代數(shù)與幾何綜合

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1、代數(shù)與幾何綜合專題 代數(shù)、幾何綜合題是初中數(shù)學(xué)中知識(shí)涵蓋面廣、綜合性最強(qiáng)的題型，它的解法多種多樣. 代數(shù)與幾何綜合題考查了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力；考查了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移整合能力；考查了運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題的能力. 例1. 生活中，有人喜歡把傳送的便條折成形狀，折疊過程是這樣的(陰影部分表示紙條的反面)，如圖1-1. Q 圖1-1 如果由信紙折成的長(zhǎng)方形紙條(圖①)長(zhǎng)為26 cm，寬為x cm，分別回答下列問題： (1)為了保證能折成圖④的形狀(即紙條兩端均超出點(diǎn)P)，試求x的取值范圍． (2)如果不但要折成圖④的形狀，而且為了美觀，希望紙條

2、兩端超出點(diǎn)P的長(zhǎng)度相等，即最終圖形是軸對(duì)稱圖形，試求在開始折疊時(shí)起點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離(用x表示)． 分析：將圖④中的紙條分別沿PM、PQ折疊，把折好的紙條打開，則得到如圖1-2所示的帶有折痕（虛線）的紙條（數(shù)學(xué)化）. 我們發(fā)現(xiàn)其中等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)正好等于紙條的寬的2倍，PM′等于5倍的紙條寬，從而可列方程求解. A P M B M′ 圖1-2 解：（1）由折紙的過程可知，要保證折后紙條兩端均超出點(diǎn)P，則必須滿足， ∴，解得； （2）∵圖④是軸對(duì)稱圖形，由紙條兩端超出點(diǎn)的長(zhǎng)度相等， 也即，折疊時(shí)起點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，而， ∴. 點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是（）cm.

3、 點(diǎn)評(píng)：本題設(shè)計(jì)精巧、頗具創(chuàng)意，以學(xué)生喜聞樂見的“折紙”為背景，展示了數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵，材料鮮活、親切，表述簡(jiǎn)明、直觀，且?guī)缀蔚滋N(yùn)豐富，極具有挑戰(zhàn)性. 既考查了圖形變換及軸對(duì)稱、方程和不等式的知識(shí)，又考查了實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)建模能力. 例2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），（其中a＞0），直線l過動(dòng)點(diǎn)M（0，m）（0＜m＜2），且與x軸平行，并與直線AC、BC分別相交于點(diǎn)D、E，P點(diǎn)在y軸上（P點(diǎn)異于C點(diǎn)）滿足PE=CE，直線PD與x軸交于點(diǎn)Q，連接PA． （1）寫出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，若△P

4、AQ是以P為頂點(diǎn)的倍邊三角形（注：若△HNK滿足HN=2HK，則稱△HNK為以H為頂點(diǎn)的倍邊三角形），求出m的值； （3）當(dāng)1＜m＜2時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使CD?AQ=PQ?DE？若能，求出m的值（用含a的代數(shù)式表示）；若不能，請(qǐng)說明理由． 分析： （1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解； （2）如答圖1所示，解題關(guān)鍵是求出點(diǎn)P、點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后利用PA=2PQ，列方程求解； （3）如答圖2所示，利用相似三角形，將已知的比例式轉(zhuǎn)化為：，據(jù)此列方程求出m的值． 解：（1）在直線解析式y(tǒng)=2x+2中，令y=0，得x=﹣1；x=0，得y=2，

5、∴A（﹣1，0），C（0，2）； （2）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，依題意畫出圖形，如答圖1所示． ∵PE=CE，∴直線l是線段PC的垂直平分線， ∴MC=MP，又C（0，2），M（0，m）， ∴P（0，2m﹣2）； 直線l與y=2x+2交于點(diǎn)D，令y=m，則x=，∴D（，m）， 設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b，則有 ，解得：k=﹣2，b=2m﹣2， ∴直線DP的解析式為：y=﹣2x+2m﹣2． 令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）． 已知△PAQ是以P為頂點(diǎn)的倍邊三角形，由圖可知，PA=2PQ， ∴，即， 整理得：（m﹣1）2=，解得：m=（＞1，不合題意，舍去）或m

6、=， ∴m=． （3）當(dāng)1＜m＜2時(shí)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使CD?AQ=PQ?DE． 依題意畫出圖形，如答圖2所示． 由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，由勾股定理得：PQ=（m﹣1）； ∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），∴AQ=m，AB=a+1； ∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=． ∵直線l∥x軸，∴△CDE∽△CAB， ∴； 又∵CD?AQ=PQ?DE，∴， ∴，即， 解得：m=． ∵1＜m＜2，∴當(dāng)0＜a≤1時(shí)，m≥2，m不存在；當(dāng)a＞1時(shí)，m=． ∴當(dāng)1＜m＜2時(shí)，若a＞1，則存在實(shí)數(shù)m=，使CD?AQ=PQ?DE；若0＜a≤

7、1，則m不存在． 點(diǎn)評(píng)： 本題涉及坐標(biāo)平面內(nèi)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、勾股定理 理解方程等知識(shí)點(diǎn)．題目綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．第（3）問中，注意比例式的轉(zhuǎn)化，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算． 自主檢測(cè) 一．填空題 1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于A、與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，且OC=AB，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則所有可能的k值為____________. 2. 如圖，A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，BC=6cm。動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)點(diǎn)B為止；點(diǎn)

8、Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)。經(jīng)過__________秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm？ 3.如圖，直線AB交雙曲線于Ａ、B，交x軸于點(diǎn)C,B為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于M，連結(jié)OA.若OM=2MC,S⊿OAC=12.則k的值為_______. （第1題） （第2題） （第3題） 4.已知整數(shù)k＜5，若△ABC的邊長(zhǎng)均滿足關(guān)于x的方程，則△ABC的周長(zhǎng)是__ ____ 二．選擇題 第1題 1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=－3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以AB

9、為邊在第一象限作正方形ABCD，點(diǎn)D在雙曲線上．將正方形沿x軸負(fù)方向平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后，點(diǎn)C恰好落在該雙曲線上，則a的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.如圖所示，在矩形ABCD中，垂直于對(duì)角線BD的直線，從點(diǎn)B開始沿著線段BD勻速平移到D．設(shè)直線l被矩形所截線段EF的長(zhǎng)度為y，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則y關(guān)于t的函數(shù)的大致圖象是（ ?。? 三．解答題 1.已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y=﹣x2+ax（a＞0），點(diǎn)A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)． （1）y1=y2，請(qǐng)說明a必為奇

10、數(shù)； （2）設(shè)a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值； （3）對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)a，是否存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代數(shù)式表示）；如果不存在，請(qǐng)說明理由． 2.如圖，已知拋物線（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，過作射線．過頂點(diǎn)平行于軸的直線交射線于點(diǎn)，在軸正半軸上，連結(jié)． （1）求該拋物線的解析式； （2）若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．問當(dāng)為何值時(shí)，四邊形分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？ x y M C D P Q O A B （3）若，動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)

11、和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位和2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿和運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，連接，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最??？并求出最小值及此時(shí)的長(zhǎng)． 3. 已知：如圖3-1，在中，，，，點(diǎn)由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（），解答下列問題： （1）當(dāng)為何值時(shí)，？ （2）設(shè)的面積為（），求與之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）是否存在某一時(shí)刻，使線段恰好把的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，說明理由； （4）如圖3-2，連

12、接，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在某一時(shí)刻，使四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說明理由． A Q C P B 圖3-1 A Q C P B 圖3-2 自主檢測(cè)參考答案 一．填空題 1. 或; 2. 或; 3. 8 ; 4. 10; 二．選擇題 1.B; 2.A 三．解答題 1.解：（1）∵點(diǎn)A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在二次函數(shù)y=﹣x2+ax（a＞0）的圖象上， ∴y1=﹣n2+an，y2=﹣（n+1）2+a（n+1）

13、 ∵y1=y2， ∴﹣n2+an=﹣（n+1）2+a（n+1） 整理得：a=2n+1 ∴a必為奇數(shù)； （2）當(dāng)a=11時(shí)，∵y1≤y2≤y3 ∴﹣n2+11n≤﹣（n+1）2+11（n+1）≤﹣（n+2）2+11（n+2） 化簡(jiǎn)得：0≤10﹣2n≤18﹣4n， 解得：n≤4， ∵n為正整數(shù)， ∴n=1、2、3、4． （3）假設(shè)存在，則BA=BC，如右圖所示． 過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作AD⊥BN于點(diǎn)D，CE⊥BN于點(diǎn)E． ∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2， ∴AD=CE=1． 在Rt△ABD與Rt△CBE中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△C

14、BE（HL）． ∴∠BAD=∠CBE，即BN為頂角的平分線． 由等腰三角形性質(zhì)可知，點(diǎn)A、C關(guān)于BN對(duì)稱， ∴BN為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)B為拋物線的頂點(diǎn)， ∴n+1=0， ∴n=﹣1． ∴存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形，n=﹣1． 2.解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)， 二次函數(shù)的解析式為： （2）為拋物線的頂點(diǎn)過作于，則， x y M C D P Q O A B N E H 當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形 當(dāng)時(shí)，四邊形是直角梯形 過作于，則 （如果沒求出可由求） 當(dāng)時(shí)，四邊形是等腰梯形 綜上所述：

15、當(dāng)t=6、5、4時(shí)，對(duì)應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形． （3）由（2）及已知，是等邊三角形 則 過作于，則 = 當(dāng)時(shí)，的面積最小值為 此時(shí) 圖3-3 B A Q P C H 3.解：（1）在Rt△ABC中，，由題意知：AP = 5－t，AQ = 2t， 若PQ∥BC，則△APQ ∽△ABC. ∴. ∴，∴． （2）過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．如圖3-3. ∵△APH ∽△ABC，∴， ∴，∴. ∴． 　 （3）若PQ把△ABC周長(zhǎng)平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ． ∴， 解得：． 若PQ把△ABC面積平分， 則， 即－＋3t=3． ∵ t=1代入上面方程不成立， ∴不存在這一時(shí)刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分． （4）過點(diǎn)P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，如圖3-4. 若四邊形是菱形，那么PQ＝PC． P ′ 圖3-4 M B A Q P C N ∵PM⊥AC于M，∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC． ∴． ∴，∴． ∴． ∴，解得：． ∴當(dāng)時(shí)，四邊形 是菱形． 此時(shí)，． 在Rt△PMC中，， ∴菱形邊長(zhǎng)為． 11