數(shù)學(xué)選修21蘇教版：第3章　空間向量與立體幾何 章末檢測(cè)試卷三 Word版含答案

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1、 精品資料 章末檢測(cè)試卷(三) (時(shí)間：120分鐘　滿(mǎn)分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且ab＝2，則x的值是________． 答案　5 解析　∵ab＝－3＋2x－5＝2， ∴x＝5. 2.如圖，在空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則＝________.(用a，b，c表示) 答案　－a＋b＋c 解析　如圖，連結(jié)ON，由向量的加法法則，可知＝＋ ＝－＋(＋)＝－a＋(b＋

2、c) ＝－a＋b＋c. 3．設(shè)i，j，k為單位正交基底，已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，則5a3b＝________. 答案?。?5 解析　∵a＝(3,2，－1)，b＝(1，－1,2)，∴5a3b＝15ab＝－15. 4．設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6，6)，則α，β的位置關(guān)系為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　向量法求解平面與平面的位置關(guān)系 題點(diǎn)　向量法解決面面平行 答案　平行或重合 解析　∵平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，滿(mǎn)足v＝－3u，∴α∥β或重合． 5．若空間向量a，b滿(mǎn)足|a|＝|b|＝1

3、，且a與b的夾角為60，則aa＋ab＝________. 答案　 解析　由空間向量數(shù)量積的性質(zhì)，知aa＝|a|2＝1. 由空間向量數(shù)量積的定義，得 ab＝|a||b|cos〈a，b〉＝11cos60＝， 從而aa＋ab＝1＋＝. 6．A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿(mǎn)足＝0，＝0，＝0，M為BC中點(diǎn)，則△AMD為_(kāi)_______三角形． 答案　直角 解析　∵M(jìn)為BC中點(diǎn)， ∴＝(＋)． ∴＝(＋) ＝＋＝0. ∴AM⊥AD，△AMD為直角三角形． 7.在三棱錐P－ABC中，CP，CA，CB兩兩垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列向量中是

4、平面PAB的法向量的是________．(填序號(hào)) ①；②(1，，1)；③(1,1,1)；④(2，－2,1)． 答案　① 解析　由題意知，C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,2)，則＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)， 設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n＝(x，y,1)， 則解得∴n＝(2,2,1)． 又＝n，∴①正確． 8．已知Rt△ABC中，∠C＝90，∠B＝30，AB＝4，D為AB的中點(diǎn)，沿中線(xiàn)將△ACD折起使得AB＝，則二面角A－CD－B的大小為_(kāi)_______． 答案　120 解析　如圖，取CD中點(diǎn)E，在平面BCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD

5、，交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F. 據(jù)題意知AE⊥CD， AE＝BF＝，EF＝2，AB＝. 且〈，〉為二面角的平面角， 由2＝(＋＋)2得 13＝3＋3＋4＋23cos〈，〉， ∴cos〈，〉＝－， 又∵〈，〉∈[0，180]， ∴〈，〉＝120. 即所求的二面角為120. 9.如圖，在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對(duì)角線(xiàn)，G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE＝3ED，若以{，，}為基底，則＝________. 答案?。? 解析　＝－＝＋－＝＋－(＋)＝＋－－－＝－－＋. 10.如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝8，AD＝6，AA′＝8，∠

6、BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60，則AC′的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　18 解析　∵＝＋＝＋＋， ||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(＋＋) ＝82＋62＋82＋2(24＋32＋24)＝324， ∴||＝＝18. 11.如圖，S是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB和SC的中點(diǎn)，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90，則異面直線(xiàn)SM與BN所成角的余弦值為_(kāi)_______． 答案　 解析　不妨設(shè)SA＝SB＝SC＝1，以點(diǎn)S為坐標(biāo)原點(diǎn)，SA，SB，SC所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系S－xyz，則相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為

7、A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)， M，N. 因?yàn)椋剑? ＝， 所以||＝，||＝， ＝－， cos〈，〉＝＝－， 因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成的角為銳角或直角， 所以異面直線(xiàn)SM與BN所成角的余弦值為. 12.如圖所示，已知二面角αlβ的平面角為θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β內(nèi)，BC在l上，CD在平面α內(nèi)，若AB＝BC＝CD＝1，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 答案　 解析　因?yàn)椋剑? 所以2＝2＋2＋2＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cosθ. 所以||＝， 即AD的長(zhǎng)為. 13．已知＝(1,2,

8、3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 答案　 解析　設(shè)Q(x，y，z)，因?yàn)镼在上，故有∥， 設(shè)＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ， 則Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 所以＝6λ2－16λ＋10＝62－， 故當(dāng)λ＝時(shí)，取最小值，此時(shí)Q. 14．給出下列命題： ①若＝，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線(xiàn)段； ②若ab<0，則〈a，b〉是鈍角； ③若a為直線(xiàn)l的方向向量，則λa(λ∈R)也是l的方向向量； ④非零向量a，

9、b，c滿(mǎn)足a與b，b與c，c與a都是共面向量，則a，b，c必共面． 其中不正確的命題為_(kāi)_______．(填序號(hào)) 答案?、佗冖邰? 解析?、馘e(cuò)誤，如在正方體ABCD－A1B1C1D1中， ＝，但線(xiàn)段AB與A1B1不重合；②錯(cuò)誤，ab<0，即cos〈a，b〉<0?<〈a，b〉≤π，而鈍角的取值范圍是；③錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0不能作為直線(xiàn)l的方向向量；④錯(cuò)誤，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，令＝a，＝b，＝c，則它們兩兩共面，但顯然，，是不共面的． 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15．(14分)已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4

10、)，設(shè)a＝，b＝. (1)求a和b的夾角θ的余弦值； (2)若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值． 解　a＝＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b＝＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cosθ＝＝＝－， ∴a與b的夾角θ的余弦值為－. (2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)(k＋2，k，－4) ＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0. 即2k2＋k－10＝0， ∴k＝－或k＝2. 16．(14

11、分)已知空間內(nèi)三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)求以向量，為一組鄰邊的平行四邊形的面積S； (2)若向量a與向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐標(biāo)． 解　(1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， ∴cos∠BAC＝＝＝， 又∵∠BAC∈[0，180]， ∴∠BAC＝60，∴S＝||||sin60＝7. (2)設(shè)a＝(x，y，z)， 由a⊥，得－2x－y＋3z＝0， 由a⊥，得x－3y＋2z＝0， 由|a|＝，得x2＋y2＋z2＝3， ∴x＝y(tǒng)＝z＝1或x＝y(tǒng)＝z＝－1. ∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．

12、17．(14分)如圖所示，已知幾何體ABCD－A1B1C1D1是平行六面體． (1)化簡(jiǎn)＋＋，并在圖上標(biāo)出結(jié)果； (2)設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC1B1對(duì)角線(xiàn)BC1上的點(diǎn)，且C1N＝C1B，設(shè)＝α＋β＋γ，試求α，β，γ的值． 解　(1)取AA1的中點(diǎn)E，在D1C1上取一點(diǎn)F，使得D1F＝2FC1，連結(jié)EF， 則＋＋ ＝＋＋＝. (2)＝＋ ＝＋ ＝(＋)＋(＋) ＝＋＋， 所以α＝，β＝，γ＝. 18．(16分)如圖所示，已知直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的三棱柱)ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，AC＝BC＝BB1. (1)求證

13、：BC1⊥AB1； (2)求證：BC1∥平面CA1D. 證明　如圖所示，以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，C1A1，C1B1，C1C所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直 角坐標(biāo)系，設(shè)AC＝BC＝BB1＝2，則A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)． (1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)， ∴＝0－4＋4＝0， 即⊥，故BC1⊥AB1. (2)取A1C的中點(diǎn)E，連結(jié)DE. 由于E(1,0,1)， ∴＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)， ∴＝－，且ED與BC1不共線(xiàn)，

14、∴ED∥BC1，又ED?平面CA1D，BC1?平面CA1D， ∴BC1∥平面CA1D. 19．(16分)如圖，已知四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，PA＝AB＝a，點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)． (1)求BP與DM所成的角的大小； (2)求二面角M－DA－C的大小． 解　(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系． 由已知得A(0，0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，M. 設(shè)直線(xiàn)BP與DM所成的角為θ. ∵＝(－a,0，a)，＝， ∴＝0. ∴BP與DM所成的角

15、θ＝90. (2)∵＝(0,0，a)，＝(a,0,0)，＝(0，a,0)， ＝(－a,0，a)， ∴＝0，＝0，＝0. 又由(1)知＝0， ∴是平面MDA的法向量，是平面ABCD的法向量，則cos〈，〉＝＝. ∴所求的二面角M－DA－C的大小為45. 20．(16分)如圖所示，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE為等邊三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB＝2CD＝2BC＝2，P為CE的中點(diǎn)． (1)求證：AB⊥DE； (2)求平面ADE與平面BCE所成的銳二面角的余弦值； (3)在△ABE內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥平面CDE？如果存在，求PQ

16、的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (1)證明　取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OD，OE， 因?yàn)椤鰽BE是正三角形，所以AB⊥OE. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是直角梯形，DC＝AB，AB∥CD， 所以四邊形OBCD是平行四邊形， 所以O(shè)D∥BC. 又AB⊥BC，所以AB⊥OD， 又OE∩OD＝O，所以AB⊥平面ODE， 所以AB⊥DE. (2)解　因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE， AB⊥OE，OE?平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB. 所以O(shè)E⊥平面ABCD， 所以O(shè)E⊥OD. 如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OE，OD所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則

17、A(1,0,0)，B(－1,0,0)， D(0,0,1)，C(－1,0,1)， E(0，，0)， 所以＝(－1,0,1)，＝(0，，－1)． 設(shè)平面ADE的法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 則即 令z1＝1，則x1＝1，y1＝， 所以n1＝， 同理可求得平面BCE的一個(gè)法向量為 n2＝(－，1,0)， 設(shè)平面ADE與平面BCE所成的銳二面角為θ， 則cosθ＝＝＝， 所以平面ADE與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為. (3)解　假設(shè)存在Q(x2，y2,0)滿(mǎn)足題意， 因?yàn)镻，所以＝， 又＝(1,0,0)，＝(0，，－1)， 所以即 解得 易知點(diǎn)Q在△ABE內(nèi)， 所以△ABE內(nèi)存在點(diǎn)Q，使PQ⊥平面CDE，此時(shí)PQ＝.