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質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)球內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的引力為零
晉江一中物理組 莊新恭
2013-6-5
A1
A1´
A1´´
A2
A2´
A2´´
P
O
Ω
Ω
θ
θ
r1
r2
證明如下：
如圖，質(zhì)量均勻分布的球殼（綠色部分），
在其內(nèi)部任放一質(zhì)點(diǎn)P，過(guò)P作一條直線
A1A2´，以這條直線為母線，以很小的Ω
為立體角旋轉(zhuǎn)一周得兩圓錐。兩圓錐截得
兩塊“球皮”A1A1´和A2A2´，現(xiàn)證明這
兩塊“球皮”對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力的合力為零。
2、
首先，由于兩塊“球皮”很小，而且
立體角Ω很小（或者說(shuō)圓錐的頂角很?。?，
所以由圖易知，P所受兩“球皮”的引力
的方向必相反。故只須再證明P所受兩
“球皮”的引力大小相等。為此——
設(shè)P點(diǎn)所放質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，兩“球皮”
的面積分別為ΔS1和ΔS2，球殼的質(zhì)量面密度為σ，
兩“球皮”到P點(diǎn)的距離分別為r1和r2，由萬(wàn)有引力定律
可得P點(diǎn)所放質(zhì)點(diǎn)m受到的兩個(gè)引力大小分別為和
過(guò)P點(diǎn)沿兩圓錐軸線作虛線（藍(lán)色）分別交兩“球皮”于A1´´和A2´´兩點(diǎn)，這條直線與兩半徑的夾角均為θ（為什么），如圖所示?，F(xiàn)將ΔS1投影到與直線A1
3、0;´A2´´垂直的平面上，即投影到圖中過(guò)A1點(diǎn)且與直線A1´´A2´´垂直的平面上。因立體角——圓錐頂角很小，所以投影平面面積與球冠面積相等。所以投影得到一球冠，面積為ΔS1·cosθ（為什么？自己想想！）。同樣的，將ΔS2投影到過(guò)A2點(diǎn)的平面上，得到另一球冠，它的面積為ΔS2·cosθ。
根據(jù)球冠的面積公式可得與球冠對(duì)應(yīng)（的圓錐的）立體角為。顯然，這一立體角與球的半徑R、球冠的高度h均無(wú)關(guān)，僅與圓錐的頂角的一半有關(guān)。對(duì)比平面弧度角與圓的半徑無(wú)關(guān)，可以更好地加以理解。
萬(wàn)事具備，只欠——
4、
因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐的頂角相等，從而兩個(gè)立體角Ω相等，從而F1與F2大小相等。這樣，我們就證明了兩塊“球皮”ΔS1和ΔS2對(duì)放在P點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m的引力的合力為零；
而整個(gè)球殼可分解成這樣一對(duì)對(duì)的“球皮”，每一對(duì)“球皮”對(duì)放在任意點(diǎn)P的質(zhì)點(diǎn)的引力的合力均為零；所以，質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)球內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的引力為零！！
OK~~呼呼~(yú)~~
附錄：“球冠面積”與“立體角Ω”，將下圖立體想象起來(lái)。。
h
R
α
α
式中，R為球的半徑，h為球冠的高度，α為與球冠對(duì)應(yīng)的圓錐的半頂角。
專(zhuān)心---專(zhuān)注---專(zhuān)業(yè)
證明質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)球內(nèi)任一點(diǎn)的引力為零2013(共3頁(yè))
