同步優(yōu)化探究理數(shù)北師大版練習：第二章 第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性、周期性 Word版含解析

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1、課時作業(yè) A組——基礎對點練 1．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　) A．y＝　　　　　　　 B．y＝|sin x| C．y＝cos x D．y＝ex－e－x 解析：因為函數(shù)y＝的定義域為[0，＋∞)，不關于原點對稱，所以函數(shù)y＝為非奇非偶函數(shù)，排除A；因為y＝|sin x|為偶函數(shù)，所以排除B；因為y＝cos x為偶函數(shù)，所以排除C；因為y＝f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函數(shù)y＝ex－e－x為奇函數(shù)，故選D. 答案：D 2．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(　　) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x

2、| D．y＝2－x 解析：A選項，記f(x)＝x2sin x，定義域為R，f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sin x＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)；B選項，記f(x)＝x2cos x，定義域為R，f(－x)＝ (－x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，故f(x)為偶函數(shù)；C選項，函數(shù)y＝|ln x|的定義域為(0，＋∞)，不關于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)；D選項，記f(x)＝2－x，定義域為R，f(－x)＝2－(－x)＝2x＝，故f(x)為非奇非偶函數(shù)，選B. 答案：B 3．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(　　) A．y＝ B．y＝x＋ C．

3、y＝2x＋ D．y＝x＋ex 解析：選項A中的函數(shù)是偶函數(shù)；選項B中的函數(shù)是奇函數(shù)；選項C中的函數(shù)是偶函數(shù)；只有選項D中的函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 答案：D 4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是(　　) A．y＝ln x B．y＝x2＋1 C．y＝sin x D．y＝cos x 解析：A項中的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)； B項中的函數(shù)是偶函數(shù)但不存在零點；C項中的函數(shù)是奇函數(shù)；D項中的函數(shù)既是偶函數(shù)又存在零點． 答案：D 5．函數(shù)y＝log2的圖像(　　) A．關于原點對稱 B．關于直線y＝－x對稱 C．關于y軸對稱 D．關于直線y＝x對稱 解析：由＞0得－1

4、＜x＜1，即函數(shù)定義域為(－1,1)， 又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)， ∴函數(shù)y＝log2為奇函數(shù)，故選A. 答案：A 6．設f(x)＝x＋sin x(x∈R)，則下列說法錯誤的是(　　) A．f(x)是奇函數(shù) B．f(x)在R上單調(diào)遞增 C．f(x)的值域為R D．f(x)是周期函數(shù) 解析：因為f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故A正確；因為f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故B正確；因為f(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)的值域為R，故C正確；f(x)不是周期函數(shù)，故選

5、D. 答案：D 7．定義運算ab＝，ab＝，則f(x)＝為(　　) A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．常函數(shù) D．非奇非偶函數(shù) 解析：由定義得f(x)＝. ∵4－x2≥0，且－2≠0，即x∈[－2,0)∪(0,2]． ∴f(x)＝＝－(x∈[－2,0)∪(0,2])， ∴f(－x)＝，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)． 答案：A 8．f(x)是R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，則當x＜0時，f(x)＝(　　) A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x) C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x) 解析：

6、當x＜0時，－x＞0， f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)， ∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴當x＜0時， f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)． 答案：C 9．x為實數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)＝x－[x]在R上為(　　) A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．周期函數(shù) 解析：函數(shù)f(x)＝x－[x]在R上的圖像如圖： 選D. 答案：D 10．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈[－2,0]時，f(x)＝－2x，則f(1)＋f(4)等于(　　) A. B．－

7、C．－1 D．1 解析：由f(x＋4)＝f(x)知f(x)是周期為4的周期函數(shù)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，故f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f(－1)，又－1∈[－2,0]，所以f(－1)＝－2－1＝－，所以f(1)＝－，f(1)＋f(4)＝－，選B. 答案：B 11．若f(x)＝是R上的奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為 ． 解析：∵函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴＝0，解得a＝1. 答案：1 12．(2018安徽十校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＜0時，f(x)＝2x，則f(log4 9)＝ . 解析：因為lo

8、g49＝log23＞0，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＜0時， f(x)＝2x，所以f(log49)＝f(log23) 答案：－ 13．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，則不等式f(x－2)≥0的解集是 ． 解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是 (－∞，1]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，1]∪[3，＋∞) B組——能力提升練 1．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝(　　) A．2 B．－2 C．－

9、98 D．98 解析：因為f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：B 2．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足f(2log3a)＞f(－)，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，) B．(0，) C．(，＋∞) D．(1，) 解析：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞增， ∴f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減．根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得f(－)＝f()，∴f(2log3a)＞f()．∵2log3a＞0，f(x)在區(qū)間[0

10、，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴0＜2log3a＜?log3a＜?0＜a＜，故選B. 答案：B 3．奇函數(shù)f(x)的定義域為R.若f(x＋2)為偶函數(shù)，且f(1)＝1，則f(8)＋f(9)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：由f(x＋2)是偶函數(shù)可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，又由f(x)是奇函數(shù)得f(－x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(8)＝f(0)＝0，∴f(8)＋f(9)

11、＝1. 答案：D 4．已知函數(shù)f(x)＝asin x＋b＋4，若f(lg 3)＝3，則f＝(　　) A. B．－ C．5 D．8 解析：由f(lg 3)＝asin(lg 3)＋b＋4＝3得asin(lg 3)＋b＝－1，而f＝f(－lg 3)＝－asin(lg 3)－b＋4＝－[asin(lg 3)＋b]＋4＝1＋4＝5.故選C. 答案：C 5．若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，則下列說法一定正確的是(　　) A．f(x)－1為奇函數(shù) B．f(x)－1為偶函數(shù) C．f(x)＋1為奇函數(shù) D．f(x)＋

12、1為偶函數(shù) 解析：∵對任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，∴令x1＝x2＝0，得f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1.∴f(x)＋1＝－f(－x)－1＝－[f(－x)＋1]，∴f(x)＋1為奇函數(shù)．故選C. 答案：C 6．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)＜f的x的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：法一：偶函數(shù)滿足f(x)＝f(|x|)，根據(jù)這個結(jié)論， 有f(2x－1)＜f?f(|2x－1|)＜f， 進而轉(zhuǎn)化為不等式|2x－1|＜， 解這個不等式即得

13、x的取值范圍是.故選A. 法二：設2x－1＝t，若f(t)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增， 則f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，如圖， ∴f(t)＜f，有 －＜t＜，即－＜2x－1＜， ∴＜x＜，故選A. 答案：A 7．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f(x＋4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：∵f(x＋4)＝－f(x)， ∴f(x＋8)＝－f(x＋4)， ∴f(x＋8)＝f(x)，

14、 ∴f(x)的周期為8， ∴f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)， f(11)＝f(3)＝f(－1＋4)＝－f(－1)＝f(1)， 又∵奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)， ∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)， ∴f(－25)＜f(80)＜f(11)，故選D. 答案：D 8．設奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式 x[f(x)－f(－x)]＜0的解集為(　　) A．{x|－1＜x＜0，或x＞1} B．{x|x＜－1，或0＜x＜1} C．{x|x＜－1，或x＞1} D．{x|－1＜x＜0，或0＜x＜1} 解析：∵奇函數(shù)f

15、(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]＜0，∴xf(x)＜0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0， 從而有函數(shù)f(x)的圖像如圖所示： 則有不等式x[f(x)－f(－x)]＜0的解集為{x|－1＜x＜0或0＜x＜1}，選D. 答案：D 9．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當－1≤x＜3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)(　　) A．336 B．337 C． 1 678 D．2 018 解析：∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6， 當－

16、3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2， 當－1≤x＜3時，f(x)＝x. ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1， 由周期可得 f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 011)＋f(2 012)＋…＋f(2 016)＝1， 而f(2 017)＝f(6336＋1)＝f(1)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝3361＋1＝337.故選B. 答案：B 10．

17、對任意的實數(shù)x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的圖像關于x＝1對稱，且f(0)＝2，則f(2 015)＋f(2 016)＝(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 解析：y＝f(x－1)的圖像關于x＝1對稱，則函數(shù)y＝f(x)的圖像關于x＝0對稱， 即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)， 令x＝－1，則f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)， 即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0， 即f(1)＝0， 則f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0， 即f(x＋2)＝f(x)， 則函數(shù)的周期是2，又f(0)＝2， 則f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f

18、(0)＝0＋2＝2.故選B. 答案：B 11．(2018保定調(diào)研)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x(x＋1)，若f(a)＝－2，則實數(shù)a＝ . 解析：x≥0時，f(x)＝x(x＋1)＝2－的最小值為0，所以f(a)＝－2時， a＜0，因為f(x)為R上的奇函數(shù)，當x＜0時，－x＞0，f(－x)＝－x(－x＋1)＝ x2－x＝－f(x)，所以x＜0時，f(x)＝－x2＋x，則f(a)＝－a2＋a＝－2， 所以a＝－1. 答案：－1 12．已知函數(shù)f(x)＝x2(2x－2－x)，則不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是 ．

19、 解析：因為f(－x)＝(－x)2(2－x－2x)＝－x2(2x－2－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等價于f(2x＋1)≥f(－1)．易知，當x＞0時，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，所以f(2x＋1)≥f(－1)等價于2x＋1≥－1，解得x≥－1. 答案：[－1，＋∞) 13．已知函數(shù)f(x)＝，若f(x－1)＜f(2x＋1)，則x的取值范圍為 ． 解析：若x＞0，則－x＜0，f(－x)＝3(－x)2＋ln(＋x)＝3x2＋ln(＋x)＝f(x)，同理可得，x＜0時，f(－x)＝f(x)，且x＝0

20、時，f(0)＝f(0)，所以f(x)是偶函數(shù)．因為當x＞0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以不等式f(x－1)＜f(2x＋1)等價于|x－1|＜|2x＋1|，整理得x(x＋2)＞0，解得x＞0或x＜－2. 答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞) 14．定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，且f(x－2)是偶函數(shù)，若對一切實數(shù)x，不等式f(2sin x－2)＞f(sin x－1－m)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解析：因為f(x－2)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖像關于x＝－2對稱，由題意知f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)，則f(x)在(－2，＋∞)上為減函數(shù)，所以不等式f(2sin x－2)＞f(sin x－1－m)恒成立等價于|2sin x－2＋2|＜|sin x－1－m＋2|，即|2sin x|＜|sin x＋1－m|，兩邊同時平方，得3sin2x－2(1－m)sin x－(1－m)2＜0，即(3sin x＋1－m)(sin x－1＋m)＜0，即或，即或，即或，即m＜－2或m＞4，故m的取值范圍為(－∞，－2)∪(4，＋∞)．