07直線和圓

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1、概念、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié) 直線和圓 一．直線的傾斜角： 1．定義：在平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當直線與軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0； 2．傾斜角的范圍。如 （1）直線的傾斜角的范圍是____ （答：）； （2）過點的直線的傾斜角的范圍值的范圍是______ （答：） 二．直線的斜率： 1．定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即＝tan(≠90)；傾斜角為90的直線沒有斜率；（ 2．斜率公式：經(jīng)過兩點、的直線的斜率為； 3．直

2、線的方向向量，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？ 4．應(yīng)用：證明三點共線： 。如 (1) 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的____________條件 （答：既不充分也不必要）； （2）實數(shù)滿足 ()，則的最大值、最小值分別為______ （答：） 三．直線的方程： 1．點斜式：已知直線過點斜率為，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。 2．斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。 3．兩點式：已知直線經(jīng)過、兩點，則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直線。 4．截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直

3、線和過原點的直線。 5．一般式：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。如 （1）經(jīng)過點（2，1）且方向向量為=(－1,)的直線的點斜式方程是___________ （答：）； （2）直線，不管怎樣變化恒過點______ （答：）； （3）若曲線與有兩個公共點，則的取值范圍是_______ （答：） 提醒：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；(2)直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原

4、點。如過點，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有___條（答：3） 四．設(shè)直線方程的一些常用技巧： 1．知直線縱截距，常設(shè)其方程為； 2．知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)； 3．知直線過點，當斜率存在時，常設(shè)其方程為，當斜率不存在時，則其方程為； 4．與直線平行的直線可表示為； 5．與直線垂直的直線可表示為. 提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。 五．點到直線的距離及兩平行直線間的距離： （1）點到直線的距離； （2）兩平行線間的距離為。 六．直線與直線的位置關(guān)系： 1．平行（斜率）且（在軸上截距）； 2．相交；

5、 3．重合且。 提醒：（1） 、、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線與直線垂直。 如（1）設(shè)直線和，當＝_______時∥；當＝________時；當_________時與相交；當＝_________時與重合 （答：－1；；；3）； （2）已知直線的方程為，則與平行，且過點（—1，3）的直線方程是______ （答：）； （3）兩條直線與相交于第一象限，則實數(shù)的取值范圍是____ （答：）； （4）設(shè)分別是△ABC中∠A、∠B、∠

6、C所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是____ （答：垂直）； （5）已知點是直線上一點，是直線外一點，則方程＝0所表示的直線與的關(guān)系是____ （答：平行）； （6）直線過點（１，０），且被兩平行直線和所截得的線段長為9，則直線的方程是________ （答：） 七．到角和夾角公式： 1．到的角是指直線繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線重合所轉(zhuǎn)的角，且tan=()； （2）與的夾角是指不大于直角的角且tan=︱︱()。 提醒：解析幾何中角的問題常用到角公式或向量知識求解。如 已知點M是直線與軸的交點，把直線繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)45，得到的直線方程是______ （答：） 八

7、．對稱（中心對稱和軸對稱）問題——代入法：如 （1）已知點與點關(guān)于軸對稱，點P與點N關(guān)于軸對稱，點Q與點P關(guān)于直線對稱，則點Q的坐標為_______ （答：） （2）已知直線與的夾角平分線為，若的方程為，那么的方程是___________ （答：）； （3）點Ａ（４，５）關(guān)于直線的對稱點為Ｂ(－2,7)，則的方程是_________ （答：）； （4）已知一束光線通過點Ａ（－３，５），經(jīng)直線:3x－4y+4=0反射。如果反射光線通過點Ｂ（２，15），則反射光線所在直線的方程是_________ （答：）； （5）已知ΔABC頂點A(3，－１)，ＡＢ邊上的中線所在直線的方程為6

8、x+10y－59=0，∠B的平分線所在的方程為x－4y+10=0，求ＢＣ邊所在的直線方程 （答：）； （6）直線2x―y―4=0上有一點Ｐ，它與兩定點Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距離之差最大，則Ｐ的坐標是______ （答：（5,6））； （7）已知軸，，C（2，1），周長的最小值為______ （答：）。 提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。 九．簡單的線性規(guī)劃： 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域：①法一：先把二元一次不等式改寫成或的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；法二：用特殊點判斷；②無等號時用虛線表示不包含直線，有等號時用實線

9、表示包含直線；③設(shè)點，，若與同號，則P，Q在直線的同側(cè)，異號則在直線的異側(cè)。如 已知點A（—2，4），B（4，2），且直線與線段AB恒相交，則的取值范圍是__________ （答：） 2．線性規(guī)劃問題中的有關(guān)概念： ①滿足關(guān)于的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。 ②關(guān)于變量的解析式叫目標函數(shù)，關(guān)于變量一次式的目標函數(shù)叫線性目標函數(shù)； ③求目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題； ④滿足線性約束條件的解（）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域； ⑤使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解； 3．求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？①根據(jù)

10、實際問題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫出目標函數(shù)；③確定目標函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。如 （1）線性目標函數(shù)z=2x－y在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是____ （答：（－1，1））； （2）點（－２，）在直線2x－3y+6=0的上方，則的取值范圍是_________ （答：）； （3）不等式表示的平面區(qū)域的面積是_________ （答：8）； （4）如果實數(shù)滿足，則的最大值_________ （答：21） 4．在求解線性規(guī)劃問題時要注意：①將目標函數(shù)改成斜截式方程；②尋找最優(yōu)解時注意作圖規(guī)范。 十．圓的方程： 1．圓的標準方程：。 2．圓的一般方程

11、：，特別提醒：只有當時，方程才表示圓心為，半徑為的圓（二元二次方程表示圓的充要條件是什么？ （且且））； 3．圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：； 。 4．為直徑端點的圓方程如 （1）圓C與圓關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為____________ （答：）； （2）圓心在直線上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是__________ （答：或）； （3）已知是圓（為參數(shù)，上的點，則圓的普通方程為________，P點對應(yīng)的值為_______，過P點的圓的切線方程是___________ （答：；；）； （4）如果直線將圓：x2+y

12、2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么的斜率的取值范圍是__ （答：[0，2]）； （5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為____ （答：）； （6）若（為參數(shù)，，，若，則b的取值范圍是_________ （答：） 十一．點與圓的位置關(guān)系：已知點及圓， （1）點M在圓C外； （2）點M在圓C內(nèi)； （3）點M在圓C上。如 點P(5a+1,12a)在圓(x－１)２＋y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是______（答：） 十二。直線與圓的位置關(guān)系： 直線和圓有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個方面來判斷： （1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程

13、聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切； （2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O(shè)圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷。如 （1）圓與直線，的位置關(guān)系為____ （答：相離）； （2）若直線與圓切于點，則的值____ （答：2）； （3）直線被曲線所截得的弦長等于 （答：）； （4）一束光線從點A(－1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）； （5）已知是圓內(nèi)一點，現(xiàn)有以為中點的弦所在直線和直線，則 　　A．，且與圓相交 　 B．，且與圓相

14、交 　　C．，且與圓相離 D．，且與圓相離 （答：C）； （6）已知圓C：，直線L：。①求證：對，直線L與圓C總有兩個不同的交點；②設(shè)L與圓C交于A、B兩點，若，求L的傾斜角；③求直線L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程. （答：②或　?、圩铋L：，最短：） 十三．圓與圓的位置關(guān)系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則 （1）當時，兩圓外離； （2）當時，兩圓外切； （3）當時，兩圓相交； （4）當時，兩圓內(nèi)切； （5）當時，兩圓內(nèi)含。如 雙曲線的左焦點為F1，頂點為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PF1、

15、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為 （答：內(nèi)切） 十四．圓的切線與弦長： (1)切線：①過圓上一點圓的切線方程是：，過圓上一點圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）；②從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；③過兩切點的直線（即“切點弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點的直線方程；③切線長：過圓（）外一點所引圓的切線的長為（）；如 設(shè)A為圓上動點，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點的軌跡方程為__________ （答：）； （2）弦長問題：①圓的弦長的計算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；②過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當時，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。 十五．解決直線與圓的關(guān)系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!