精校版高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系質(zhì)量評估檢測 人教A版必修2

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 高中數(shù)學(xué) 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系質(zhì)量評估檢測 新人教A版必修2 時間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．下列說法不正確的是(　　) A．空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形 B．同一平面的兩條垂線一定共面 C．過直線上一點可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一平面內(nèi) D．過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直 解析：如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D

2、1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均與平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，顯然選項D不正確，故選D. 答案：D 2.設(shè)a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，若a∥α，a?β，α∩β＝b，則α內(nèi)與b相交的直線與a的位置關(guān)系是(　　) A．平行　　　B．相交 C．異面 D．平行或異面 解析：因為a∥α，a?β，α∩β＝b， 所以a∥b.又因為a與α無公共點，所以α內(nèi)與b相交的直線與a異面． 答案：C 3.如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點，則異面直線A1E與GF所

3、成角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 解析： 連接EG，B1G，B1F， 則：A1E∥B1G， 故∠B1GF為異面直線A1E與GF所成的角． 由AA1＝AB＝2，AD＝1可得B1G＝，GF＝，B1F＝， ∴B1F2＝B1G2＋GF2，∴∠B1GF＝90，即異面直線A1E與GF所成的角為90. 答案：D 4.下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(　　) ① ② ③ ④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解析： 如圖所示：平面ABC∥平面M

4、NP， 所以AB∥平面MNP， 故①正確． ④中易證NP∥AB，故AB∥平面MNP.②③不正確． 答案：B 5.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β 解析： 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1?平面BCC1B1，BC?平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A錯誤． 平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1?平面A1B1C1

5、D1，AC?平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B錯誤． AB⊥A1D1，AB?平面ABCD，A1D1?平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C錯誤．故選D. 答案：D 6．設(shè)直線l?平面α，過平面α外一點A與l，α都成30角的直線有且只有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析：如圖，和α成30角的直線一定是以A為頂點的圓錐的母線所在直線，當(dāng)∠ABC＝∠ACB＝30，直線AC，AB都滿足條件，故選B. 答案：B 7.已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面積是邊長為的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，

6、則PA與平面ABC所成角的大小為(　　) A. B. C. D. 解析：取正三角形ABC的中心O，連結(jié)OP，則∠PAO是PA與平面ABC所成的角． 因為底面邊長為，所以AD＝＝，AO＝AD＝＝1.三棱柱的體積為()2AA1＝，解得AA1＝，即OP＝AA1＝，所以tan∠PAO＝＝，即∠PAO＝. 答案：B 8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知三棱錐A1－ABC為正四面體，設(shè)棱長為a，則AB1＝a，棱柱的高A1O＝＝＝

7、a(即點B1到底面ABC的距離)，故AB1與底面ABC所成角的正弦值為＝，故選B. 答案：B 9．在四面體A－BCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長都為1，則二面角A－CD－B的平面角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：取AC的中點E，CD的中點F，連接EF，BF，BE，∵AC＝，其余各棱長都為1，∴AD⊥CD，∴EF⊥CD. 又∵BF⊥CD， ∴∠BFE是二面角A－CD－B的平面角． ∵EF＝，BE＝，BF＝， ∴EF2＋BE2＝BF2.∴∠BEF＝90，∴cos∠BFE＝＝，故選C. 答案：C 10.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中

8、，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 解析：如圖，設(shè)AB＝a，則AA1＝2a，三棱錐C－BDC1的高為h，CD與平面BDC1所成的角為α. 因為VC－BDC1＝VC1－BDC，即aah＝a22a，解得h＝a.所以sinα＝＝. 答案：A 11．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結(jié)論正確的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面B

9、DC D．平面ADC⊥平面ABC 解析：易知：△BCD中，∠DBC＝45，∴∠BDC＝90， 又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD， 而AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD. 答案：D 12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取線段AB＝4，AC、BD分別在平面α和平面β內(nèi)，且AC⊥AB，DB ⊥AB，AC＝3，BD＝12，則CD的長度為(　　) A．13 B. C．12 D．15 解析： 如圖，連接AD. ∵α⊥β，∴AC⊥β，DB⊥α， 在Rt△ABD中， AD＝＝＝. 在Rt△CAD中，CD＝＝＝

10、13. 答案：A 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點P是平面AA1D1D的中心，點Q是B1D1上一點，且PQ∥平面AB1D，則線段PQ長為________． 解析：連接AB1，AD1， 因為點P是平面AA1D1D的中心， 所以點P是AD1的中點， 因為PQ∥平面AB1，PQ?平面AB1D1，平面AB1D1∩平面AB1＝AB1， 所以PQ∥AB1，所以PQ＝AB1＝. 答案： 14．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛1B1C1D1滿足條件________時，有A1C⊥B1D1(注

11、：填上你認(rèn)為正確的一種情況即可，不必考慮所有可能的情況)． 解析：由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，還可以填寫四邊形A1B1C1D1是菱形，正方形等條件． 答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一) 15.如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC1上的距離的最小值為________． 解析：如圖，過點E作EE1⊥平面A1B1C1D1，交直線B1C1于點E1， 連接D1E1，DE，在平面D1DEE1內(nèi)過點P作PH∥

12、EE1交D1E1于點H，連接C1H，則C1H即為點P到直線CC1的距離．當(dāng)點P在線段D1E上運(yùn)動時，點P到直線CC1的距離的最小值為點C1到線段D1E1的距離，即為△C1D1E1的邊D1E1上的高h(yuǎn). ∵C1D1＝2，C1E1＝1，∴D1E1＝，∴h＝＝. 答案： 16．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下三個結(jié)論． ①AC⊥BD； ②△ACD是等邊三角形； ③AB與平面BCD成60的角； 說法正確的命題序號是________． 解析： 如圖所示，①取BD中點E，連接AE，CE，則BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面

13、AEC，故AC⊥BD，故①正確． ②設(shè)正方形的邊長為a， 則AE＝CE＝a. 由①知∠AEC＝90是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90，∴AC＝a， ∴△ACD是等邊三角形，故②正確． ③由題意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB與平面BCD所成的角，而∠ABE＝45，所以③不正確． 答案：①② 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分10分)如圖，正四棱錐S－ABCD的底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱長是底面邊長的倍，O為底面對角線的交點，P為側(cè)棱SD上的點． (1)求證：AC⊥SD； (2)F為

14、SD中點，若SD⊥平面PAC，求證：BF∥平面PAC. 證明：(1)連接SO， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴AC⊥BD且O為AC中點， 又∵SA＝SC， ∴SO⊥AC， 又∵SO∩BD＝O， ∴AC⊥平面SBD， 又∵SD?平面SBD， ∴AC⊥SD. (2)連接OP， ∵SD⊥平面ACP，OP?平面ACP， ∴OP⊥SD， 又△SBD中，BD＝a＝SB，且F為SD中點， ∴BF⊥SD， 因為OP、BF?平面BDF，所以O(shè)P∥BF， 又∵OP?平面ACP，BF?平面PAC， ∴BF∥平面PAC.  18．(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐S－AB

15、C中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點． 求證：(1)平面EFG∥平面ABC. (2)BC⊥SA. 證明：(1)因為AS＝AB，AF⊥SB，垂足為F，所以F是SB的中點． 又因為E是SA的中點，所以EF∥AB. 因為EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 同理EG∥平面ABC. 又因為EF∩EG＝E， 所以平面EFG∥平面ABC. (2)因為平面SAB⊥平面SBC，且交線為SB，又因為AF?平面SAB，AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC，因為BC?平面SBC， 所以AF⊥B

16、C. 又因為AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF?平面SAB，AB?平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 又因為SA?平面SAB，所以BC⊥SA. 19．(本小題滿分12分)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE. (1)證明：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值． 解析：(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD ∵PC⊥平面BDE， ∴PC⊥BD. ∴BD⊥平面PAC. (2)設(shè)AC與BD交點為O，連接OE. ∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE. 又∵B

17、O⊥平面PAC， ∴PC⊥BO， ∴PC⊥平面BOE，∴PC⊥BE， ∴∠BEO為二面角B－PC－A的平面角． ∵BD⊥平面PAC， ∴BD⊥AC， ∴四邊形ABCD為正方形， ∴BO＝. 在△PAC中，＝?＝?OE＝， ∴tan∠BEO＝＝3， ∴二面角B－PC－A的平面角的正切值為3. 20．(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60. (1)證明：AB⊥A1C； (2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積． 解析：(1)取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B. 因為C

18、A＝CB，所以O(shè)C⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60，故△AA1B為等邊三角形， 所以O(shè)A1⊥AB. 因為OC∩OA1＝O，所以AB⊥面OA1C. 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C. (2)由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以O(shè)C＝OA1＝，又A1C＝，則A1C2＝OC2＋OA，故OA1⊥OC. 因為OC∩AB＝O，所以O(shè)A1⊥面ABC，OA1為三棱柱ABC－A1B1C1的高． 又S△ABC＝ABOC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝S△ABCOA1＝＝3. 21．(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝

19、90，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運(yùn)動． (1)證明：AD⊥C1E； (2)當(dāng)異面直線AC，C1E所成的角為60時，求三棱錐C1－A1B1E的體積． 解析：(1)證明：因為AB＝AC，D是BC的中點，所以AD⊥BC，① 又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC， 而AD?平面ABC，所以AD⊥BB1，② 由①②可得AD⊥平面BB1C1C，因為點E在棱BB1上運(yùn)動． 得C1E?平面BB1C1C，所以AD⊥C1E. (2)因為AC∥A1C1，所以∠A1C1E是異面直線AC與C1E所成的角，所以∠A1C1E＝60，因為∠B1A1C1＝∠

20、BAC＝90，所以A1C1⊥A1B1， 又AA1⊥A1C1，從而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E， 故C1E＝＝2，又B1C1＝2，所以B1E＝2， 從而VC1－A1B1E＝S△A1B1EA1C1＝2＝. 22．(本小題滿分12分)如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中點，F(xiàn)是平面FB1C1E與直線AA1的交點． (1)證明：①EF∥A1D1； ②BA1⊥平面B1C1EF. (2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值． 解析：(1)證明：①由AD∥BC，B

21、C∥B1C1可得AD∥B1C1， 又B1C1?平面AA1D1D，AD?平面AA1D1D， ∴B1C1∥平面AA1D1D， 又平面B1C1E∩平面AA1D1D＝EF， ∴B1C1∥EF，又A1D1∥B1C1，∴EF∥A1D1. ②在Rt△FA1B1和Rt△A1B1B中，＝＝， ∴Rt△FA1B1∽Rt△A1B1B， ∴∠A1FB1＝∠BA1B1， ∵∠A1FB1＋∠A1B1F＝90， ∴∠BA1B1＋∠A1B1F＝90， ∴A1B⊥B1F， 由AD⊥AB可得B1C1⊥A1B1， 又B1C1⊥BB1， ∴B1C1⊥平面A1B1B， 又A1B?平面A1B1B，可得BA1⊥B1C1， 又BA1⊥B1F，且B1F∩B1C1＝B1， ∴BA1⊥平面B1C1EF. (2)設(shè)A1B∩B1F＝O，連接C1O， 由(1)可知BC1與平面B1C1EF所成的角為∠BC1O， 在Rt△A1B1B中，BB＝BOBA1， 即22＝BO，解得BO＝， ∴sin∠BC1O＝＝＝， ∴BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值為. 最新精品資料