高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 第63講 空間位置關(guān)系的向量解法課件 理

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1、4 (1,22)1( 24.).abkk設(shè)平面 的一個(gè)法向量是，平面 的一個(gè)法向量是， ， ，若，則( 24)(1,22)224.kkk 因?yàn)椋裕?，所以，所以解析：12 2()33 3，2,2,14,5,3.2.ABACABC 已知向量，則平面的單位法向量為()22045302 .1(12,2)12 2()33 3xyzxyzxyzyxx 設(shè)法向量為， ， ，則，得令，得，所以單位法向量為， 解析：nn10312(21,3)( 4,2).3.llxx 已知兩互相垂直的直線 ， 的方向向量分別為， ，則實(shí)數(shù)ab00,241230103xx 兩條直線垂直，即是它們的方向向量垂直，數(shù)量積等于

2、，即析，解之得解：a b0 xyz0,0,01,1,1.4()aOM xyzaxyz已知平面 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且是平面 的法向量， ， 是平面 內(nèi)的任意一點(diǎn)，則 ， ， 滿足的關(guān)系是 ea() 1,1,10.OM exyzxyz 依題意得， ，解析：平行11111111522.ABCDABC DEABFACAEEBCFAFEFABCD如圖，正方體中， 是上的點(diǎn)， 是上的點(diǎn)，且，則與平面的位置關(guān)系是111111113.ABa ADb AAcEFDBEFDBEFABCDEFABCD 取，為基底，易得而，即，且平面，所以平面解析：abcabc用向量方法證明平用向量方法證明平行與垂直問(wèn)題行與垂直問(wèn)題 1111

3、1113454121.ABCABCACBCABAADABACBCACCDB在直三棱柱中，點(diǎn) 是的中點(diǎn)求證：；平面【例 】1134590 .ABCACBCABACBCACBCCCCACBCCxyz在中，故由勾股定理知，所以、兩兩垂直如圖，以點(diǎn) 為證明：坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、分別為 軸、 軸、 軸建立空間直角坐標(biāo)系 111111110,0,03,0,00,0,40,4,00,4,4( 2,0)13,0,0(04,4)0.20,2,23(0,2)3,0,42CACBBDACBCAC BCACBCCBC BEEDEAC 則、，因?yàn)椋?所以，所以設(shè)與的交點(diǎn)為 ，則 因?yàn)椋?11111111.2.DEACDEA

4、CDECDBACCDBACCDB 所以，所以又因?yàn)槠矫?，平面?所以平面 利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以解決線線垂直、線面平行與垂直問(wèn)題，關(guān)鍵是合理建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和需要向量的坐標(biāo).本題主要考查線線垂直、線面平行的有關(guān)知識(shí)及思維能力和空間想象能力，考查應(yīng)用向量解決幾何問(wèn)題的能力. 如圖，四邊形ABCD為矩形，PA平面ABCD，PA=AD，M、N分別為PC、AB的中點(diǎn). 用向量的運(yùn)算方法證明: (1)MN平面PAD； (2)MN平面PCD.1【變式練習(xí) 】,0,0(,0)(0,0)(0,0)ABaPAADbB aC abDbPbPDHAH建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，則， 取的中點(diǎn) ，明連接證：，

5、 22(0,0)()(0)22 2 22 2(0)(0)2 22 21.2(0),0,00022aa b bb bNMHb bb bNMAHNMAHMNPADAHPADMNPADbbabbNM PDNM DCNMPD 則， ， ，所以， ， 因?yàn)?，且平面，平面，所以平面因?yàn)椋?， 所以， 所以.NMDCPDDCDMNPDC，又因?yàn)椋云矫嬗孟蛄糠椒ń馓剿饔孟蛄糠椒ń馓剿餍詥?wèn)題性問(wèn)題111111112ABCDABC DEFABBCBBMD MEFBM在棱長(zhǎng)為 的正方體中，、 分別為棱和的中點(diǎn)，試問(wèn)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，【例 】說(shuō)明理由11.1110,0,1

6、(10)(1,0)221,1,1DDxyzDEFB以為 原 點(diǎn) ， 建 立 如 圖 所 示 的 空 間直 角 坐 標(biāo) 系因 為 正 方 體 的 棱 長(zhǎng) 為 ， 所 以， ， ，解 析 ： 1111111111(1,1)(01)1(1,11)(01)21(0,1)2“”MBBMD MEBFBD MEFBD MFBD MEB 因?yàn)辄c(diǎn)在棱上， 所以可設(shè)， 所以， 因?yàn)槠矫娴某湟獥l件為且，11111111(1,11) (01)211021(1,11) (0,1)21102110,122D M EBD M FBMD MEFBMBB 所以， 且， 解得，且 因此，存在點(diǎn)，使得平面，且是的中點(diǎn) 從本例可以看

7、出，在解決一些立體幾何探索性問(wèn)題時(shí)，利用空間向量，能夠避免繁瑣的“找”“作”“證”，只需通過(guò)定量計(jì)算，就可解決問(wèn)題，降低了思維難度，易于把握，體現(xiàn)了空間向量解題的優(yōu)越性. 正方體ABCD-A1B1C1D1中，在對(duì)角線A1C上是否存在這樣的一點(diǎn)E，使BEA1D？若存在，指出點(diǎn)E的位置；若不存在，說(shuō)明理由.1【變式練習(xí) 】11,0,0(0,0)(0,0)(,0)AABADAAxyzB aDaAaC aa以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在直線為 軸、 軸、 軸建立坐標(biāo)系 設(shè)， ，解析：11111121()()(0,0)()()(0)01()0.2AEACaaaaa laAaE aaaaBEaaaaaAD

8、aaBEADBE ADaa aaEEAC 由題意，可設(shè)， ， 又， ，得， 從而， ， 若，則， 所以，解得故存在點(diǎn) ，且點(diǎn) 是的1.BEAD中點(diǎn)，使用向量方法解探索與用向量方法解探索與平行有關(guān)的問(wèn)題平行有關(guān)的問(wèn)題60221.PABCDPAABCDABCDABCPAACaPBPDaEPDPE EDPCFBFAEC空間圖形中，平面，是菱形，點(diǎn)在上，且在上是否存在一點(diǎn) ，使平面？并證明你【例3】的結(jié)論310,0,0(,0)223121(,0)(0,0)(0,0)(0)2233AADAPyzAPADxABaaCaaDaPaEaa以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、 軸，過(guò) 點(diǎn)垂直于平面的直線為 軸，

9、建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示由題設(shè)條件可得，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， ， ，解析：，2131(0)(,0)33223131(0,0)(),()2222AEaa ACaaAPa PCaaa BPaaaFPC 所以， ， ， ， ， ， 設(shè)點(diǎn) 是棱上的點(diǎn)，121131()01223131()()222231 (1)(1)(1)2233(1)2211(1)22PFPCaaaBFBPPFaaaaaaaaaBFACAEaaaa ，其中，則， ，令，得，即12122212413311(1)133aaa ，即，13113222113. .222 .BFACAEFPCBF AC AEBFAECFPCBFAEC 解

10、得，即， 亦即 是的中點(diǎn)時(shí)， ， ， 共面又平面，所以當(dāng) 是棱的中點(diǎn)時(shí)，平面 在數(shù)學(xué)命題中，結(jié)論常以“是否存在”的形式出現(xiàn)，其結(jié)果可能存在，需要找出來(lái)；可能不存在，則需要說(shuō)明理由解答這一類問(wèn)題時(shí)，先假設(shè)結(jié)論存在，若推證無(wú)矛盾，則結(jié)論存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在利用共面向量定理建立方程是本題得以解決的關(guān)鍵這種“以求代證”的方法值得仔細(xì)品味1111111111103ABCDABC DEFABC DDDC CEFAD 如圖，已知正方體中，點(diǎn) ， 分別是底面和側(cè)面的【變中心，若，求實(shí)數(shù)式練習(xí) 】的值11121,1,20,1,12,0,2( 1,01)( 2,02)01201.2EFAEFADEFA

11、D 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 ，則點(diǎn)，所以向量，由，得，解得解析：0,1,0 ( 1,01) 2,11. ,1( ,0)ABCPxyPAABCP已知點(diǎn) ， ， 的坐標(biāo)分別為，點(diǎn) 的坐標(biāo)是， 若平面， 則點(diǎn) 的坐標(biāo)是_.1,0,2(,1)( 111)2,0,1,1020121,0,2PAxyABACPAABCPAABPAACPAABxyPAACxyxyP 依題意得， ， ，若平面，則且 ，即，且 ，所以，故 點(diǎn)的坐標(biāo)是解析： (12,11)4,2,3(61,4)2. ABCABC已知點(diǎn)，則的形狀是_(5,17)(23,1)ACBCACBCABC 求得，所以，所以的形狀是直角

12、解析：三角形直角三角形1111119030133.ABCABCACBBACBCA AMCCABAM在直三棱柱中，是的中點(diǎn)求證：11116( 3 06)0,1,0( 0,0)(0,0)2(3 06)(316)0.ABAMAMABAM ABABAM 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，所以， ， ，所以，所證以明：1133.4.ABCDADEFMNBDAEBMBDANAEMNCDE如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)，分別在對(duì)角線，上，且，求證：平面3 ,3 ,3(2 ,0)0,3 ,00.ABADAFabcNMNAABBMacCDEbNM ADNMADMNCDENMCDE 立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，的長(zhǎng)度分別為，則，證明：又平面的一個(gè)法向量，所以，得因?yàn)槠矫?，所以平?1.用空間向量的方法處理位置關(guān)系問(wèn)題，關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，或恰當(dāng)?shù)剡x取基向量，將其他向量用坐標(biāo)或基向量表示，通過(guò)向量運(yùn)算，判定或證明空間元素的位置關(guān)系. 2.掌握平面的法向量的多種求法，特別注意法向量在證明線面、面面關(guān)系中的地位和作用.