2010高考數(shù)學導學練系列 排列組合與二項式定理教案 蘇教版

考綱導讀排列、組合、二項式定理1掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理、并能用它分析和解決一些簡單的應用問題2理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題3理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)性質，并能用它們解決一些簡單的應用問題4掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們計算和證明一些簡單的問題知識網(wǎng)絡組合排列組合二項式定理兩個計數(shù)原理排列排列概念排列數(shù)公式組合概念組合數(shù)公式組合數(shù)性質應用通項公式二項式定理二項式系數(shù)性質應用高考導航排列與組合高考重點考察學生理解問題、綜合運用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理分析問題和解決問題的能力及分類討論思想它是高中數(shù)學中從內(nèi)容到方法都比較獨特的一個組成部分，是進一步學習概率論的基礎知識由于這部分內(nèi)容概念性強，抽象性強，思維方法新穎，同時解題過程中極易犯“重復”或“遺漏”的錯誤，而且結果數(shù)目較大，無法一一檢驗，因此學生要學好本節(jié)有一定的難度解決該問題的關鍵是學習時要注意加深對概念的理解，掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，嚴謹而周密地去思考分析問題二項式定理是進一步學習概率論和數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識，高考重點考查展開式及通項，難度與課本內(nèi)容相當另外利用二項式定理及二項式系數(shù)的性質解決一些較簡單而有趣的小題，在高考中也時有出現(xiàn) 第1課時 兩個計數(shù)原理基礎過關1分類計數(shù)原理（也稱加法原理）：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N 種不同的方法2分步計數(shù)原理（也稱乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N 種不同的方法3解題方法：枚舉法、插空法、隔板法典型例題例1. 高三(1)、(2)、(3)班分別有學生48,50,52人(1) 從中選1人當學生代表的方法有多少種？(2) 從每班選1人組成演講隊的方法有多少種？(3) 從這150名學生中選4人參加學代會有多少種方法？(4) 從這150名學生中選4人參加數(shù)理化四個課外活動小組，共有多少種方法？解：（1）485052150種 （2）485052124800種 （3） （4）變式訓練1：在直角坐標xoy平面上，平行直線x=n，（n=0，1，2，3，4，5），y=n，（n=0，1，2，3，4，5），組成的圖形中，矩形共有（ ）A、25個 B、36個 C、100個 D、225個解：在垂直于x軸的6條直線中任意取2條，在垂直于y軸的6條直線中任意取2條，這樣的4 條直線相交便得到一個矩形，所以根據(jù)分步記數(shù)原理知道：得到的矩形共有個， 故選D。例2. (1) 將5封信投入6個信箱，有多少種不同的投法？(2) 設I1,2,3,4,5,6，A與B都是I的子集，AB1,3,5，則稱(A,B)為理想配，所有理想配共有多少種？(3) 隨著電訊事業(yè)的發(fā)展，許多地方電話號碼升位，若某地由原來7位電話號碼升為8位電話號碼，問升位后可多裝多少門電話機？(電話號碼首位不為0)解：（1）65 （2）27 （3）電話號碼首位不為0：910791068.1107變式訓練2：一個圓分成6個大小不等的小扇形，取來紅、黃、蘭、白、綠、黑6種顏色。請問：6個小扇形分別著上6種顏色有多少種不同的著色方法?從這6種顏色中任選5種著色,但相鄰兩個扇形不能著相同的顏色, 則有多少種不同的著色方法?解：6個小扇形分別著上6種不同的顏色,共有種著色方法.6個扇形從6種顏色中任選5種著色共有種不同的方法;其中相鄰兩個扇形是同一種顏色的著色方法共有;因此滿足條件的著色方法共有種著色方法.例3. 如圖A，B，C，D為海上的四個小島，現(xiàn)在要建造三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方案有（ ）DAA、8種 B、12種 C、16種 D、20種BC解：第一類：從一個島出發(fā)向其它三島各建一橋，共有=4種方法；第二類：一個島最多建設兩座橋，例如：ABCD，DCBA，這樣的兩個排列對應一種建橋方法，因此有種方法；根據(jù)分類計數(shù)原理知道共有4+12=16種方法變式訓練3：某公司招聘進8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名翻譯人員不能同時分給一個部門，另三名電腦編程人員也不能同時分給一個部門，求有多少種不同的分配方案解：用分步計數(shù)原理先分英語翻譯，再分電腦編程人員，最后分其余各人，故有2(33)336種例4. 如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連，連線上標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結點A向結點B傳遞信息，信息可以沿不同的路徑同時傳遞，則單位時間傳遞的最大信息量是（ ）A、26 B、24 C、20 D、19 3 5 12B 4 6 A 6 7612 8 解：要完成的這件事是：“從A向B傳遞信息”，完成這件事有4類辦法：第一類：1253第二類 ： 12 6 4第三類 ：12 6 7 第四類；：12 8 6可見：第一類中單位時間傳遞的最大信息量是3；第二類單位時間傳遞的最大信息量是4； 第三類單位時間傳遞的最大信息量是6；第四類單位時間傳遞的最大信息量是6。所以由分類記數(shù)原理知道共有：3+4+6+6=19，故選D變式訓練4：7個相同的小球，任意放入4個不同的盒子，則每個盒子都不空的放法有多少種？解：首先要清楚：“每個盒子都不空”的含義是“每個盒子里至少有1個球”。于是，我們采用“隔板法”來解決。在7個小球中的每兩個之間分別有6個空，我們從6個空中任意選3個分別插入3塊隔板，則這3塊隔板就把7個小球分成4部分，而且每一部分至少有1個球。即有=20種方法，又每一種分割方法都對應著一種放球的放法。所以共有20種放球放法。注；（1）本題若采取“分類討論”的方法來解決，則顯得很麻煩；大家可以試一試。（2）隔板法只能用于“各個元素不加區(qū)別”的情況，否則不能使用.兩個原理的區(qū)別在于，前者每次得到的是最后的結果，后者每次得到的是中間結果，即每次僅完成整件事情的一部分，當且僅當幾個步驟全部做完后，整件事情才算完成第2課時 排 列基礎過關1一般地說，從n個不同元素中，任取m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列排列的定義包含兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”因此當元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同時，才是同一個排列2從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個為不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Amn表示排列數(shù)公式Amn 這里mn，其中等式的右邊是 個連續(xù)的自然數(shù)相乘，最大的是 ，最小的是 3n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列，全排列數(shù)用Ann表示，它等于自然數(shù)從1到n的連乘積，自然數(shù)從1到n的連乘積叫做n的階乘，用 表示4解有約束條件的排列問題的方法有直接法、間接法、元素位置分析法、插空法、捆綁法、枚舉法、對稱法、隔板法5排列問題常用框圖來處理典型例題例1、(1) 元旦前某宿舍的四位同學各寫一張賀卡先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡的不同分配有多少種？(2) 同一排6張編號1，2，3，4，5，6的電影票分給4人，每人至少1張，至多2張，且這兩張票有連續(xù)編號，則不同分法有多少種？（3）（06湖南理14）某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，工程丁必須在工程丙完成后立即進行那么安排這6項工程的不同排法有多少種數(shù)？解：（1）分類：9種（2）假設五個連續(xù)空位為一個整元素a，單獨一個空位為一個元素b，另4人為四個元素c1、c2、c3、c4問題化為a,b,c1,c2,c3,c4的排列，條件是a,b不相鄰，共有48種；（3）將丙，丁看作一個元素，設想5個位置，只要其余2項工程選擇好位置，剩下3個位置按甲、乙（兩丁）中唯一的，故有20種變式訓練1：有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分, 將這9個球排成一列有 _ 種不同的方法.解：9個球排成一列有種排法,再除去2紅、3黃、4白的順序即可,故共有排法種。 答案:1260例25男4女站成一排，分別指出滿足下列條件的排法種數(shù)(1) 甲站正中間的排法有 種，甲不站在正中間的排法有 種(2) 甲、乙相鄰的排法有 種，甲乙丙三人在一起的排法有 種(3) 甲站在乙前的排法有 種，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相鄰）的排法有 種丙在甲乙之間（不要求一定相鄰）的排法有 種(4) 甲乙不站兩頭的排法有 種，甲不站排頭，乙不站排尾的排法種有 種(5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有 種(6) 女生互不相鄰的排法有 種，男女相間的排法有 種(7) 甲與乙、丙都不相鄰的排法有 種，甲乙丙三人有且只有兩人相鄰的排法有 種(8) 甲乙丙三人至少有1人在兩端的排法有 種(9) 甲乙之間有且只有4人的排法有 種解：(1)8！, 88！ (2) 28！,67！(3) 9！, 1, 21(4) 7!8！777！(5) 25！4！(6) 5！, 5！4！2(7) 9！28！227！, 36！2(8) 9！6！(9) 捆綁法24！ 也可用枚舉法247！ 變式訓練2：從包含甲的若干名同學中選出4人分別參加數(shù)學、物理、化學和英語競賽，每名同學只能參加一種競賽，且任2名同學不能參加同一種競賽，若甲不參加物理和化學競賽，則共有72種不同的參賽方法，問一共有多少名同學？解：5例3. 在4000到7000之間有多少個四個數(shù)字均不相同的偶數(shù) 解：分兩類類5在千位上：15280類4或6在千位上：24448故有280448728個變式訓練3：3張卡片的正反面上分別有數(shù)字0和1，3和4，5和6，當把它們拼在一起組成三位數(shù)字的時可得到多少個不同的三位數(shù)（6可做9用）解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此時有54240個這40個三位數(shù)中含數(shù)字6的有23214220個，故6可做9用時，可得三位數(shù)402060個例4. (1) 從6名短跑運動員中選4人參加4100米接力賽，問其中不跑第一棒的安排方法有多少種？(2) 一排長椅上共有10個座位，現(xiàn)有4人就坐，恰有5個連續(xù)空位的坐法有多少種？解：（1）先安排第四棒，再安排其他三棒的人選，故有5300種 60對（2）假設五個連續(xù)空位為一個元素A，B為單獨一個空位元素，另4個為元素C1，C2，C3，C4間題轉化為A，B，C1，C2，C3，C4排列，條件A，B不相鄰，有480種.變式訓練4：某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種（用數(shù)字作答）解：96小結歸納1解排列應用問題首先必須認真分析題意看能否把問題歸結為排隊（即排列）問題，較簡單的排列問題常用框圖或樹型來處理（注意也有個別問題不能用框圖來處理 如不相鄰問題等）2解有約束條件的排列問題的幾種策略a. 特殊元素，特殊位置優(yōu)先定位（也有個別例外情況，見例1）b. 相鄰問題捆綁處理不相鄰問題插空處理c. 正難則反，等價轉換3解排列應用問題思路一定要清晰，并隨時注意轉換解題角度，通過練習要認真理會解排列問題的各種方法4由于排列問題的結果一般數(shù)目較大不易直接驗證，解題時要深入分析，嚴密周詳，要防止重復和遺漏為此可用多種不同的方法求解看看結果是否相同第3課時 組 合基礎過關1一般地說，從n個不同元素中，任取m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合2排列與組合的共同點，就是都要“從n個不同元素中，任取個元素”，而不同點就是前者要“按一定的順序成一列”，而后者卻是“不論怎樣的順序并成一組”從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Cmn表示組合數(shù)公式 在求具體的組合數(shù)時，常用上面的公式，分子由連續(xù)個自然數(shù)之積，最大的數(shù)為，最小的數(shù)是，分母是，如果進行抽象的證明時，一般常用下面的公式 ，它的分子是，分母是與的積3組合數(shù)性質： 典型例題例1. 某培訓班有學生15名，其中正副班長各一名，先選派5名學生參加某種課外活動.(1) 如果班長和副班長必須在內(nèi)有多少種選派法.(2) 如果班長和副班長有且只有1人在內(nèi)有多少種派法.(3) 如果班長和副班長都不在內(nèi)有多少種派法.(4) 如果班長和副班長至少有1人在內(nèi)，有多少種派法.解；(1) 286 (2) 1430 (3) 1287(4) 1716變式訓練1：從4名男生和3名女生中選4人參加某個座談會，若這4個人中必須既有男生又有女生，則不同的選法有（ ）A140B120 C35D34 解：D例2. 從4名男生和3名女生中選出3人,分別從事三項不同的工作,若這3人中至少有1名女生,則選派方案共有( )A、108種 B、186種 C.216種 D、270種解：沒有女生的選法有, 至少有1名女生的選法有種,所以選派方案總共有：31=186種。 故選B.變式訓練2：從5位男教師和4位女教師中選出3位教師派到3個班擔任班主任(每班一位班主任)，要求這3位班主任中男女教師都要有，則不同的選派方案共有（ ）A210種B420種 C630種D840種解：B例3. (1) 把10本相同的書分給編號1,2,3的閱覽室，要求每個閱覽室分得的書數(shù)不大于其編號數(shù)，則不同的分法有多少種？(2) 以平行六面體ABCDA1B1C1D21的任意三個點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面情況有多少種？(3) 一次文藝演出中需要給舞臺上方安裝一排完全相同的彩燈15只，現(xiàn)以不同的亮燈方式來增加舞臺效果，設計者按照每次亮燈時恰好有6只是關的，且相鄰的燈不能同時關掉，兩端的燈必須要亮的要求進行設計，求有多少不同的亮燈方式？解：（1）先在編號為1，2，3的閱覽室中依次放入0，1，2本書，再用隔板法分配剩下的書有15種，（2）平行六面體中能構成三角形個數(shù)56為任取兩個有種情況，其中共面的有12，因而不共面的有12種 （3）變式訓練3：馬路上有編號為1， 2， 3， 4.10的十盞路燈，為節(jié)約用電，又不影響照明可以把其中的三盞關掉，但不能關掉相鄰的兩盞，也不能關掉兩端的路燈，則滿足條件的關燈方法種數(shù)有_種.解：20 用插排法，把七盞亮燈排成一排，七盞亮燈之間有6個間隔，再將三盞不亮的燈插入其中的3個間隔，一種插法對應一種關燈的方法，故有種關燈方法例4. 四面體的頂點和各棱中點共有10個點，(1) 在其中取4個共面的點，共有多少種不同的取法？(2) 在其中取4個不共面的點，共有多少種不同的取法解：(1)四個點共面的取法可分三類第一類：再同一個面上取，共有4個面；第二類：在一條棱上取三點，再在它所對的棱上取中點，共有6個面；第三類：在六條棱的六個中點中取，取兩對對棱的4個中點，共有3個面故有69種(2) 用間接法共141個面變式訓練4：在1， 2， 3100這100個數(shù)中任選不同的兩個數(shù)，求滿足下列條件時各有多少種不同的取法(1) 其和是3的倍數(shù) (2) 其差是3的倍數(shù)(大數(shù)減小數(shù)). (3) 相加，共有多少個不同的和. (4) 相乘，使其積為7的倍數(shù).解：(1) 1650 (2) 1617 (3) 197 (4)1295小結歸納1解有關組合應用問題時，首先要判斷這個問題是不是組合問題區(qū)別組合問題和排列問題的唯一標準是“順序”需要考慮順序的是排列問題不需要考慮順序的的才是組合問題2要注意準確理解“有且僅有” “至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義3組合問題的一般可抽象為“選派”模型來處理另外有的問題也可用框圖結合對應思想來處理。4避免重復和遺漏第4課時 排列組合綜合題基礎過關1解排列組合題中常用的方法有直接法、間接法、兩個原理、元素位置分析法、捆綁法、插空法、 枚舉法、隔板法、對稱法；常用的數(shù)學思想主要有分類討論、思想轉化、化歸思想、對應思想.2解排列組合綜合題一般要遵循以下的兩個原則(1)按元素性質進行分類(2)按事情發(fā)生的過程進行分步.3處理排列組合綜合性問題時一般方法是先取(選)后排，但有時也可以邊取(選)邊排.4對于有多個約束條件的問題，先應該深入分析每個約束條件，再綜合考慮如何分類或分步，但對于綜合性較強的問題則需要交叉使用兩個原理來解決問題.典型例題例1. 五個人站成一排，求在下列條件下的不同排法種數(shù)：（1）甲必須在排頭；（2）甲必須在排頭，并且乙在排尾；（3）甲、乙必須在兩端；（4）甲不在排頭，并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在兩端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前，并且乙在丙前；（8）甲、乙相鄰；（9）甲、乙相鄰，但是與丙不相鄰；（10）甲、乙、丙不全相鄰解析：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排頭；首先排“排頭”有種，再排其它4個位置有種，所以共有：=24種（2）甲必須在排頭，并且乙在排尾的排法種數(shù)：=6種（3）首先排兩端有種，再排中間有種，所以甲、乙必須在兩端排法種數(shù)為：=12種（4）甲不在排頭，并且乙不在排尾排法種數(shù)為：2+=78種（5）因為兩端位置符合條件的排法有種，中間位置符合條件的排法有種，所以甲、乙不在兩端排法種數(shù)為=36種（6）因為甲、乙共有2！種順序，所以甲在乙前排法種數(shù)為：2！=60種（7）因為甲、乙、丙共有3！種順序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法種數(shù)為：3！=20種（8）把甲、乙看成一個人來排有種，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰排法種數(shù)為=48種（9）首先排甲、乙、丙外的兩個有，從而產(chǎn)生3個空，把甲、乙看成一個人與丙插入這3個空中的兩個有，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰，但是與丙不相鄰排法種數(shù)為=24種（10）因為甲、乙、丙相鄰有，所以甲、乙、丙不全相鄰排法種數(shù)為=84種變式訓練1：某棟樓從二樓到三樓共10級，上樓只許一步上一級或兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則不同的上樓方法有（ ）A45種B36種 C28種D25種解：C. 8步走10級，則其中有兩步走兩級，有6步走一級一步走兩級記為a，一步走一級記為b，所求轉化為2個a和6個b排成一排，有多少種排法故上樓的方法有C28種；或用插排法例2. (1) 某校從8名教師中選派4名教師同時去4個遠地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，則不同的選派方案菜有多少處？(2) 5名乒乓選手的球隊中，有2名老隊員和3名新隊員，現(xiàn)從中選出3名隊員排成1、2、3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有一名老隊員，且1、2號中至少有1名新隊員的排法有多少種？解：（1）分類：第一為甲丙都去，第二類不去共有種（2）分類：第一類兩名老隊員都去，第二類去一名老隊員共有種變式訓練2：某班新年聯(lián)歡會原定的六個節(jié)目已安排成節(jié)目單，開演前又增加了三個新節(jié)目，如果將這三個節(jié)目插入原來的節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)是（ ）A504B210 C336D120 解：A504 故選A 例3. 已知直線ax+by+c=0中的系數(shù)a，b，c是從集合-3，-2，-1，0，1，2，3中取出的三個不同的元素，且該直線的傾斜角為銳角，請問這樣的直線有多少條？解：首先把決定“直線條數(shù)”的特征性質，轉化為對“a，b，c”的情況討論。設直線的傾斜角為，并且為銳角。則tan=0,不妨設ab,那么b0當c0時,則a有3種取法,b有3種取法,c有4種取法,并且其中任意兩條直線不重合,所以這樣的直線有334=36條當c=0時, a有3種取法,b有3種取法, 其中直線:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以這樣的直線有33-2=7條故符合條件的直線有7+36=43條變式訓練3：將5名大學生畢業(yè)生分配到某公司所屬的三個部門中去，要求每個部門至少分配一人，則不同的分配方案共有_種.解： 例4. 從集合1，2，3，20中任選3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列可以有多少個？解：a，b，c a，b，c成等差數(shù)列 要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，故滿足題設的等差數(shù)列共有AA180(個)變式訓練4：某賽季足球比賽中的計分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，一球 隊打完15場，積33分，若不考慮順序，該隊勝負平的情況共有多少種？解：設該隊勝負平的情況是：勝x場，負y場，則平15(xy)場，依題意有：x9 。故有3種情況，即勝、負、平的場數(shù)是：9，0，6；10，2，3；11，4，0小結歸納1排列組合應用題的背景豐富無特定的模式和規(guī)律可循，背景陌生時，必須認真審題，把握問題的本質特征，并善于把問題轉化為排列組合的常規(guī)模式進而求解.2排列組合應用題題形多變，但首先要弄清是有序還是無序，這是一個核心問題.3對于用直接法解較難的問題時，則采用間接法解. 基礎過關第5課時 二項式定理1(ab)n (nN)，這個公式稱做二項式定理，右邊的多項式叫做(ab)n的二項展開式，其中的系數(shù) 叫做二項式系數(shù)式中的 叫做二項展開式的通項，用Tr1表示，即通項公式Tr1 是表示展開式的第r1項2二項式定理中，二項式系數(shù)的性質有： 在二項式展開式中，與首末兩項“等距離”的兩項二項式系數(shù)相等，即： 如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大，即當n是偶數(shù)時，n+1是奇數(shù)，展開式共有n+1項，中間一項，即：第 項的二項式系數(shù)最大，為 ；當n是奇數(shù)時，n+1是偶數(shù)，展開式共有n+1項，中間兩項，即第 項及每 項，它們的二項式系數(shù)最大，為 二項式系數(shù)的和等于，即 二項展開式中，偶數(shù)項系數(shù)和等于奇數(shù)項的系數(shù)和 即 展開式中相鄰兩項的二項式系數(shù)的比是：3二項式定理主要有以下應用近似計算解決有關整除或求余數(shù)問題用二項式定理證明一些特殊的不等式和推導組合公式（其做法稱為“賦值法”）注意二項式定理只能解決一些與自然數(shù)有關的問題 楊輝三角形典型例題例1. (1) （06湖南理11）若(ax1)5的展開式中x3的系數(shù)是80，則實數(shù)a的值是 (2) （06湖北文8）在的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的有 項(3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)6展開式中x2項的系數(shù)為 解：（1）2 （2）5項 （3）35變式訓練1：若多項式, 則( )A、9 B、10 C、9 D、10解：根據(jù)左邊的系數(shù)為1,易知，左邊的系數(shù)為0,右邊的系數(shù)為, 故選D。 例2. 已知f(x)(1+x)m+(1+x)n，其中m、nN展開式中x的一次項系數(shù)為11，問m、n為何值時，含x3項的系數(shù)取得最小值？最小值是多少？ 由題意，則含x3項的系數(shù)為，當n5或6時x3系數(shù)取得最小值為30變式訓練2：分已知的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為,其中,則展開式中常數(shù)項是( )A、 45i B、 45i C、 45 D、45解析： 第三項,第五項的系數(shù)分別為,依據(jù)題意有：,整理得即解方程(n10)(n5)0則只有n=10適合題意.由,當 時,有r=8,故常數(shù)項為=45 故選D例3. 若求（）+（）+（）解：對于式子：令x=0，便得到：=1令x=1，得到=1又原式：（）+（）+（）=原式：（）+（）+（）=2004注意：“二項式系數(shù)”同二項式展開式中“項的系數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系.變式訓練3：若，則的值是（ ）AB1 C0D2解：A例4. 已知二項式，（nN）的展開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是10：1，（1）求展開式中各項的系數(shù)和（2）求展開式中系數(shù)最大的項以及二項式系數(shù)最大的項解：（1）第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是10：1，解得n=8令x=1得到展開式中各項的系數(shù)和為(1-2)=1(2) 展開式中第r項, 第r+1項,第r+2項的系數(shù)絕對值分別為,若第r+1項的系數(shù)絕對值最大,則必須滿足： 并且 ，解得5r6；所以系數(shù)最大的項為T=1792；二項式系數(shù)最大的項為T=1120變式訓練4：已知()n的第5項的二項式系數(shù)與第三項的二項系數(shù)的比是14:3，求展開式中不含x的項.求(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展開式中x2項的系數(shù).解：小結歸納1注意(ab)n及(ab)n展開式中，通項公式分別為及這里且展開式都有n+1項，在使用時要注意兩個公式的區(qū)別，求二項式的展開式中的指定項，要扣住通項公式來解決問題2二項式的展開式中二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同的概念，前者僅與二項式的指數(shù)及項數(shù)有關，與二項式無關，后者與二項式，二項式的指數(shù)及項數(shù)均有關3應用二項式定理計算一個數(shù)的乘方的近似值時，應根據(jù)題設中對精確度的要求，決定展開式中各項的取舍4求余數(shù)或證明整除問題，被除數(shù)是冪指數(shù)問題時，解決問題的關鍵是將底數(shù)轉化為除數(shù)的倍數(shù)加1或減1通過練習要仔細地去體會其中的變形技巧排列組合二項式定理章節(jié)測試題一、選擇題：1. 的展開式中的系數(shù)為（ ）A10 B5 C D11233122312.將1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都沒有重復數(shù)字，下面是一種填法，則不同的填寫方法共有（ ）A6種B12種C24種D48種3. 的展開式中的系數(shù)是（ ）A B C3 D4 4.設則中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）A2B3C4D55. 12名同學合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的總數(shù)是 ( )A B CD 6.某班級要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（ ）A.14 B.24 C.28 D.487.從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數(shù)為（ ） A.100 B.110 C.120 D.1808.某市擬從4個重點項目和6個一般項目中各選2個項目作為本年度啟動的項目，則重點項目A和一般項目B至少有一個被選中的不同選法種數(shù)是( )A15 B45 C60 D759. 展開式中的常數(shù)項為（ ） A1 B C D10. 4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（ ）ABCD11.一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（ ）A24種B36種C48種D72種12.在的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ）（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）27413.若(x+)n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)，則展開式中x4項的系數(shù)為（ ）(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 二、填空題：14.從10名男同學，6名女同學中選3名參加體能測試，則選到的3名同學中既有男同學又有女同學的不同選法共有 種（用數(shù)字作答）15. 的展開式中常數(shù)項為 ；各項系數(shù)之和為 （用數(shù)字作答）16.（x+）9展開式中x2的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答）17.記的展開式中第m項的系數(shù)為，若，則=_.18. 展開式中的常數(shù)項為 19.的展開式中的系數(shù)為 (用數(shù)字作答)20.某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種（用數(shù)字作答）21. 展開式中的系數(shù)為_。22.從甲、乙等10名同學中挑選4名參加某校公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有_種。23. 的二項展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答） 24.有4張分別標有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行如果取出的4張卡片所標的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有 種（用數(shù)字作答）25.用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是 （用數(shù)字作答) 三、解答題26由0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字。（1）能組成多少個無重復數(shù)字的四位數(shù)？（2）能組成多少個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)？（3）能組成多少個無重復數(shù)字且被25個整除的四位數(shù)？（4）組成無重復數(shù)字的四位數(shù)中比4032大的數(shù)有多少個？27已知的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列（1）求n的值；（2）求展開式中系數(shù)最大的項