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1、△+△數學中考教學資料2019年編△+△
壓軸題
1．在半徑為R的半圓O內，畫出兩個正方形ABCD和正方形DEFG，使得A，D，E都在直線MN上，B，F都在半圓弧上．請你解答下列問題：
(1)如圖1，當C，G重合時，求兩個正方形的面積和S；
(2)如圖2，當點C在半圓弧上時，求兩個正方形的面積和S.
解：(1)如圖1，連接MB，MN, 設正方形ABCD的邊為a，∴AM＝R－a，AN＝R＋a, ∵MN是半圓O的直徑，BA⊥MN，∴∠ABN＝90，∴AB2＝AMAN, 則a2＝(R－a)(R＋a)，∴a2＝R2－a2，∴2a2＝R2，即S＝R2 (2)如圖2，連接MB
2、，MN，依題意有，AB2＝AMAN ，則OA＝OD＝， ∴AM＝R－，AN＝R＋，∴a2＝(R－)(R＋)＝R2－()2，∴a2＋()2＝R2，又由勾股定理可得小正方形的邊長為， 即S＝R2
2．如圖1，已知Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝8 cm，BC＝6 cm, 點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2 cm/s，以AQ，PQ為邊作平行四邊形AQPB，連接DQ，交AB于點E，設運動時間為t(單位：s)(0≤t≤4)．請你解答下列問題：
(1)用含t的代數式表
3、示AE＝__5－t__；
(2)當t為何值時，DQ＝AP；
(3)如圖2，當t為何值時，平行四邊形AQPD為菱形．
解：(1)如圖1，依題意有，AQ＝2t，BP＝2t，∵AB＝10，∴AP＝10－2t，∴AE＝5－t (2)如實驗用圖，當DQ＝AP時，四邊形AQPD為矩形，則△APQ∽ABC, ∴＝，∴＝，解得t＝，即當t＝時，DQ＝AP (3)如圖2，當平行四邊形AQPD為菱形時，DQ⊥AP, ∴∠AEQ＝ACB＝90， 由三角函數的定義有cos∠EAQ＝＝，∴＝，解得t＝，即當t＝時，平行四邊形AQPD為菱形
4、
3．(2009陜西)問題探究
(1)在圖①的半徑為R的半圓O內(含弧)，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正三角形，并求出這個正三角形的面積．
(2)在圖②的半徑為R的半圓O內(含弧)，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正方形，并求出這個正方形的面積．
問題解決
(3)如圖③，現有一塊半徑R＝6的半圓形鋼板，是否可以裁出一邊落在MN上的面積最大的矩形？若存在，請求出這個矩形的面積；若不存在，說明理由．
解：(1)如圖①，△ACB為滿足條件的面積最大的正三角形. 連接OC，則OC⊥AB.∵AB＝2OCtan30＝R，∴S△ACB＝ABOC＝RR＝R2 (2)如圖②，
5、正方形ABCD為滿足條件的面積最大的正方形， 連接OA，令OB＝a，則AB＝2a.在Rt△ABO中，a2＋(2a)2＝R2, 即a2＝R2，S正方形ABCD＝(2a)2＝R2 (3)存在．如圖③，先作一邊落在直徑MN上的矩形ABCD，使點A，D在弧MN上，再作半圓O及矩形ABCD關于直徑MN所在直線的對稱圖形，A，D的對稱點分別是A′，D′.連接A′D，AD′，則A′D為⊙O的直徑， ∴S矩形ABCD＝ABAD＝AA′AD＝S△AA′D, ∵在Rt△AA′D中，當OA⊥A′D時，S△AA′D的面積最大， ∴S矩形ABCD最大＝2RR＝R2＝36
6、
4．在正方形ABCD中，AB＝4，O是CD上一點，且OD＝1.(有同樣條件的圖形，供解答下列問題時使用)
(1)如圖1，若直線CD繞點O按順時針方向旋轉30時交BC于點G, 則CG＝____；
(2)如圖2，當直線CD繞點O按順時針方向旋轉到什么位置時，正好將正方形ABCD的面積分成相等的兩部分，此時，直線CD旋轉與正方形ABCD的另一個交點是F，求OF的長度；
(3)如圖3，直線CD繞點O旋轉到與AD相交于點E，與BC的延長線交于點F時，恰好DE＝，設P為OF上一動點，過P作PM⊥AB于M，PN⊥BF于N，PN＝x，S矩形BMPN＝y(tǒng).
①求y與之間的函數關系式；
②當為何值
7、時，y的值最大，最大值是多少？
解：(1)∵正方形ABCD的邊長是4，OD＝1，∴OC＝3，∵∠C＝90， ∴在Rt△OGC中，由三角函數的定義有，tan30＝，＝， 即CG＝ (2)連接AC，BD相交于點E，過點F作FG⊥CD于點G, ∵OD＝BF＝CG＝1，∴OG＝2，而FG＝4，∴在Rt△FGO中，由勾股定理得，OF＝＝2 (3)依題意可知有，PN＝x，DE＝，OQ＝3－x，又△OQP∽△ODE，∴＝， ∴＝，∴QP＝(3－x)，∴MP＝4＋(3－x)＝－x＋8, ∴y＝MPPN＝(－x＋8)x，∴y＝－x2＋8x，∵a＝－＜0, ∴當x＝－＝時，y最大值＝＝6
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