2010-2011學(xué)年高中數(shù)學(xué) 二元一次不等式 (1)

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1、§3.3　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 §3．3.1　二元一次不等式(組)與平面區(qū)域 對點(diǎn)講練 一、二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 例1　畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域． (1)2x－y－6≥0；　(2) 解　(1)如圖1，先畫出直線2x－y－6＝0，取原點(diǎn)O(0,0)代入2x－y－6中，因?yàn)?×0－1×0－6＝－6<0，所以在直線2x－y－6＝0左上方的所有點(diǎn)(x，y)都滿足2x－y－6<0，故直線2x－y－6＝0右下方的區(qū)域就是2x－y－6>0，因此2x－y－6≥0表示直線右下方的區(qū)域(包含邊界)； 　　　圖1　　　　　　　圖2 (2)先畫出直線

2、x－y＋5＝0(畫成實(shí)線)，如圖2取原點(diǎn)O(0，0)，代入x－y＋5，因?yàn)?－0＋5＝5>0，所以原點(diǎn)在x－y＋5>0表示的平面區(qū)域內(nèi)，即x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及其右下方的點(diǎn)的集合，同理可得，x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及其右上方的點(diǎn)的集合，x≤3表示直線x＝3上及其左方的點(diǎn)的集合． 總結(jié)　不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分，但要注意是否包含邊界． ?變式訓(xùn)練1　畫出不等式組表示的區(qū)域． 解　 不等式x<3表示直線x=3左側(cè)點(diǎn)的集合；不等式2y≥x即x-2y≤0表示直線x-2y=0上及左上方點(diǎn)的集合

3、；不等式3x+2y≥6， 即3x+2y-6≥0表示直線3x+2y-6=0上及右上方點(diǎn)的集合；不等式3y0表示直線x-3y+9=0右下方點(diǎn)的集合．綜上可得，不等式組表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分． 二、平面區(qū)域的面積問題 例2　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，則平面區(qū)域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面積為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2 B．1 C. D. 解析 記 則 即 作出可行域可知

4、面積為1. 答案　B ?變式訓(xùn)練2　若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為　　　　. 答案　 解析　 如圖所示，區(qū)域A表示的平面區(qū)域?yàn)椤鱋BC內(nèi)部及其邊界組成的圖形，當(dāng)a從-2連續(xù)變化到1時掃過的區(qū)域?yàn)樗倪呅蜲DEC所圍成的區(qū)域． 又D(0,1)，B(0,2)，E，C(2,0)． S四邊形ODEC=S△OBCS△BDE=. 三、平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個數(shù)問題 例3　利用平面區(qū)域求不等式組的整數(shù)解． 分析　先畫出平面區(qū)域，再用代入法逐個驗(yàn)證． 解　把x=3代入6x+7y≤50，得 y≤4，又∵y≥2

5、，∴整點(diǎn)有：(3,2)(3,3)(3,4)； 把x=4代入6x+7y≤50，得y≤， ∴整點(diǎn)有：(4,2)(4,3)． 把x=5代入6x+7y≤50，得y≤， ∴整點(diǎn)有：(5,2)； 把x=6代入6x+7y≤50，得y≤2，整點(diǎn)有(6,2)； 把x=7代入6x+7y≤50，得y≤，與y≥2不符． ∴整數(shù)解共有7個為(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)． 總結(jié)　求某個平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)，一般采用代入驗(yàn)證法來求，要做到不漏掉任何一個整點(diǎn)． ?變式訓(xùn)練3　畫出2x-3

6、y≤3? 平面區(qū)域如圖所示： 而其中的正整數(shù)解為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)，共5組． 課堂小結(jié)： 1．二元一次不等式(組)的解集對應(yīng)著坐標(biāo)平面的一個區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)每一個點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足不等式(組)．常用特殊點(diǎn)法確定二元一次不等式表示的是直線哪一側(cè)的部分． 2．畫平面區(qū)域時，注意邊界線的虛實(shí)問題． 3．求平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個數(shù)時，要有一個明確的思路不可馬虎大意，常先確定x的范圍，再逐一代入不等式組，求出y的范圍最后確定整數(shù)解的個數(shù)． 課時作業(yè) 一、選擇題 1．已知點(diǎn)(－1,2)和(3，－3)在直線3x＋y－a＝0的兩側(cè)，則a的取值范圍是(　　)

7、 A．a(chǎn)∈(－1,6) B．a(chǎn)∈(－6,1) C．a(chǎn)∈(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．a(chǎn)∈(－∞，－6)∪(1，＋∞) 答案　A 2．如圖所示，表示滿足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的點(diǎn)(x，y)所在的區(qū)域?yàn)?　　) 答案　B 解析　不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等價于不等式組 (Ⅰ)或不等式組(Ⅱ)分別畫出不等式組(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面區(qū)域，再求并集，可得正確答案為B. 3．不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)的個數(shù)是(　　) A．2個 B．4個

8、 C．6個 D．8個 答案　C 解析　畫出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分類代入檢驗(yàn)，符合要求的點(diǎn)有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6個． 4．若平面區(qū)域D的點(diǎn)(x，y)滿足不等式組，則平面區(qū)域D的面積是(　　) A.＋ B．1＋ C.＋ D．1＋ 答案　B 解析　畫出平面區(qū)域，如圖，陰影部分面積S=1+. 5．(2009·天津?yàn)I海新區(qū)五所重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組(a為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積是9，那么實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．3＋2

9、 B．－3＋2 C．－5 D．1 答案　D 解析　區(qū)域如圖，易求得A(2,2)，B(a，a+4)，C(a，a)． S△ABC=1/2|BC|·|a+2|=(a+2)2=9，得a=1. 二、填空題 6．△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，則△ABC的內(nèi)部及邊界所對應(yīng)的二元一次不等式組是________________． 答案　 解析　 如圖直線AB的方程為x+2y1=0(可用兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式寫出) 直線AC的方程為2x+y5=0 直線BC的方程為xy+2=0 把(0,0)代入2x+y5=5<0 ∴A

10、C左下方的區(qū)域?yàn)?x＋y－5<0. ∴同理可得△ABC區(qū)域(含邊界)為. 7．不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于________． 答案　 解析　 平面區(qū)域如圖． 解 得 易得 8．已知點(diǎn)A(5，5)，過點(diǎn)A的直線l：x＝my＋n (n>0)，若可行域的外接圓的直徑為20，則實(shí)數(shù)n＝________. 答案　10 解析　 可行域如圖所示，設(shè)直線l：x=my+n的傾斜角為α， 則 又點(diǎn) 在直線 上 時， 又n>0, 不合題意，舍去， 當(dāng)時， 三、解答題 9．畫出不等式組所表示的平面區(qū)域并求其面積． 解　 如圖所示，其中的陰影部分便是欲表示的平面區(qū)域． 由 得, 同理得 而點(diǎn)B 到直線距離為 10．畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并求其中的整數(shù)解(x，y)． 解　作出平面區(qū)域，如圖所示． 可求得頂點(diǎn)坐標(biāo) 故的范圍是<，<， 其中整數(shù)是 結(jié)合圖形并經(jīng)檢驗(yàn)可得整數(shù)解有 (0,0)，(0， 1)，(1,0)，(1， 1)，(2， 2)．