2021年全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)及答案

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1、2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)乙卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)2（z+）+3(z-)=4+6i，則z=( ).A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.已知集合S=s|s=2n+1,nZ，T=t|t=4n+1,nZ

2、，則ST=( )A.B.S C.T D.Z3.已知命題p：xR，sinx1；命題q：xR，1，則下列命題中為真命題的是（ ）A.pqB.pqC.pqD.(pVq)4.設(shè)函數(shù)f(x)=，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為（ ）A.B.C.D.6.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）A.60種B.120種C.240種

3、D.480種7.把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(x-)的圖像，則f(x)=（ ）A.sin()B. sin()C. sin()D. sin()8.在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ）A.B.C.D.9.魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的海島算經(jīng)是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海盜的高。如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”。則海島的高AB=（

4、）.A：B：C：D：10.設(shè)a0，若x=a為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（ ）.A：abB：abC：aba2D：aba211.設(shè)B是橢圓C：（ab0）的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足，則C的離心率的取值范圍是（ ）.A：B：C：D：12.設(shè)，則（ ）.A：abcB：bcaC：bacD：cab二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知雙曲線C：（m>0）的一條漸近線為+my=0，則C的焦距為.14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-b）b，則=。15.記ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，B=60°，a2+c2=3ac，則b=.16.以圖為

5、正視圖和俯視圖，在圖中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010

6、.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為s12和s22（1） 求， s12，s22；（2） 判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果-，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.18.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點(diǎn)，且PBAM，（1） 求BC；（2） 求二面角A-PM-B的正弦值。19.（12分）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和，已知=2.（1） 證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（

7、2） 求an的通項(xiàng)公式.20.（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數(shù)y=xf（x）的極值點(diǎn)。（1） 求a；（2） 設(shè)函數(shù)g（x）=，證明：g（x）1.21.（12 分）己知拋物線C：x2=2py（p0）的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.（1）求p；（2）若點(diǎn)P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求PAB的最大值.（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，C的圓心為C（2，1），半徑為1.（1）寫(xiě)出C的一個(gè)參數(shù)方

8、程；的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）過(guò)點(diǎn)F（4,1）作C的兩條切線, 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條直線的極坐標(biāo)方程.23.選修4一5：不等式選講（10分）已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+3|.（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）6的解集；（2）若f（x）a,求a的取值范圍.2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)乙卷（參考答案）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在

9、本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回1-5 CCABD 6-10 CBBAD11-12 CB13.414.15.216.或17.解：（1）各項(xiàng)所求值如下所示=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3=x (9.7-10.0)2+ 2 x (9.8-10.0)2+ (9.9-10.0)2+ 2 X (10.0-10.0)2+ (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.

10、0)2 = 0.36,= x (10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2 = 0.4.(2)由(1)中數(shù)據(jù)得-=0.3,20.34顯然-2，所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高。18.解：（1）因?yàn)镻D平面ABCD，且矩形ABCD中，ADDC，所以以,分別為x，y，z軸正方向，D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。設(shè)BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（，1，0），P(0,0,1),所以=（t，1，-1），=（，1，0）

11、，因?yàn)镻BAM，所以=-+1=0，所以t=，所以BC=。（2）設(shè)平面APM的一個(gè)法向量為m=（x，y，z），由于=（-，0，1），則令x=，得m=（，1，2）。設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為n=（xt，yt，zt），則令=1，得n=(0,1,1).所以cos（m，n）=,所以二面角A-PM-B的正弦值為.19.（1）由已知+=2,則=Sn(n2)+=22bn-1+2=2bnbn-bn-1=(n2),b1=故bn是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。（2）由（1）知bn=+（n-1）=,則+=2Sn=n=1時(shí)，a1=S1=n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-=故an=20.（1）xf(x)=xf(x)+xf(x

12、)當(dāng)x=0時(shí)，xf(x)=f(0)=lna=0,所以a=1（2）由f(x)=ln(1-x),得x1當(dāng)0x1時(shí)，f(x)=ln(1-x)0，xf(x)0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)=ln(1-x)0，xf(x)0故即證x+f(x)xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)0令1-x=t(t0且t1)，x=1-t,即證1-t+lnt-(1-t)lnt0令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,則f(t)=-1-(-1)lnt+=-1+lnt-=lnt所以f(t)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+）上單調(diào)遞增，故f(t)f（1）=0,得證。21.解：（1）焦點(diǎn)到的最短距離為，所以p=2.（2）拋物

13、線，設(shè)A(x1,y1）,B(x2,y2),P(x0,y0)，則,且.,都過(guò)點(diǎn)P(x0,y0）,則故，即.聯(lián)立，得，.所以= ，所以=.而.故當(dāng)y0=-5時(shí)，達(dá)到最大，最大值為.22.(1)因?yàn)镃的圓心為(2,1)，半徑為1.故C的參數(shù)方程為（為參數(shù)). (2)設(shè)切線y=k（x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故 =1即|2k|=,4=，解得k=±.故直線方程為y= (x-4)+1, y= (x-4)+1故兩條切線的極坐標(biāo)方程為sin=cos-+1或sin=cos+ +1.23.解：(l)a = 1時(shí)，f(x) = |x-1|+|x+3|， 即求|x-1|+|x-3| 6 的解集.當(dāng)x1時(shí)，2x十2 6,得x 2;當(dāng)-3<x<1時(shí),46此時(shí)沒(méi)有x滿足條件；當(dāng)x-3時(shí)-2x-26.得x-4，綜上，解集為(-,-4U2, -).(2) f(x)最小值>-a,而由絕對(duì)值的幾何意義，即求x到a和-3距離的最小值.當(dāng)x在a和-3之間時(shí)最小，此時(shí)f(x)最小值為|a+3|,即|a+3|-a.A-3時(shí),2a+3>0，得a>-；a<-3 時(shí),-a-3>-a,此時(shí)a不存在.綜上，a>-.