江蘇省2019高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)優(yōu)編增分練：高考填空題分項(xiàng)練2平面向量.doc
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高考填空題分項(xiàng)練2 平面向量 1．已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60，則＝________. 答案?。?6 解析 畫圖(圖略)可知，向量與的夾角為∠C的補(bǔ)角， 故＝BCACcos(π－C)＝48＝－16. 2．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________． 答案 解析 設(shè)向量a與b的夾角為θ， 由題意知(a＋b)a＝0， ∴a2＋ab＝0， ∴|a|2＋|a||b|cos θ＝0， ∴1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－. 又θ∈[0，π]，∴θ＝. 3．設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量．若向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，則k＝________. 答案?。? 解析 ∵向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反， ∴ka＋2b＝λ(8a＋kb)?k＝8λ，2＝λk?k＝－4. (∵方向相反，∴λ<0?k<0) 4．已知向量a，b不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為________． 答案 3 解析 由題意得解得∴x－y＝3. 5．已知向量a＝(1,2)，b＝(m,4)，且a⊥(2a＋b)，則實(shí)數(shù)m的值為________． 答案?。?8 解析 方法一 因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(m,4)， 所以2a＋b＝(m＋2,8)． 因?yàn)閍⊥(2a＋b)， 所以a(2a＋b)＝m＋2＋16＝0， 所以m＝－18. 方法二 因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(m,4)， 所以a2＝5，ab＝m＋8. 因?yàn)閍⊥(2a＋b)， 所以a(2a＋b)＝2a2＋ab＝10＋m＋8＝0， 所以m＝－18. 6．已知平面向量a，b滿足|a＋b|＝3，且a－2b與直線x＋2y－2＝0的方向向量垂直，若b＝(－2,3)，則a＝________. 答案 (－7,0)或 解析 由題意得直線x＋2y－2＝0的斜率k＝－， 因?yàn)閍－2b與直線x＋2y－2＝0的方向向量垂直， 所以a－2b所在直線的斜率與直線x＋2y－2＝0的斜率互為負(fù)倒數(shù)， 故可設(shè)a－2b＝(m,2m)(m≠0)， 從而a＝(m－4,2m＋6)，得a＋b＝(m－6,2m＋9)． 因?yàn)閨a＋b|＝3， 所以(m－6)2＋(2m＋9)2＝90， 解得m＝－3或m＝－， 從而a＝(－7,0)或. 7.如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，且OA＝3，OC＝5.若＝－7，則的值是________． 答案 9 解析 因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，所以＋＝0， 所以＝(＋)(＋) ＝2＋＝9＋＝－7， 所以＝－16. 所以＝(＋)(＋) ＝2＋＝25－16＝9. 8．已知點(diǎn)O在△ABC所在平面內(nèi)，且AB＝4，AO＝3，(＋)＝0，(＋)＝0，則取得最大值時(shí)線段BC的長度是________． 答案 解析 ∵(＋) ＝(＋)(－) ＝||2－||2＝0， ∴||＝||＝3， 同理||＝||＝3， 則點(diǎn)O是△ABC的外心． 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于AB的直線為x軸，過點(diǎn)O且與AB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則A(－2，－)，B(2，－)， 點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上， 設(shè)C(3cos θ，3sin θ)， 則＝(4,0)(3cos θ＋2,3sin θ＋) ＝12cos θ＋8， 當(dāng)cos θ＝1，即C(3,0)時(shí)，取得最大值20， 此時(shí)BC＝. 9．在菱形ABCD中，邊長AB＝，對(duì)角線AC＝4，邊DC上(包括D，C點(diǎn))一動(dòng)點(diǎn)P與CB的延長線上(包括B點(diǎn))一動(dòng)點(diǎn)Q滿足DP＝BQ，則的最小值是________． 答案 2 解析 方法一 連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O， 因?yàn)檫呴LAB＝，對(duì)角線AC＝4， 所以BD＝2. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，BD所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy. 由題設(shè)可知，A(－2,0)，B(0，－1)，C(2,0)，D(0,1)． 設(shè)P(2t,1－t)，t∈[0,1]， 因?yàn)镈P＝BQ，所以Q(－2t，－1－t)，0≤t≤1. 所以＝(－2－2t，t－1)(－4t，－2) ＝8t2＋6t＋2＝82＋， 由二次函數(shù)的單調(diào)性可知， 當(dāng)0≤t≤1時(shí)，y＝8t2＋6t＋2單調(diào)遞增， 所以當(dāng)t＝0時(shí)，取得最小值，且最小值為2. 方法二 因?yàn)檫呴LAB＝，對(duì)角線AC＝4， 所以BD＝2. 設(shè)向量＝＝a，＝＝b， 由余弦定理得cos〈a，b〉＝＝， 且ab＝|a||b|cos〈a，b〉＝＝3. 令＝λa(0≤λ≤1)， 則＝－(＋)＝－(b＋λa)， ＝＋＝(1－λ)a－(1＋λ)b， ＝(b＋λa)[(λ－1)a＋(1＋λ)b] ＝3(λ－1)＋5(1＋λ)＋5λ(λ－1)＋3λ(1＋λ) ＝8λ2＋6λ＋2＝82＋， 由二次函數(shù)的單調(diào)性可知， 當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，y＝8λ2＋6λ＋2單調(diào)遞增， 所以當(dāng)λ＝0時(shí)，取得最小值，且最小值為2. 10．在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且＝＋，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又＝t，則t的值為________． 答案 解析 ∵＝＋， ∴3＝2＋， 即2－2＝－， ∴2＝，即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，如圖所示． ∵A，M，Q三點(diǎn)共線， ∴＝x＋(1－x) ＝＋(x－1)， 而＝－，∴＝＋. 又＝－＝－＋， 由已知＝t，可得 ＋＝t， 又，不共線， ∴解得t＝. 11．已知向量a，b滿足|a＋b|＝6，|a－b|＝4，則|a||b|的取值范圍是________． 答案 [5,13] 解析 方法一 由|a＋b|＝6，|a－b|＝4得， ①－②得，ab＝5， 進(jìn)而得|a||b|cos θ＝5(設(shè)向量a，b夾角為θ)， 則|a||b|≥5； ①＋②得，|a|2＋|b|2＝26， 進(jìn)而得26＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|， 即|a||b|≤13. 綜上，|a||b|的取值范圍是[5,13]． 方法二 設(shè)a＋b＝2m，a－b＝2n， 則|m|＝3，|n|＝2，a＝m＋n，b＝m－n. 依題意有，(|a||b|)2＝|m＋n|2|m－n|2 ＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn) ＝(13＋2mn)(13－2mn) ＝169－4(mn)2， 而mn的取值范圍是[－6,6]， 故(|a||b|)2∈[25,169]， 則|a||b|的取值范圍是[5,13]． 12．設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則|a－tb|(t∈R)的最小值為________． 答案 解析 ∵|a|＝|b|＝|a＋b|＝1， ∴a2＋2ab＋b2＝1?ab＝－， ∴|a－tb|＝＝ ＝， ∴當(dāng)t＝－時(shí)，|a－tb|min＝. 13．對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β，定義α和β之間的新運(yùn)算?：α?β＝.若非零的平面向量a，b滿足：a?b和b?a都在集合中，且|a|≥|b|，設(shè)a與b的夾角θ∈，則(a?b)sin θ＝________. 答案 解析 由題意，設(shè)a?b＝＝cos θ＝(k1∈Z)， b?a＝cos θ＝(k2∈Z)， 兩式相乘，可得cos2θ＝. 因?yàn)棣取剩? 于是下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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