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1、2013年3月
Vol. 31 No. 05 中學物理
為什么質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零
宋金鳳
(巴東縣第一高級中學湖北巴東444300)
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在2012年全國高考物理試題的新課程版和大綱版中各 有一道題目涉及到?質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的引力 為宅這一問題，原題如下：
新課程版第21題:假設地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均 勻的球體?一礦井深度為圧巳知質(zhì)童分布均勻的球売對殼內(nèi) 物體的引力為空F井慮部和地面處的空力加速度大小之比為
大綱版第25題：一單擺在地面處的擺動周期與在某礦 井底部擺動周期的比值為k.設地球的半徑為R
2、.假定地球的 密度均勻?已知質(zhì)童均勻分布的球売對殼內(nèi)物體的引力為 零，求礦井的深度d?
在這兩道高考題中十質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體 的引力為零”都作為已知條件給了考生?作為考生只需要知 道這個結(jié)論就可以了 ■但作為教師就必須知道為什么放在內(nèi) 部的物體所受萬有引力為零，因為還要給下一屆乃至下幾屆 的學生講清楚原理和原因.筆者給岀了以下三種方法予以 說明：
1.將萬有引力與電場力進行類比得岀結(jié)論.
在學習靜電場中我們知道:均勻帶電球面內(nèi)部場強處處 為零?那么對于萬有引力，我們認為物體在其周圍形成了引 力場?電荷與電荷之間的作用力與他們之間距離的平方成反 比，而萬有引力定律也滿足平方反比關(guān)
3、系，即電荷之間的相 互作用力與物體間的萬有引力滿足相似的規(guī)律，所以質(zhì)最分 布均勻的球殼內(nèi)部的萬有引力場的場強也為零.由上面的類 比可知:質(zhì)址分布均勻的球殼對球殼內(nèi)部的物體的萬有引力 為零.
2?用微元法進行簡略的證明.
如圖1所示■在球殼內(nèi)部任取一點 /—沐
P,在P點放一質(zhì)童為m的質(zhì)點，過P ( 點作兩條直線，設兩條直線之間的夾［ 力/彳 \ 角為久讓Q無限小?在球殼上以兩條 Y/R I
直線與球殼的交點為直徑畫圓?由于o V 丿
無限小，所以在球殼上所取的就是兩 個近似的微小圓柱.設球殼的厚度為 圖1
d,球殼的密度為P,則這兩個微小圓柱 的質(zhì)量分別為:
叫=p ? n(n\
4、n0)2d (1)
= p ? 7r(Rsin0)2d (2)
由萬有引力可知
F. = G芳 ⑶
由以上4個式子可得
Fg = F2 = GmpqrdsxnQ.
由于F,和A方向相反，故這兩個微小圓柱對質(zhì)點的引 力的合力為零?由對稱性可知■整個球殼對方在P點的質(zhì)點 的引力為零.
3.用微積分去證明.
設球殼的半徑為乩厚度為必球殼的密度為小建立如圖 2所示的三維坐標系?在球殼內(nèi)的M點放一質(zhì)點m,其坐標為 (0,0,r),由對稱性可知，球殼對質(zhì)點的萬有引力必然沿著z 軸方向，在兀軸和y軸方向的合力為零?在球上取一微元P,其 坐標為(心80)，如圖3所示,可得該微元的體積為
dV
5、 = RsinOd<t> ? RdO ? dR9
由余弦定理可知屮M間的距離為
尸=/ + F - 2/?rcos0, dF = 2蟹人普—咖鈕R
/ +/r - 2&COS0
F在z軸上的分懾為
dFt = dFcosa
由(1).(2)、(3)可知
廠 何小中/cosa(廠-Rcos0)sinO»八"
化=滬亦才廠觀妞兒
由上式可得
(1)
(3)
f 2r r
“叫嚴阿畀芒叢驚嚴
故 F, =0.
通過以上三種方法可知:質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物 體的引力為零?第一、二種方法學生可以聽僮?而第三種方法 對于高中學生來說數(shù)學知識不夠，但是可以告知他們計算的 方法，以后學了微積分知識之后就可以實際應用了?
而由積分公式
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為什么質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零
