高考數(shù)學復習：第四章 ：第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、 精品資料 第一節(jié)　平面向量的概念及其線性運算 【考綱下載】 1．了解向量的實際背景． 2．理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義． 3．理解向量的幾何表示． 4．掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義． 5．掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義． 6．了解向量線性運算的性質及其幾何意義． 1．向量的有關概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長度等于1個單位的向量．

2、(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線． (5)相等向量：長度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：長度相等且方向相反的向量． 2．向量的線性運算 向量 運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 [來源:] 交換律： a＋b＝b＋a；[來源:] 結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 |λa|＝|λ||a|，當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，

3、λa＝0 λ(μ a)＝(λ μ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa. 1．兩向量共線與平行是兩個不同的概念嗎？兩向量共線是指兩向量的方向一致嗎？ 提示：方向相同或相反的一組非零向量，叫做平行向量，又叫共線向量．顯然兩向量平行或共線，其方向可能相同，也可能相反． 2．兩向量平行與兩直線(或線段)平行有何不同？ 提示：平行向量也叫共線向量，這里的“平行”與兩直線(或線段)平行的意義不同，兩向量平行時，兩向量可以在同一條直線上． 3．λ＝0與a＝0時，λ

4、a的值是否相等？ 提示：相等，且均為0. 4．當兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立嗎？ 提示：成立． [來源:] [來源:] 1．若向量a與b不相等，則a與b一定(　　) A．有不相等的?！　　　　　　．不共線 C．不可能都是零向量 D．不可能都是單位向量 解析：選C　若a與b都是零向量，則a＝b，故選項C正確． 2．若m∥n，n∥k，則向量m與向量k(　　) A．共線 B．不共線[來源:] C．共線且同向 D．不一定共線 解析：選D　可舉特例，當n＝0時，滿足

5、m∥n，n∥k，故A、B、C選項都不正確，故D正確． 3．D是△ABC的邊AB上的中點，則向量等于(　　) A．－＋　　　 B．－－ C．－ D．＋ 解析：選A　 如圖，由于D是AB的中點，所以＝＋＝＋＝－＋ 4．(教材習題改編)化簡－＋－的結果為________． 解析：－＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝. 答案： 5．已知a與－b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ的值為________． 解析：∵a＋λb與－(b－3a)共線， ∴存在實數(shù)μ，使a＋λb＝μ(3a－b)， 即∴ 答案：－ 易誤警

6、示(四) 平面向量的線性運算中的易誤點 [典例]　(2013廣東高考)設a是已知的平面向量且a≠0.關于向量a的分解，有如下四個命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c； ②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc； ③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μc； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc. 上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 [解題指導]　利用三角形法則和平行四邊形法則逐項作出判斷． [解析]　對

7、于①，因為a與b給定，所以a－b一定存在，可表示為c，即c＝a－b，故a＝b＋c成立，①正確；對于②，因為b與c不共線，由平面向量基本定理可知②正確；對于③，由題意必有λb和μc表示不共線且長度不定的向量，由于μ為正數(shù)，故λb＋μc不能把任意向量a表示出來，故③錯誤；對于④，利用向量加法的三角形法則，結合三角形兩邊之和大于第三邊，即必有|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④錯，因此正確的個數(shù)為2. [答案]　B [名師點評]　1.本題若對向量加法的幾何意義理解有誤或作圖不準，易誤認為③也是正確的，從而錯選C. 2．進行向量的線性運算時，要盡可能轉化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點

8、出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解． 下列命題中正確的是(　　) A．向量a，b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)λ，使b＝λa B．在△ABC中，＋＋＝0 C．不等式||a|－|a＋b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中兩個等號不可能同時成立 D．向量a，b不共線，則向量a＋b與向量a－b必不共線 解析：選D　若a＝0，b≠0，此時a，b共線，但對任意實數(shù)λ都不滿足b＝λa，故選項A不正確；＋＋＝0而不是0，故選項B不正確；當a，b中至少有一個為0時，兩個等號同時成立，故選項C不正確；因為向量a與b不共線，所以a，b，a＋b與a－b均為非零向量．若a＋b與a－b共線，則存在實數(shù)λ，使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，則方程組無解，故假設不成立，即a＋b與a－b不共線，故選D.