高中數(shù)學(xué)第1輪 第9章第53講 圓錐曲線的綜合應(yīng)用課件 文 新課標(biāo) （江蘇專(zhuān)版）

最值與范圍最值與范圍 22901123121lxyPPxyP在直線 ： 上任取一點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn)且以橢圓 的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓點(diǎn)在何處時(shí)，所求橢圓的長(zhǎng)軸最短？求長(zhǎng)軸最短時(shí)的橢【例】圓方程 2212111221221(3,0)1233,090(9,6)230.90,(5,4)230(5,4)()26 53 5362.451xyFFFxyFFFxyxyPxyPaPFPFabx橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)為，易求得焦點(diǎn) 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則過(guò)點(diǎn)， 的直線方程為 聯(lián)立解得易證，過(guò)點(diǎn)的橢圓長(zhǎng)軸最短 為什么？自己證明因?yàn)?，所?， 故所求橢圓【的方程為解析】2136y 本例通過(guò)平面幾何知識(shí)，利用橢圓的定義和對(duì)稱(chēng)性找到長(zhǎng)軸最短時(shí)的P點(diǎn)，從而解決問(wèn)題還可以有如下解法：設(shè)所求橢圓的方程為222222222901.,9190 xyxyyxxyaaaaaP 聯(lián)關(guān) ，進(jìn)點(diǎn)標(biāo)立消去 得于的一元二次方程令可求得 的值，而求得的坐 22222222222012121201212121(0)1(0)00.“”1112xyxabyxxbcabcabcFFFAABBxyF FFbA AB Ba我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱(chēng)為 果圓 ，其中 ，、 、是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)， 、和 、分別是 果圓 與 、 軸的交點(diǎn)若三角形是邊長(zhǎng)為 的等邊三角形【變式練習(xí)，求 果圓的方程；若，求】的取值范圍； 2222012222220112222222222222222222,0(0)(0)()12137.4444“”1(0)1(0)7322.42(22)51F cFbcFbcF FbccbFFbccabcxyxyxxacbabbabbbcaabbaabc因?yàn)?，所?， ，于是 ， 故所求 果圓 的方程為 ， 由題意，得 ，即由 ，即 ，得又解析】【2222212 4(,)225bbabaa ，所以，所以圓錐曲線的離心率圓錐曲線的離心率 222212121(00)2xyPababFFePFe PFe設(shè)點(diǎn) 是雙曲線，右支上的任意一點(diǎn)， ，分別是其左、右焦點(diǎn)，離心率為 ，若，求此雙曲線的離心率 的取【例 】值范圍121221121212222211()2122101121(1,12.PFPFaaaePFe PFPFPFPFPFeeFFFPFa eceeeee 由雙曲線的第一定義可知：，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) ， ，共線時(shí)取等號(hào) ，即，所以 ，即，故所求雙曲線的離心率 的【取值范圍是解析】 圓錐曲線中的離心率反映了圓錐曲線的形狀，也反映了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和到準(zhǔn)線的距離的關(guān)系，在實(shí)際問(wèn)題中，常與第二定義聯(lián)系在一起 22221(0)6202xyabFabABAFFBe已知橢圓+，【變式練習(xí)過(guò)左焦點(diǎn) 作傾斜角為的直線交橢圓于 ， 兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率 為_(kāi)】_.2434223.33BFBdAFAdeddde如圖，設(shè) ，點(diǎn) 到左準(zhǔn)線的距離為 ，則 ，點(diǎn) 到左準(zhǔn)線的距離 ，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得 ，【則 ，故 解析】 探究性問(wèn)題探究性問(wèn)題 222222261(0)3( 13)12().24034yxCababAlCABBClClABDxmxyymDm已知橢圓 ： +的離心率為，過(guò)右頂點(diǎn) 的直線 與橢圓 相交于 、 兩點(diǎn)，且 ， 求橢圓【和直線 的方程；記橢圓 在直線 下方的部分與線段所圍成的平面區(qū)域 含邊界 為若曲線 與有公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù) 的最小值例 】(2010南通一模卷) 222222222222222266333.( 13)1( 3)( 1)11.124.11242,0( 13)2.1abeaabyxBCabababyxCABlyx由離心率 ，得，即 又由點(diǎn) ， 在橢圓 ： + 上，得+ ,聯(lián)立解得 ， 故橢圓 的方程為+由， ， ，得【解析】直線 的方程為 222222440()(2)8(2)2 2.22220 xmxyymxmyG mrymm 曲線 ，即 ，其圓心坐標(biāo)為， ，半徑 易知它是圓心在直線 上，半徑為的動(dòng)圓由于要求實(shí)數(shù) 的最小值，故由圖可知，只需考慮的情形22min|22|2 24.24(42)60.60(24)201 2.( 1)(32)87 1.GlTmmmGllxyxyTxyDTDGBmmm設(shè)與直線 相切于點(diǎn) ，則由，得 當(dāng) 時(shí)，過(guò)點(diǎn) ， 與直線 垂直的直線的方程為 解方程組，得 ， 因?yàn)閰^(qū)域 內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值與最大值分別為 ，所以切點(diǎn)由圖可知當(dāng)過(guò)點(diǎn) 時(shí)， 取得最小值，即 ，得 本題考查了直線、橢圓、圓的方程及圓的切線等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，雖然是以橢圓為背景，但重點(diǎn)考查的是直線與圓的知識(shí)，題目立意新穎，有較好的區(qū)分度 2222 2.=1910.123xOyCyxOxyCaCCQQFOFQ在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓 與直線 相切于坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓與圓 的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離【變式練習(xí)之和為求圓 的方程；試探究圓 上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn) ，使點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn) 的距離】等于線段的長(zhǎng)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 222222()(00)()()8.|=2 2|4.20,00,08.| 4228(1mn mnCxmynCyxCmnCmnCyxCmnmnmnmnCx 設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓 的方程為 已知圓 與直線 相切，那么圓心 到該直線的距離等于圓 的半徑，則，即 又圓 與直線 切于原點(diǎn)，故將原點(diǎn)，代入圓 的方程中，得 聯(lián)立方程和組成方程組，解得故圓 的方【】程為解析222)(2)8.y 222222222525=125944,04.4(4)1614(4)16512(2)(2)6521xyaacOFQFOFFxyxxyxyy依題意知 ，所以 ，則橢圓的方程為，其半焦距 ，右焦點(diǎn)為，那么要探求是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn) ，使得該點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點(diǎn) 為圓心，半徑為 的圓 與所求的圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 通過(guò)聯(lián)立兩圓的方程，得,解得.4 12( ,)55.QFOF故存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使得該點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn) 的距離等于2221.1 012xkyk若橢圓 的離心率為，則它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是_2 2221222122.=1(ab0)xyFFabFxABABFe已知 、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò) 作垂直于 軸的直線交橢圓于 、兩點(diǎn)若為銳角三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是_( 21,1)221212123.1490 xFFyPFPFFPF設(shè) 和為雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足，則的面積是_1221222112222212121212121254|4216.90(2 5) .12.1.2xyacPFPFPFPF PFPFFPFPFPFPF PFS FPFPF PF由 ，得 ， ，所以 ，則因?yàn)?，所以?lián)立【解解得 所】以析224.3,02,01312yAFxPPAPF已知點(diǎn)、，在雙曲線 上求一點(diǎn) ，使的值最小1322.2,0|12.2121,0abcePFdPFPFddPAPFPAdPPAPAP因?yàn)?， ，所以 ，所以 設(shè)點(diǎn) 到與焦點(diǎn)相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為 ，則 ，所以所以 ，這問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在雙曲線上求點(diǎn) ，使 到定點(diǎn) 的距離與到準(zhǔn)線的距離和最小即直線垂直于準(zhǔn)線時(shí)合【題意，所以解析】225.1434xymyxm是否存在實(shí)數(shù) ，使得橢圓 上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)2211222200143()()4()431xyA xyA xyyxmxyM xyM設(shè)橢圓 上以，為端點(diǎn)的弦關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，其中【解析】點(diǎn)為，且是橢圓 內(nèi)的點(diǎn)，120120221122221212221101212121200000000022 .34()3()333()4()43113444()43(3AAAAxxxyyyxyyyxxxyxyyxxkxxyyyxkyxyM xyyxmxmymMmm從而有 ， 4 12 由,得4 12 所以由，由，在直線 上，則 ， ，222)342 13 2 131(,).43131313mmmm ，從而有 1圓錐曲線的綜合問(wèn)題包括解析法的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，與圓錐曲線相關(guān)的定值問(wèn)題、最值問(wèn)題、應(yīng)用問(wèn)題和探索性問(wèn)題圓錐曲線知識(shí)的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識(shí)與三角、函數(shù)等代數(shù)知識(shí)的橫向聯(lián)系，解綜合性問(wèn)題的分析思路與方法重要的是要善于掌握?qǐng)A錐曲線知識(shí)的縱向、橫向的聯(lián)系，努力提高解題能力 2與圓錐曲線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題的討論常用的兩種方法： (1)不等式(組)求解法：依據(jù)題意，結(jié)合圖形，列出所討論的參數(shù)適合的不等式(組)，通過(guò)解不等式(組)得出參數(shù)的變化范圍； (2)函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)，通過(guò)討論函數(shù)的值域來(lái)求參數(shù)的變化范圍 3圓錐曲線中最值的求解方法有兩種： (1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征的意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決； (2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某一明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值求函數(shù)最值常用的方法：配方法、判別式法、重要不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法 4定點(diǎn)定值問(wèn)題，所考查的數(shù)學(xué)思想主要是函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)化歸思想以及基本不等式的運(yùn)用等，并且基本上都是建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)的各種性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題關(guān)于定點(diǎn)定值問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，從兩個(gè)方面來(lái)解決問(wèn)題：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)(定值)，再證明這個(gè)點(diǎn)(值)與變量無(wú)關(guān)；(2)直接推理計(jì)算，并在計(jì)算過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)(值) .