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1、
第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例
A組 基礎(chǔ)題組
1.設(shè)向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2),則(a+2b)c=( )
A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11
2.(2016河南八市重點(diǎn)高中質(zhì)檢)已知平面向量a,b的夾角為2蟺3,且a(a-b)=8,|a|=2,則|b|等于( )
A.3 B.23 C.3 D.4
3.已知e1,e2是單位向量,m=e1+2e2,n=5e1-4e2,若m⊥n,則e1與e2的夾角為( )
A. B. C.23π D.34π
4.
2、(2016德州模擬)如圖,在△ABC中,O為BC中點(diǎn),若AB=1,AC=3,<,>=60,則||=( )
A.1 B.2 C.132 D.5
5.如圖,在等腰三角形ABC中,底邊BC=2,=,=,若=-12,則=( )
A.-43 B.43 C.-32 D.32
6.已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb與a-kb垂直,則實(shí)數(shù)k= .
7.如圖所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,則(-)= .
8.已知平面向量m,n的夾角為,且|m|=3,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=,則||= .
9.
3、已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120.
(1)計(jì)算:①|(zhì)a+b|,②|4a-2b|;
(2)當(dāng)k為何值時(shí),(a+2b)⊥(ka-b)?
10.(2016上海靜安一模)如圖,已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量=(3cosx,3sinx),=(3cosx,sinx),=(3,0),x∈.
(1)求證:(-)⊥;
(2)若△ABC是等腰三角形,求x的值.
B組 提升題組
11.(2016河南商丘二模)已知a、b均為單位向量,且ab=0.若|c-4a|+|c-3b|=5,則|c+a|的取值范圍是( )
A
4、.3,10] B.3,5]
C.3,4] D.10,5]
12.(2016四川成都模擬)已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為2,∠B=,點(diǎn)P滿足=λ,λ∈R,若=-3,則λ的值為( )
A.12 B.-12 C.13 D.-13
13.(2016江蘇,13,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn),=4,=-1,則的值是 .
14.已知圓O的半徑為2,AB是圓O的一條直徑,C、D兩點(diǎn)都在圓O上(C、D不與A、B重合),且||=2,求|+|.
15.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量m=cos
5、C2,sinC2,n=cosC2,-sinC2,且m與n的夾角為.
(1)求角C;
(2)已知c=72,S△ABC=332,求a+b的值.
答案全解全析
A組 基礎(chǔ)題組
1.C ∵a=(1,-2),b=(-3,4),∴a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6).又∵c=(3,2),∴(a+2b)c=(-5,6)(3,2)=-53+62=-3,故選C.
2.D 因?yàn)閍(a-b)=8,所以aa-ab=8,即|a|2-|a||b|cos=8,所以4+2|b|12=8,解得|b|=4.
3.B 因?yàn)閙⊥n,|e1|=|
6、e2|=1,所以mn=(e1+2e2)(5e1-4e2)=5e12+6e1e2-8e22=-3+6e1e2=0.所以e1e2=12.設(shè)e1與e2的夾角為θ,則cosθ==12.因?yàn)棣取?,π],所以θ=.
4.C 因?yàn)镺為BC中點(diǎn),所以=12(+),||2=14(+2+)=14(12+213cos60+32)=134,所以||=132.
5.A
如圖,作AF⊥BC于F,∵△ABC是等腰三角形,∴BF=FC=12BC=1.
因?yàn)??D是AC的中點(diǎn)?=12(+),
所以=-12?12(+)(-)=-12?-=-1?=5?||=5,所以cos∠ABC=BFAB=15,=(-)=(-)
7、=-=2515-235=2-103=-43.
6.答案 55
解析 已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb與a-kb垂直,則(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即5-25k2=0,即k2=15,所以k=55.
7.答案 -12
解析 由已知得||=2,||=24,
則(-)=(+)=+=2cos3蟺4+242=-12.
8.答案 2
解析 因?yàn)?,所以點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),所以=12(+)=2m-2n,又因?yàn)閨m|=3,|n|=2,平面向量m,n的夾角為,所以||=2|m-n|=2(m-n)2=2=2.
9.解析 由已知得,ab=48-12=-16.
(1
8、)①∵|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48,∴|a+b|=43.
②∵|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=768,∴|4a-2b|=163.
(2)若(a+2b)⊥(ka-b),則(a+2b)(ka-b)=0,∴ka2+(2k-1)ab-2b2=0,
即16k-16(2k-1)-264=0.解得k=-7.
即k=-7時(shí),a+2b與ka-b垂直.
10.解析 (1)證明:∵-=(0,2sinx),
∴(-)=03+2sinx0=0,
∴(-)⊥.
(2)△ABC是等腰三角形,則AB=BC,
∴(2sinx)
9、2=(3cosx-3)2+sin2x,
整理得2cos2x-3cosx=0,
解得cosx=0或cosx=32.
∵x∈,∴cosx=32,x=.
B組 提升題組
11.B
∵a、b均為單位向量,且ab=0,
∴設(shè)a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),代入|c-4a|+|c-3b|=5,得(x-4)2+y2+x2+(y-3)2=5,即(x,y)到A(4,0)和B(0,3)的距離和為5(如圖),令c的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,則c的終點(diǎn)軌跡是點(diǎn)(4,0)和(0,3)之間的線段,又|c+a|=(x+1)2+y2,表示M(-1,0)到線段AB上點(diǎn)的距離,最小值是
10、點(diǎn)(-1,0)到直線3x+4y-12=0的距離,∴|c+a|min=|-3-12|5=3.又最大值為|MA|=5,∴|c+a|的取值范圍是3,5].故選B.
12.A 解法一:由題意可得=22cos60=2,=(+)(-)=(+)(-)-]=(+)(λ-1)-]=(1-λ)-+(1-λ)-=(1-λ)4-2+2(1-λ)-4=-6λ=-3,∴λ=12,故選A.
解法二:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(2,0),C(1,3),D(-1,3).
設(shè)P(x,0),則=(-3,3)(x-1,-3)=-3x+3-3=-3x=-3,得x=1.
∵=λ,∴λ=12.故選A.
13.答案 7
11、8
解析 由已知可得=+=+=-=12(-)-13(+)=-,=+=+=-=12(-)-13(+)=-,=+=+=12(-)-16(+)=-,=+=+=12(-)-16(+)=-,因?yàn)?4,所以=4,則==--+=-29(+)=594-29(+)=-1,所以+=292,從而==-536-+=-536(+)+=-536292+26364=6372=78.
14.解析 如圖,連接OC,OD,
則=+,=+,因?yàn)镺是AB的中點(diǎn),所以+=0,所以+=+,設(shè)CD的中點(diǎn)為M,連接OM,則+=+=2,易知△COD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,所以||=3,故|+|=|2|=23.
15.解析 (1)因?yàn)橄蛄縨=cosC2,sinC2,n=cosC2,-sinC2,
所以mn=cos2C2-sin2C2,|m|=cos2C2+sin2C2=1,
|n|=cos2C2+-sinC22=1,
又m與n的夾角為,所以cos==cos2C2-sin2C2=cosC=12,因?yàn)?
第五章 平面向量 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 Word版含解析
