《二次函數(shù)的應用(一)》教學設計與《等差數(shù)列》第1課時教學設計

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《二次函數(shù)的應用(一)》教學設計與《等差數(shù)列》第 1 課時教學設計=《二次函數(shù)的應用( 一)》 教學 設計一、學生知識狀況分析通過前面的學習，學生已經掌握了二次函數(shù)的三種表示方式和性質。學生已經經歷了由實際問題轉化為數(shù)學問題的過程，對解決這類問題有了一定處理經驗。二、教學目標知識目標：能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并能夠運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大(小)值．能力目標：1．通過分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，培養(yǎng)學生的分析判斷能力．2．通過運用二次函數(shù)的知識解決實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力．情感態(tài)度與價值觀：1．經歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，獲得利用數(shù)學方法解決實際問題的經驗，并進一步感受數(shù)學模型思想和數(shù)學的應用價值．2．能夠對解決問題的基本策略進行反思，形成個人解決問題的風格．3．進一步體會數(shù)學與人類社會的密切聯(lián)系，了解數(shù)學的價值，增進對數(shù)學的理解和學習的信心，具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力．三、教學重點1．經歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，進一步獲得利用數(shù)學方法解決實際問題的經驗，并進一步感受數(shù)學模型思想和數(shù)學知識的應用價值．2．能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并能夠運用二次函數(shù)的知識解決實際問題．四、教學難點能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系，并能運用二次函數(shù)的有關知識解決最大面積的問題．五、教學過程一、創(chuàng)設情境，引入新課 探究一：如圖，在一個直角三角形的內部作一個矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分別在兩直角邊上，AN=40m，AM=30m，(1)如果設矩形的一邊 AB=xm,那么 AD 邊的長度如何表示？(2)設矩形的面積 ym2，當 x 取何值時,y 的最大？最大值是多少？ 《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計設計目的：對于這個問題，教師將其作為例題，不論是對問題本身的分析，還是具體的解法過程，都將作出細致、規(guī)范的講解和示范。具體的過程如下：分析：(1) 要求 AD 邊的長度，即求 BC 邊的長度，而 BC 是△EBC 中的一邊，因此可以用三角形相似求出 BC．由△EBC∽△EAF，得《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計即《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計．所以 AD＝BC＝《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計(40 －x) ．(2)要求面積 y 的最大值，即求函數(shù) y＝AB·AD＝x·《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計(40－ x)的最大值，就轉化為數(shù)學問題了．y＝－《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計(x －20)2＋300．當 x＝20 時，y 最大＝300．即當 x 取 20m 時，y 的值最大，最大值是 300m2．探究二：如果把矩形改為如下圖所示的位置，其頂點 A 和頂點 D 分別在兩直角邊上,BC 在斜邊上.其他條件不變，那么矩形的最大面積是多少？ 《二次函數(shù)的應用（一） 》教學設計設計目的：通過兩種情況的分析，訓練學生的發(fā)散思維能力，關鍵是教會學生方法，也是這類問題的難點所在，即怎樣設未知數(shù)，怎樣轉化為我們熟悉的數(shù)學問題.在此基礎上對變式三進行探究，進而總結此類題型，得出解決問題的一般方法.二、例題講解某建筑物的窗戶如下圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和) 為 15m．當 x 等于多少時，窗戶通過的光線最多( 結果精確到0.01m)？此時，窗戶的面積是多少？（結果精確到 0.01m2）《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計分析：x 為半圓的半徑，也是矩形的較長邊，因此 x 與半圓面積和矩形面積都有關系．要求透過窗戶的光線最多，也就是求矩形和半圓的面積之和最大。解：∵7x ＋4y＋πx＝15，∴y＝《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計．設窗戶的面積是 S(m2)，則S＝《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計 πx2＋2xy＝《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計 πx2＋2x·《二次函數(shù)的應用（一） 》教學設計＝－3.5x2＋7.5x＝－3.5(x2 －《 二次函數(shù)的應用（一） 》教學設計 x)＝－3.5(x －《 二次函數(shù)的應用（一） 》教學設計)2＋《二次函數(shù)的應用（一） 》教學設計．∴當 x＝《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計≈1.07 時， S 最大＝《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計≈4.02 ．因此，當 x 約為 1.07m 時，窗戶通過的光線最多。此時，窗戶的面積約為 4.02m2.三、歸納總結“二次函數(shù)應用”的思路：1.理解問題;2.分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關系;3.用數(shù)學的方式表示出它們之間的關系;4.運用數(shù)學知識求解;5.檢驗結果的合理性, 給出問題的解答.四、鞏固練習習題 2.8 第 1 題《二次函數(shù)的應用（一）》教學設計 1.一根鋁合金型材長為 6m，用它制作一個“日”字型的窗框，如果恰好用完整條鋁合金型材，那么窗架的長、寬各為多少米時，窗架的面積最大？五、談談本節(jié)課你的收獲。六、布置作業(yè)：習題 2．8 2六、教學反思在課堂教學過程中，注重以學生的自主探究為主，從提出問題到解決問題，說明知識來源于生活，而又服務于生活，體現(xiàn)了理論聯(lián)系實際的教學原則。通過本節(jié)學習，學生不但從實際問題中理解數(shù)學知識，體會數(shù)學的樂趣，而且從能力上、思想上都達到一個新的境界。通過本節(jié)課的教學看到學生在計算上還存在很大問題，在這方面要注意培養(yǎng)學生的準確計算能力，同時還看到學生的潛力很大，作為教師要充分發(fā)揮學生的主觀能動性，為學生的發(fā)展提供足夠的時間和空間。《等差數(shù)列》第 1 課時教學設計《等差數(shù)列》第 1 課時教學設計本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學 5》（北師大版）第一章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時．數(shù)列是高中數(shù)學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用．等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣．同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法．【教學目標】1． 知識與技能（1）理解等差數(shù)列的定義，會應用定義判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列：（2）賬務等差數(shù)列的通項公式及其推導過程：（3）會應用等差數(shù)列通項公式解決簡單問題。2.過程與方法在定義的理解和通項公式的推導、應用過程中，培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認知規(guī)律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數(shù)與方程的思想。3.情感、態(tài)度與價值觀通過教師指導下學生的自主學習、相互交流和探索活動，培養(yǎng)學生主動探索、用于發(fā)現(xiàn)的求知精神，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中，使學生養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結的良好習慣?！窘虒W重點】①等差數(shù)列的概念；②等差數(shù)列的通項公式【教學難點】①理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義；②等差數(shù)列的通項公式的推導過程．【學情分析】我所教學的學生是我校高一（7 ）班的學生（平行班學生），經過一年的高中數(shù)學學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎較弱，學習數(shù)學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展．【設計思路】1．教法①啟發(fā)引導法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性．②分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調動學生的積極性．③講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點．2．學法引導學生首先從三個現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列概念的特點，推導出等差數(shù)列的通項公式；可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法．【教學過程】一：創(chuàng)設情境，引入新課1．從 0 開始，將 5 的倍數(shù)按從小到大的順序排列，得到的數(shù)列是什么？2．水庫管理人員為了保證優(yōu)質魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚．如果一個水庫的水位為 18m，自然放水每天水位降低 2．5m，最低降至5m．那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位（單位：m）組成一個什么數(shù)列？3．我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息．按照單利計算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）．按活期存入 10 000 元錢，年利率是 0．72%，那么按照單利，5 年內各年末的本利和（單位：元）組成一個什么數(shù)列？教師：以上三個問題中的數(shù)蘊涵著三列數(shù)．學生：1：0，5，10， 15，20，25，… ．2：18，15．5，13，10 ．5，8，5．5．3:10072，10144，10216 ， 10288，10360.（設置意圖：從實例引入,實質是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實背景, 目的是讓學生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)學模型．通過分析,由特殊到一般，激發(fā)學生學習探究知識的自主性，培養(yǎng)學生的歸納能力．二：觀察歸納，形成定義①0，5，10 ，15，20，25 ，…．②18， 15．5 ，13 ，10．5，8，5．5．③10072，10144，10216，10288，10360.思考 1 上述數(shù)列有什么共同特點？思考 2 根據(jù)上數(shù)列的共同特點，你能給出等差數(shù)列的一般定義嗎？思考 3 你能將上述的文字語言轉換成數(shù)學符號語言嗎？教師：引導學生思考這三列數(shù)具有的共同特征，然后讓學生抓住數(shù)列的特征，歸納得出等差數(shù)列概念．學生：分組討論，可能會有不同的答案：前數(shù)和后數(shù)的差符合一定規(guī)律；這些數(shù)都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定．教師引導歸納出：等差數(shù)列的定義；另外，教師引導學生從數(shù)學符號角度理解等差數(shù)列的定義．（設計意圖：通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性；使學生體會到等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點；一開始抓?。骸皬牡诙椘穑恳豁椗c它的前一項的差為同一常數(shù)”，落實對等差數(shù)列概念的準確表達．）三：舉一反三，鞏固定義1.判定下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，指出公差 d.(1)1,1,1,1,1; (2)1,0,1,0,1;(3)2,1,0,-1,-2; (4)4,7,10,13,16. 教師出示題目,學生思考回答．教師訂正并強調求公差應注意的問題．注意：公差 d 是每一項（第 2 項起）與它的前一項的差，防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒，而且公差可以是正數(shù)，負數(shù)，也可以為 0 ．（設計意圖：強化學生對等差數(shù)列“等差”特征的理解和應用）．2 思考 4:設數(shù)列 {an}的通項公式為 an=3n+1，該數(shù)列是等差數(shù)列嗎？為什么？（設計意圖：強化等差數(shù)列的證明定義法）四：利用定義，導出通項1.已知等差數(shù)列：8 ，5，2，…，求第 200 項？2.已知一個等差數(shù)列｛ an｝的首項是 a1，公差是 d，如何求出它的任意項 an 呢？教師出示問題，放手讓學生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示．根據(jù)學生在課堂上的具體情況進行具體評價、引導，總結推導方法，體會歸納思想以及累加求通項的方法；讓學生初步嘗試處理數(shù)列問題的常用方法．（設計意圖：引導學生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學生合理的推理能力．學生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點評，并及時肯定、贊揚學生善于動腦、勇于創(chuàng)新的品質，激發(fā)學生的創(chuàng)造意識．鼓勵學生自主解答，培養(yǎng)學生運算能力）五：應用通項，解決問題1 判斷 100 是不是等差數(shù)列 2， 9，16，… 的項？如果是，是第幾項？2 在等差數(shù)列 {an}中，已知 a5=10，a12=31 ，求 a1，d 和 an.3 求等差數(shù)列 3,7,11，…的第 4 項和第 10 項教師：給出問題，讓學生自己操練，教師巡視學生答題情況．學生：教師叫學生代表總結此類題型的解題思路，教師補充：已知等差數(shù)列的首項和公差就可以求出其通項公式（設計意圖：主要是熟悉公式,使學生從中體會公式與方程之間的聯(lián)系．初步認識“基本量法”求解等差數(shù)列問題．）六：反饋練習：教材 13 頁練習 1七：歸納總結：1.一個定義：等差數(shù)列的定義及定義表達式2.一個公式：等差數(shù)列的通項公式3.二個應用：定義和通項公式的應用教師：讓學生思考整理，找?guī)讉€代表發(fā)言，最后教師給出補充（設計意圖：引導學生去聯(lián)想本節(jié)課所涉及到的各個方面，溝通它們之間的聯(lián)系，使學生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念，并靈活運用基本概念．）【設計反思】本設計從生活中的數(shù)列模型導入，有助于發(fā)揮學生學習的主動性，增強學生學習數(shù)列的興趣．在探索的過程中，學生通過分析、觀察，歸納出等差數(shù)列定義，然后由定義導出通項公式，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力．本節(jié)課教學采用啟發(fā)方法，以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率．