精編高中數學北師大版選修22教案：第3章 導數與函數的單調性 第一課時參考教案

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1、精編北師大版數學資料 第一課時 導數與函數的單調性（一） 一、教學目標： 1、知識與技能：⑴理解函數單調性的概念；⑵會判斷函數的單調性，會求函數的單調區(qū)間。 2、過程與方法：⑴通過具體實例的分析，經歷對函數平均變化率和瞬時變化率的探索過程；⑵通過分析具體實例，經歷由平均變化率及渡到瞬時變化率的過程。 3、情感、態(tài)度與價值觀：讓學生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教學重點：函數單調性的判定 教學難點：函數單調區(qū)間的求法 三、教學方法：探究歸納，講練結合 四、教學過程 （一）．創(chuàng)設情景 函數是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數學模型，研究函數時，了解函

2、數的贈與減、增減的快與慢以及函數的最大值或最小值等性質是非常重要的．通過研究函數的這些性質，我們可以對數量的變化規(guī)律有一個基本的了解．下面，我們運用導數研究函數的性質，從中體會導數在研究函數中的作用． （二）．新課探究 1．問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數的圖像，圖3.3-1 （2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數的圖像．運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？ 通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數．相應地，．（2）從最高點到入水，運動員離水面的高度隨

3、時間的增加而減少，即是減函數．相應地，． 2．函數的單調性與導數的關系 觀察下面函數的圖像，探討函數的單調性與其導數正負的關系． 如圖3.3-3，導數表示函數在點處的切線的斜率． 在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數在附近單調遞增； 在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數在附近單調遞減． 結論：函數的單調性與導數的關系在某個區(qū)間內，如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞減． 說明：（1）特別的，如果，那么函數在這個區(qū)間內是常函數． 3．求解函數單調區(qū)間的步驟： （1

4、）確定函數的定義域；（2）求導數；（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區(qū)間． （三）．典例探析 例1、已知導函數的下列信息： 當時，； 當，或時，； 當，或時， 試畫出函數圖像的大致形狀． 解：當時，，可知在此區(qū)間內單調遞增； 當，或時，；可知在此區(qū)間內單調遞減； 當，或時，，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”． 綜上，函數圖像的大致形狀如圖3.3-4所示． 例2、判斷下列函數的單調性，并求出單調區(qū)間． （1）； （2） （3）； （4） 解：（1）因為，所以， 因此

5、，在R上單調遞增，如圖3.3-5（1）所示． （2）因為，所以， 當，即時，函數單調遞增； 當，即時，函數單調遞減； 函數的圖像如圖3.3-5（2）所示． （3）因為，所以， 因此，函數在單調遞減，如圖3.3-5（3）所示． （4）因為，所以 ． 當，即 時，函數 ； 當，即 時，函數 ； 函數的圖像如圖3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生練 例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種

6、底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度與時間的函數關系圖像． 分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況． 解： 思考：例3表明，通過函數圖像，不僅可以看出函數的增減，還可以看出其變化的快慢．結合圖像，你能從導數的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化的快，這時，函數的圖像就比較“陡峭”；反之，函數的圖像就“平緩”一些．如圖3.3-7所示，函數在或內的圖像“陡峭”，在或內的圖像“平緩”． 例4、求證：函數在區(qū)間內是減函數． 證明：因為 當即時，，所以函數在區(qū)間內是減函數． 說明：證明可導函數在內的單調性步驟：（1）求導函數；（2）判斷在內的符號；（3）做出結論：為增函數，為減函數． （四）．課堂練習：課本P59頁練習1（1）；2 （五）．回顧總結：（1）函數的單調性與導數的關系；（2）求解函數單調區(qū)間；（3）證明可導函數在內的單調性 （六）．布置作業(yè)： 五、教后反思：