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專題能力訓練21 隨機變量及其分布
一、能力突破訓練
1.甲射擊命中目標的概率是,乙命中目標的概率是,丙命中目標的概率是.現(xiàn)在三人同時射擊目標,則目標被擊中的概率為( )
A. B.
C. D.710
2.已知隨機變量ξ滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2,若0
D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
3.一袋中有5個白球,3個紅球,現(xiàn)從袋中往外取球(除顏色外其他完全相同),每次任取一個記下顏色后放回,直到紅球出現(xiàn)10次時停止,設停止時共取了X次球,則P(X=12)等于( )
A.C12103810582
B.C12938958238
C.C119582382
D.C1193810582
4.已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),則從中隨機取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內的概率為( )
(附:若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈95.45%.)
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
5.(2018全國Ⅲ,理8)某群體中的每名成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立.設X為該群體的10名成員中使用移動支付的人數(shù),D(X)=2.4,P(X=4)2
02
數(shù)量
2
3
45
5
45
每件利潤
1
2
3
1.8
2.9
將頻率視為概率,解答下列問題:
(1)從該廠生產(chǎn)的甲、乙品牌產(chǎn)品中隨機各抽取一件,求其至少有一件首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內的概率;
(2)若該廠生產(chǎn)的家電均能售出,記生產(chǎn)一件甲品牌家電的利潤為X1,生產(chǎn)一件乙品牌家電的利潤為X2,分別求X1,X2的分布列;
(3)該廠預計今后這兩種品牌家電銷量相當,由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌的家電.若從經(jīng)濟效益的角度考慮,你認為應生產(chǎn)哪種品牌的家電?說明理由.
16.(2018全國Ⅰ,理20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0(1-p)2,
∴p>0.5,∴p=0.6(其中p=0.4舍去).
6.0.5 解析 由分布列的性質,知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,則m=0.3.由Y=2,即|X-2|=2,得X=4或X=0,故P(Y=2)=P(X=4或X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5.
7.13 解析 根據(jù)二項分布的均值、方差公式,得E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得p=13.
8.解 設事件Ai為“甲是A組的第i個人”,事件Bi為“乙是B組的第i個人”,i=1,2,…,7.
由題意可知P(Ai)=P(Bi)=17,i=1,2,…,7.
(1)由題意知,事件“甲的康復時間不少于14天”等價于“甲是A組的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康復時間不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=37.
(2)設事件C為“甲的康復時間比乙的康復時間長”,由題意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.
因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=1049.
(3)a=11或a=18.
9.解 (1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=C84C105=518.
(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則
P(X=0)=C65C105=142,
P(X=1)=C64C41C105=521,
P(X=2)=C63C42C105=1021,
P(X=3)=C62C43C105=521,
P(X=4)=C61C44C105=142.
因此X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P
142
521
1021
521
142
X的數(shù)學期望是
E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)
=0+1521+21021+3521+4142=2.
10.解 (1)設“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,
則P(A)=564534=12.
(2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3.
又P(X=1)=16,P(X=2)=5615=16,P(X=3)=56451=23,所以X的分布列為
X
1
2
3
P
16
16
23
所以E(X)=116+216+323=52.
11.解 (1)個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345;
(2)由題意知,全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為C93=84,隨機變量X的取值為:0,-1,1,因此P(X=0)=C83C93=23,P(X=-1)=C42C93=114,P(X=1)=1-114-23=1142.所以X的分布列為
X
0
-1
1
P
23
114
1142
則E(X)=023+(-1)114+11142=421.
二、思維提升訓練
12.C 解析 因為曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線,所以P(-1E(X2),所以應生產(chǎn)甲品牌家電.
16.解 (1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C202p2(1-p)18.
因此f(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C202p(1-p)17(1-10p).
令f(p)=0,得p=0.1.當p∈(0,0.1)時,f(p)>0;
當p∈(0.1,1)時,f(p)<0.
所以f(p)的最大值點為p0=0.1.
(2)由(1)知,p=0.1.
①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),
X=202+25Y,即X=40+25Y.
所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490.
②如果對余下的產(chǎn)品作檢驗,那么這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.
由于E(X)>400,故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗.
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