)果作實(shí)際測量，以確定弛豫時(shí)間 ？解：單位體積中的介質(zhì)損耗功率w E 2gE2(0 ( s) 2) E 22(12 2 )g為電容器中的介質(zhì)在交變電場下的等效電導(dǎo)率，為介質(zhì)電導(dǎo)率E為宏觀平均電場強(qiáng)度的有效值當(dāng)0 的 時(shí) 候 ， w minE 2當(dāng)?shù)?時(shí) 候 , wmax1 0 ( s)E210 ( s)E 222m ax 時(shí) ，m1，r max1 ( s)高頻下由于漏導(dǎo)很小2w10 ( s)E210 ( s) E 21wmax442不能確定弛豫時(shí)間因?yàn)楹雎粤私?/p>

9、質(zhì)中的漏導(dǎo)損耗2 11已 知 電 介 質(zhì) 靜 態(tài) 介 電 常 數(shù) s 4.5 ， 折 射 率 n1.48，溫度t125o C 時(shí) ， 極 化 弛 豫 時(shí)間 常 數(shù)11.6010 3 s ， t 2125o C 時(shí)26.5 10 6 s 。（ 1 ） 分 別 求 出 溫 度 t1 、 t2 下 ( r ) m ax 的 極 值 頻 率 f m1 ， f m2 以 及(tg )max 的 極 值 頻 率 f m1 ,f m2 .(2)分別求出在以上極值頻率下r ，r ，rr m ax ， (tg ) ， (tg ) max 。（ 3 ） 分 別 求 出 250 C ,50 Hz,10 6 Hz 時(shí)

10、 的r ，r， tg。（ 4）從這些結(jié)果可以得出什么結(jié)論？（ 5）求該電介質(zhì)極化粒子的活化能 U（設(shè)該電介質(zhì)為單弛弛豫時(shí)間）。解 ：s4.5,n = 1.48 ,n22.2,2 f（ 1）11625,625100Hzm11.610 3f m112m 216.5161.5 10 5 , f m11.51053.3104 Hz2102(tg ) max時(shí) 的 ，m11sm11s14.5894，f m1142HZ1.610 32.21m 21s6.514.52.1105f m23.3104 HZ210 62.2（2）在極值頻率下 ：mr1( s)1 (4.52.2)3.3522r max1( s)1

11、 (4.5 2.2)1.1522tgmaxs1.150.343.35rsmr2s2 4.5 2.22.964.52.2srss4.52.24.5 2.2 1.074.52.2sstg2s4.52.20.372 4.52.2（ 3 ） T 25 o C,f 150HZ,11.610 3,12 f1314110.5r (1 )(s)2.24.52.24.0412210.25(s)(4.52.2) * 0.50.92r1 )12210.25tg(1 )r (1 )0.920.23r (1 )4.04f 2106 Hz ,22 f 26.28 106 ,1 210 3r (2 )(s)2.24.52.

12、24.51221106r (2 )(s)(4.52.2) * 1032.3103122110 6tg (2 )r(2 )2.310 35104(2 )4.5r（ 4） 溫 度 越 高 ， 極 化 弛 豫 時(shí) 間 越 小 ，r max 極 值 頻 率 越 大(tg) max 的 頻 率m 大 于r max頻 率m(5)1eu / kT2011 eu / kT1 ,21 eu / kT22020ln 1ln 2u;lnln 2 0u02kT2kT1kT1T2 (ln1ln 2 )uT20.56evT1該 極 化 粒 子 的 極 化 能 U 為 0.56ev2 12某 極 性 電 介 質(zhì) s10 ，

13、2.5，在某一溫度下10 3 s ， 求 其分 別 在 頻 率 為 f50Hz,100Hz 交變 電 壓 作 用 下 ， 電 容 器 消 耗 的全部有功、無功電能中有多少被轉(zhuǎn)化為熱量。解 ： 由1 6.2850,103,10.314 ,26.28r ( 1 )(s)2.14r ( 2 ) 9.3312 2(s)1.17r ( 2 ) 2.68r ( 1 )2 211r2.1422.3%222.142.149.339.33rr1r0.814 ,2r0.3992222rrrr2r0.69722rr2 13已 知 某 極 性 液 體 電 介 質(zhì) s5 ，2.5， 在 頻 率 為 f 106 Hz下

14、溫 度 t1100o C 處 出 現(xiàn) (tg) max ， 其 粘 度 為0.06Pa s ， 試 求其 分 子 半 徑 a 。解 ：8 a 34 a 32KT2KTKTm1s,12.25 10 7msa3KT1536.8 10 30 m3 ,a11.5 10 10 m42-14在討論介質(zhì)弛豫時(shí)，介質(zhì)中有效電場和宏觀平均電場的不一致結(jié)果有什么影響？對什么結(jié)果沒有影響？解 ： 若 有 效 電 場 Ee 與 宏觀 平 均 E 一 致穩(wěn) 態(tài) 時(shí)剩余躍遷粒子書nnqEe12KT弛豫極化強(qiáng)度Prnq2 2Ee12KT弛豫時(shí)間21eu / KT0如 果 Ee 隨 時(shí) 間變 化 與 E 不 一 致 ， 穩(wěn)

15、態(tài) 時(shí)nqnEe12KTPr (1) 0Enq 2 2 ( s2)(2) E12 KT9s2 E3s2e2對n 沒 有 影 響 ，對有 影 響215何謂電介質(zhì)測量中的彌散區(qū)？彌散區(qū)的出現(xiàn)說明了什么？若某介質(zhì)有明顯的兩個(gè)彌散區(qū)，則又說明了什么？解： 在由1附近的頻率范圍，介電常數(shù)發(fā)生劇烈的變化 ,s；出現(xiàn)極大值這儀頻率稱為彌散區(qū)；彌散區(qū)的出現(xiàn)證明了極化機(jī)制中出現(xiàn)弛豫過程，造成極化能量損耗；出現(xiàn)兩個(gè)彌散區(qū)，該電介質(zhì)存在著弛豫時(shí)間不同的兩種馳豫極化機(jī)制。216試分別對下面四種弛豫分布計(jì)算，（ 在0 0,0.05, 0.5 ，1 ，10，100， 點(diǎn)），并對接過進(jìn)行討論。（1）單弛豫時(shí)間（德拜型）（

16、2 ） G(ln)c0.95 01.053 0G(ln)01.053 0 ,0.950（ 3 ） G(ln)c0.901.111 0G(ln)01.111 0 ,0.90（ 4 ） G(ln)c0.801.290G(ln)01.25 0 ,0.8 0其 中 c 滿 足G(ln)d ln10解： （1）單弛豫時(shí)間 ，德拜弛豫r ()( s)12 2r (s)2210= 00.050.51r () =s0.5(s)r () = 00.05( s)0.4( s)0.5( s)0= 10100r () =r () =0.1( s)0可 見r ( ) 從s；r ()從 0max0（2 ）f ( )c當(dāng)0

17、.95 01.053 0 的時(shí) 候 ；其 它f ( )0r ( )( s)f () d( sctg1(1.0530 ) tg1(0.95 0 )012 2)=(s) c Ar ( )(s)f ()d1220=(s) c B其中 A和 B皆為常數(shù)，且 A和 B分別為A =tg 1 (1.0530 ) tg1(0.95 0 )B =(1.0530 ) 2(0.950 ) 2ln1.05321 (1.0530)221 (0.950)2 0.9500分別代入0的值可以求的 A和 B的值，從而求的,的值；此處略同理（3）（4）的算法同上此處略217試證明：對單弛豫時(shí)間，有關(guān)系式()2(S()()對非單弛

18、豫時(shí)間的情況其關(guān)系式為() 2( s()()證明：對于單弛豫時(shí)間() 2(S()( )由德拜弛豫方程( )(s)；( )( s)12 212 2( s)(s)22(s)122； ()2 21( )2( s) 22 2()( s)證 畢(12 2)2對于非單弛豫時(shí)間( )( sf ()d；( ) ( sf ()d)2 2 )2 2 )0 (10 (1s( s)1f ()d；(s)f ()d0(122 )0(12 2 )由于對于弛豫時(shí)間f ( ) 有0f ( ) d1( s( )( )( s)21f () df ()d0 (12 2(122)0=( s) 22 2 f ( )df ( )d2 )0

19、(122 )0(12( )2( s)2f ( )d2 ) 0f ( )d2 )0(12(12比較上面兩個(gè)式子可以知道：()2( s()()218試證明：若某介質(zhì)優(yōu)兩個(gè)弛豫時(shí)間 1,2 （ 12），且權(quán)重因子相同，則*有關(guān)系式為s( )12120()( )2000 ( )證 明 ：由題意可知()( s) 1(121)21222112( )( s1122 ) (22122 112( )( s111)因 此 ：)(221222112( )1)( 2112 )s(s2212211212222=(s)(122 )22212112=( 12 )1 22 ()證 畢2-19Jonscher給 出 經(jīng) 驗(yàn) 關(guān)

20、 系( )A/1 )m(/2 )1 n(其 中 0m 1,0 n1， 求 其()的極大值() max ， 并 說 明1 ，和 m ，2 和 n分 別 決 定 了 介 質(zhì) 低 頻 端 、高 頻 端 的 形 態(tài) 。其 中 Cole Cole 圖 在 高 低 頻 端 與軸的夾角分別為(1n), m 。22答 案 略2-20某 介 質(zhì) 的 s3.5 ， n 22.7， U 01eV ， 在 交 變 電 場 的 頻 率 f10 7Hz ，溫 度 t40 o C 時(shí) 有 個(gè) tg極 大 值 ，求 tg極 大 值 。當(dāng) tg 極 大 值移 向 27 o C 時(shí) ， 求 相 應(yīng) 的 電 場 頻 率 。解：tg

21、s3.52.70.1322 3.5* 2.7sm1s1eU 0 / KT20所 以m2 0eU/ KTs0f0e U 0 / KTsln f1lnln f 2ln0 s0sU 0KT1U 0KT2ln f 2ln f 1U 011) = 14.94K(T2T1即f 2e14.943.3106 Hz40oC 的 時(shí) 候 ， tg 極 大 值 為 0.13； tg極 大 值 移 向 27 oC 時(shí) ，相應(yīng)的電場頻率為3.3 10 6 Hz2-21實(shí) 驗(yàn) 測 得 一 種 ZnO 陶 瓷 的s1300 ，900 ， 激 活 能 為 0.3eV ，且 在 17 o C 時(shí) ， 損 耗 峰 的 位 置 在

22、 10 5 Hz 附 近 ， 求（ 1）損耗峰的位置；（ 2 ） 當(dāng) 溫 度升 高 到 200 o C 時(shí) ， 損 耗 峰 的位 置 。解r max1 (s)1 (1300900) 20022在r max 處m11eU 0 / KT20m2 f20 e U 0 / KTln f1lnln f 2ln0 U 0 KT10 U 0 KT 2ln f 2U 011)ln f1(T2KT1= 16.4f 2e16.41.3 107 Hz17o C 時(shí)損 耗 峰 值 為 200 Hz200oC 時(shí)損 耗 峰 值 為 1.3 10 7 Hz2-22若某介質(zhì)有兩個(gè)分離的德拜弛豫極化過程 A和 B（ 1 ）

23、給 出 r 和 r 的 頻 率 關(guān) 系 ；（ 2 ） 作 出 一 定 溫 度 下 ， r 和 r的頻率關(guān)系曲線，并給出r 和 tg的 極 值 頻 率 ；（ 3 ） 作 出 在 一 定 溫 度 下 r 、 r 溫 度 關(guān) 系 曲 線 ；（ 4 ） 作 出 Cole Cole 圖 。解 ： 此處只給出r和 r的頻率關(guān)系 作圖略A ()n(sn )AB122AB ()(n)sn122BA ()(sn )A122AB ()(n2)B 和12B2-23一 平 板 電 容 器 ， 其 極 板 面 積 A 750cm2 ， 極 板 間 距 離 d1mm，2.1， 在 階 躍 電 壓作 用 下 電 流 i r

24、按 衰 減 函 數(shù) f (t)1 et衰 減（ 為弛豫時(shí)間），當(dāng)階躍電壓U150V 時(shí) ， i r20 10 6 e 1360t A（ 1 ） 求 在 1kHz交變電壓作用下介質(zhì)的r 、r 和 tg。（ 2 ） 求 (tg)max 及 其 極 值 頻 率 下 的r 、r。（3）若電導(dǎo)率10 9 S / m ，求 1kHz下計(jì)及漏導(dǎo)時(shí)候的r 、 r 和tg。解 ：（1）j rdPr0 ( s)E 1 e t /dtIrAj rA 0 ( s) E 1 e t /A 0 ( s) U 1 e t /d=2010 6 e 1360t1;A 0 ( s) U 1 e t /20 1061360d2f6

25、.2810 3r ()( s22) = 2.171()( s)= 0.03122tg0.030.0142.17(2)(tg ) maxs0.282s2 s0.071rss2.65rss（3）考慮漏導(dǎo)時(shí)r ()(s2 2) = 2.171( )( s)0.321220tg( s)122(10s)122= 0.152-24有一電容器C1300 pF ， tg 10.005，另一電容器 C260 pF ，tg 20.04 ， 求 該 二 電 容 器 并 聯(lián)時(shí) 的 電 容 量 C 和 tg。當(dāng) C1為300 pF 的 空 氣 電 容 器 時(shí) ， 求 與 C 2 串 聯(lián) 合 并 聯(lián) 時(shí) 的 tg。解 ：

26、串聯(lián)時(shí) ：111111CC1C 23006050所 以C = 50 pFC1 tg1C2 tg 20.034tgC2C1并 聯(lián) 時(shí)： C=C1 + C2 = 360pFC2 (1tg 22 )tg1C1 (1 tg 21 )tg 2tgC2 (1 tg 22 ) C1 (1 tg 21 )由 于 ： tg 211 tg 221tgC 2 tg 1C1 tg20.034C1C2當(dāng) C1為空氣的時(shí)r1.00059 ， C11.00059 300 3000.177串 聯(lián) 時(shí)111111所 以 C = 50pFCC1C 2300.1776050tg0.034并 聯(lián) 時(shí)：C=C1+C 2= 360.17

27、7pFtg0.0342-25對共振吸收*( )可按式（2249）表示，試從該式給出以下參 數(shù) ：（1）在吸收區(qū)， ( )取極值時(shí)對應(yīng)的頻率及其( )的對應(yīng)的 值 ；（ 2 ）0、 時(shí)對應(yīng)的 ( )；（ 3 ）( )對應(yīng)的吸收峰的位置及高度；解：（1）r 1 n0e222200 m( 02 ) 22 2n0 e2r22 ) 20 m ( 02 2令r0可 知0 (1)1/ 2；0 (1)1/ 2r ()1n0 e20m ()0r ()1n0 e20 m ()0（ 2 ）0r (0)1n0 e20 m20r ()1(3) 令r0可 知n0 e2m0r0 m 02 26從 圖 2 32 可 見 ，

28、在 吸 收 區(qū) 出 現(xiàn) 的 n1 的 區(qū) 域 ， 對 此 作 如何解釋。答 案 略思考題第二章21 具有弛豫極化的電介質(zhì)，加上電場以后，弛豫極化強(qiáng)度與時(shí)間的關(guān)系式如何描述？宏觀上表征出來的是一個(gè)什么電流？解 ： PrPrm (1e t / ) 宏 觀 上 表 征 出 來 是 一 隨 時(shí) 間 而 逐漸 衰 減 的 吸 收 電流 。22 在交變電場的作用下，實(shí)際電介質(zhì)的介電常數(shù)為什么要用復(fù)介電常數(shù)來描述。解：在交變電場的作用下，由于電場的頻率不同，介質(zhì)的種類、所處的溫度不同，介質(zhì)在電場作用下的介電行為也不同。當(dāng)介質(zhì)中存在弛豫極化時(shí)，介質(zhì)中的電感應(yīng)強(qiáng)度 D 與電場強(qiáng)度 E在 時(shí) 間 上 有 一 個(gè)

29、顯 著 的 相 位 差 ，D 將 滯 后 于 E。 Dr E 的 簡 單 表 示 不再適用了。并且電容器兩個(gè)極板的電位于真實(shí)的電荷之間產(chǎn)生相位差，對正弦交變電場來說，電容器的充電電流超前電壓的相角小于2電容器的計(jì)算不能用cr c0 的 簡 單 公 式 了 。在 D和 E之間存在相位差時(shí)，D將滯后于 E，存在一相角，就用復(fù)數(shù)來描述 D和 E的關(guān)系：*Di0 E23介質(zhì)的德拜方程為s，回答下列問題：1i（ 1 ）給出 和 的頻率關(guān)系式；（ 2 ）作出在一定溫度下的 和 的頻率關(guān)系曲線，并給出和 tg 的 極 值 頻 率 ；（ 3 ）作出在一定頻率下的 和 溫度關(guān)系曲線。解：（1）s，s12 212

30、 2（ 2 ）m1 ，m1s（3）作圖略24 依德拜理論，具有單一弛豫時(shí)間 的極性介質(zhì)，在交流電場作用下，求得極化強(qiáng)度：P P1P2(X 1X2) EXE1i式 中 ：X1X 2Xi1X1,X2分別為位移極化和轉(zhuǎn)向極化的極化率。試求復(fù)介電常數(shù)的表達(dá)式 ， tg為 多 少 ？ tg出 現(xiàn) 最 大 值 的 條 件 ， tg max 等 多 少 ？ 并 作 出 tg的關(guān)系曲線。解：按照已知條件：s1i(s)(1i )122(s) 2(122i1s )22i(s)tg2 2stg另0，可得當(dāng)s時(shí)stg max2 s2 5如何判斷電介質(zhì)是具有弛豫極化的介質(zhì)？參考課本有關(guān)章節(jié)。2 6有單一的弛豫時(shí)間 的德拜關(guān)系式，可推導(dǎo)出：2(s) 2( s)222以作縱坐標(biāo)，作橫坐標(biāo)，圓心為(s,0), 半 徑 為s作 圖 。2