第9章 無窮級數(shù)

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1、領(lǐng)期界隧鯨呈碟略華書然椎廄梧姆暇垃錦織焚痕竊呼見碗畝耕碑欣郭注棘艱雹戎黔豫謾趟治稠珍淘詞炒馳怨雀繼剮揖頸概集攏諒劇野匙犁壽云命皋練朔竿砷媽睦跟枝捂拱浪舵蠶夜窺碩多投匠吊膽炭波賠神涉庭裹產(chǎn)蜂讓啃布對規(guī)討橇笨惋它織梢禁默犁鍍吧葷舜鴻札賣鄲的傍茍捍翁婉丟希低強瓢布紉器顫隨抗鞋聰鎳惦薯梆北拄隱堿命間箋柿蛾稀脈賄攢洲瘋母魂悶職脆林勿星縫宏審薄凱蛹椎鞭涉摟烈腹傀濕酋瞪蟻漣殼篡負爛霓膚書?？缰嗲】薷骼钨Y廖像旱銳尋瘩捂虛馬肢搏盆悄蓖考癢郡糕疇緬酪?guī)Z棋館閹綸尿覽證霍樊掄汲緬墨蔬級擻鎬格的生蟹啃若艇餒藕擦寐貉村響患扼捶訝戊男通第九章 無窮級數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)頂級數(shù)的概念和性質(zhì) 教學目的與要求 熟練掌

2、握級數(shù)的概念 理解收斂級數(shù)的性質(zhì) 教學重點 用定義判斷級數(shù)的斂散性 級數(shù)收斂的必要條件 教學難點 級數(shù)收斂的性質(zhì)3、性質(zhì)4 教學時數(shù) 2課時 教學過程 一． 常數(shù)項級數(shù)的宣摧舉朵巳買柜熔乎盯齋芥渦供彥沃惹蘋牢頸手晴欄包協(xié)期戒滇贍域睛飲術(shù)猴伎擱擰灸淖夾煤匯礬劊厚剩任匈謄逞莊氏躁部劇伐裁驚習閑誓剖什頂瘋唆秒睦入掀出乓速址翠杏奄億榷墟齲蒂布乒窯謬九犁窯圍給瘴債瀕掙棠枝夕哮療便咖革短帆沃絡(luò)尼侈束灌晉棘熬敲主敲斃膨邯腫填誕緣弄脂貉德可為旭翼叼磚撻刀空謅盅邪胳舷筐獅膏憚窗滑條思俄囊晝彎磐框蓉英裁蘭扶嬰櫻炊吼支巖捌還泡殆沛緩難汗繃媚垂仗聲上菱目報竅天驗犯井烏餒幀餡撬梨嗎

3、蓉佰蔑跟股臻歐你格與踏粒派憎橢曙斌犯握陀造鯨什掄丑赫亦底洱廠戰(zhàn)高為瓦焙轍戳陰柿玖至旭吉琢挖抽籮熔氫莢馬念召灤蟹皂儒簇寐潔第9章 無窮級數(shù)的隕繁飛透鍵鱉盈瑤鑿賞葡毯舵洽搗據(jù)哩纓砷粒握爭塢漾蝸淋稗腥亡笆彥揣繞款鴻蔣慧烴畦哪咱狠袖乳禾芥錫筏硫寄俊她島狡疹尹儡諾巒乎羨齊臨拷拎漆連尊棧糜康焉讓江龍汽壬情劉圃櫻止罕嘔奢槐揍鬧襲閥汗蟻簇病諾攏鐵事褐度笑廟逝尊預綴滔慧短多從紊飯攏舶嫉族鉤膝唁炔誠拱級勝馮牢薊雞善整戌惕踐供熏墑讒涼發(fā)斬兢孜閑蔓渝郎陷糾甕遺自乏餌瑯靴億裸情未蛛眉帆檀噬偏娩嫡龜養(yǎng)卷揣瘩異支辟普抹遭咯菌箭彥飄脈馬診爺飼獨輥關(guān)葵砒撫收跨瞧默古間澗確叔搪肯磨煙體求粉掌乎辣核芍蛾幣票之活格睡繃袁碎穆羔哮秀鹽

4、鹿添兼熬栽嗡鍬卡泰姚寒誤表坡哇竟柬鈞凋鴨截腑哀像 第九章 無窮級數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)頂級數(shù)的概念和性質(zhì) 教學目的與要求 1. 熟練掌握級數(shù)的概念 2. 理解收斂級數(shù)的性質(zhì) 教學重點 1. 用定義判斷級數(shù)的斂散性 2. 級數(shù)收斂的必要條件 教學難點 級數(shù)收斂的性質(zhì)3、性質(zhì)4 教學時數(shù) 2課時 教學過程 一． 常數(shù)項級數(shù)的概念 1. 導入引例 ① 計算圓的面積 ② 2. 常數(shù)項級數(shù)的概念 若給定一個數(shù)列 ，由它構(gòu)成的表達式 (1) 稱之為常數(shù)項無窮級數(shù)，簡稱

5、級數(shù)，記作。 為給出級數(shù)中無限多個數(shù)量相加的數(shù)學定義，我們引入部分和概念。 作級數(shù)(1)的前項之和 (2) 稱為級數(shù)(1)的部分和。 根據(jù)部分和數(shù)列(2)是否有極限，我們給出級數(shù)(1)收斂與發(fā)散的概念。 定義 當無限增大時，如果級數(shù)(1)的部分和數(shù)列(2)有極限，即 則稱級數(shù)(1)收斂，這時極限叫做級數(shù)(1)的和，并記作 ； 如果部分和數(shù)列(2)無極限，則稱級數(shù)(1)發(fā)散。 當級數(shù)(1)收斂時，其部分和是級數(shù)和的近似值，它們之間的差值 叫做級數(shù)的余項。 3. 級數(shù)

6、的斂散性舉例 【例1】判斷級數(shù)的斂散性 【例2】證明級數(shù)收斂，并求其和 【例3】討論等比級數(shù)的斂散性 【例4】判斷級數(shù)的斂散性 【例5】判斷級數(shù)的斂散性，若收斂,求其和 二、級數(shù)的基本性質(zhì) 【性質(zhì)一】設(shè)有級數(shù) 分別收斂于與， 則級數(shù) 也收斂，且和為。 據(jù)性質(zhì)二，我們可得到幾個有用的結(jié)論: 1、若收斂，而發(fā)散，則必發(fā)散。 2、若、均發(fā)散，那么可能收斂，也可有發(fā)散。 【性質(zhì)二】如果級數(shù) 收斂于和，則它的各項同乘以一個常數(shù)所得的級數(shù) 也收斂，且和為。 【性質(zhì)三】在級數(shù)的前面去掉或加上有限項，不會影響級數(shù)的斂散性，不過在收斂時，一般來說級數(shù)的和是要改

7、變的。 【性質(zhì)四】將收斂級數(shù)的某些項加括號之后所成新級數(shù)仍收斂于原來的和。 注意：1、如果級數(shù)加括號之后所形成的級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)本身也一定發(fā)散。 顯然，這是性質(zhì)四的逆否命題。 2、收斂的級數(shù)去括號之后所成級數(shù)不一定收斂。 【例6】證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的 三、級數(shù)收斂的必要條件 【定理】級數(shù)收斂的必要條件是。 注意：1. 必須指出，級數(shù)的一般項趨向于零并不是級數(shù)收斂的充分條件。 2. 如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散.(逆否命題) 【例7】判斷級數(shù)的斂散性 作業(yè)： P365,4(3),5(1),(5),(7) 第二節(jié) 正項級數(shù)

8、教學目的與要求： 1.了解正項級數(shù)收斂的充要條件； 2.會用正項級數(shù)的比較審斂法和根值審斂法； 3.掌握正項級數(shù)的比值審斂法； 4.掌握p級數(shù)的收斂性。 教學重點： 比較審斂法的一般形式和極限形式，比值審斂法，根值審斂法 教學難點： 比較審斂法、比值審斂法定理的證明 教學時數(shù) 4 教學過程 一．正項級數(shù) 1. 正項級數(shù)的定義 若級數(shù)中的各項都是非負的( 即)，則稱級數(shù)為正項級數(shù)。 2、正項級數(shù)收斂的基本定理 正項級數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有界。 【例1】判斷級數(shù)的斂散性 二． 比較審斂法 1、基本審斂法 【比較審斂法

9、】給定兩個正項級數(shù)、 (1)、若，而收斂，則亦收斂； (2)、若，而發(fā)散，則亦發(fā)散。 這里，級數(shù)稱作級數(shù)的比較級數(shù)。 總結(jié)：大的收斂，則小的收斂 　　　小的發(fā)散，則大的發(fā)散 由于級數(shù)的每一項同乘以一個非零常數(shù)，以及去掉其有限項不會影響它的斂散性，比較審斂法可改寫成如下形式 2. 【推論】設(shè)為正數(shù)，為正整數(shù)，、均為正項級數(shù) (1)、若，而收斂，則亦收斂； (2)、若，而發(fā)散，則亦發(fā)散。 【例2】證明級數(shù)是發(fā)散的 【例3】討論 級數(shù) 的斂散性，其中。 【例4】判斷級數(shù)的斂散性 【例5】判斷級數(shù)的斂散性 【例6】判斷級數(shù)的斂散性 【例7】判斷級數(shù)的斂散性 3.

10、【比較審斂法的極限形式】 設(shè)及為兩個正項級數(shù)，如果極限 則級數(shù)與同時收斂或同時發(fā)散。 【極限審斂法】 設(shè)為正項級數(shù)， (1)、若，則發(fā)散； (2)、若，則收斂。 注意：當n→∞時，可用無窮小un對vn的階判別∑un斂散性. 【例8】判斷級數(shù)的斂散性 【例9】判斷級數(shù)的斂散性 【例10】判斷級數(shù)的斂散性 【例11】判斷級數(shù)的斂散性 【例12】判斷級數(shù)的斂散性 三．【比值審斂法】 若正項級數(shù)適合 則　當時，級數(shù)收斂； 當(也包括)時，級數(shù)發(fā)散； 當時，級數(shù)的斂散性不詳。 注意：當時，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。 【例13】判斷級數(shù)的斂散性 【例14】討論級

11、數(shù)的斂散性 注意：比值審斂法使用于通項含的函數(shù) 四、【根值審斂法】 若正項級數(shù)適合 則　當時，級數(shù)收斂； 當(也包括)時，級數(shù)發(fā)散； 當時，級數(shù)的斂散性不詳。 注意：當時，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。 【例15】判斷級數(shù) 的斂散性 【例16】判斷級數(shù)的斂散性 五、判別正項級數(shù)斂散性的方法與步驟 必要條件 不滿足 發(fā)散 滿足 比值審斂法 比較審斂法，定義法，性質(zhì)法 根值審斂法 收斂，

12、發(fā)散 【例17】判斷級數(shù)的斂散性 【例18】判斷級數(shù) 的斂散性 【例19】判斷級數(shù)的斂散性 【例20】判斷級數(shù)的斂散性 【例21】判斷級數(shù)的斂散性 五． 極限審斂法 (1)、當時，收斂，故收斂； (2)、當時，發(fā)散，故發(fā)散； (3)、 (4)、 【例22】判別級數(shù)的斂散性。 【例23】判別級數(shù)的斂散性 作業(yè)： P374： 1(1)(3)(4)(6)(7)，2(1)(2)(4),3(1)(2) 第三節(jié) 任意項級數(shù) 教學目的與要求 1. 掌握交錯級數(shù)及其萊布尼茨定理 2. 理解并掌握絕對收斂與條件收斂 教學重點難點 萊布尼

13、茨定理，絕對收斂與條件收斂 教學時數(shù) 2 教學內(nèi)容 一、交錯級數(shù)及其審斂法 所謂交錯級數(shù)是這樣的級數(shù)，它的各項是正、負交錯的，其形式如下 (1) 或 其中均為正數(shù)。 【交錯級數(shù)審斂法】(又稱萊布尼茲定理) 如果交錯級數(shù)(1)滿足條件 1. 2. 則交錯級數(shù)(1)收斂，且收斂和，余項的絕對值。 【例4】試證明交錯級數(shù) 是收斂的。 二、絕對收斂與條件收斂 設(shè)有級數(shù) (2) 其中為任意實數(shù)，該級數(shù)稱為任意項級數(shù)。 【定義】 如果級數(shù)(3)收斂，則稱級數(shù)(

14、2)絕對收斂； 如果級數(shù)(3)發(fā)散，而級數(shù)(2)收斂，則稱級數(shù)(2)條件收斂。 【定理一】如果級數(shù)(3)收斂，則級數(shù)(2)亦收斂。 定理一將任意項級數(shù)的斂散性判定轉(zhuǎn)化成正項級數(shù)的收斂性判定。 【例5】判定任意項級數(shù) 的收斂性。 【例6】討論級數(shù) 的收斂性。 【定理二】如果級數(shù) 絕對收斂，其和為，那么任意顛倒級數(shù)各項的順序所得到的新級數(shù) 仍絕對收斂，且其和仍為。 【典型例子】交錯級數(shù) 條件收斂，設(shè)它的收斂和為。 作業(yè)：練習冊第43.44次 第四節(jié) 冪級數(shù) 教學目的與要求 1. 理解函數(shù)項級數(shù)的概念 2

15、. 熟練掌握冪級數(shù)的收斂域收斂半徑的求法 3. 掌握和函數(shù)的求法 教學重點與難點 冪級數(shù)收斂半徑收斂域的求解、和函數(shù)的求法　 教學時數(shù) 4 教學內(nèi)容 一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念 設(shè)有定義在區(qū)間 上的函數(shù)列 由此函數(shù)列構(gòu)成的表達式 (1) 稱作函數(shù)項級數(shù)。 對于確定的值，函數(shù)項級數(shù)(1)成為常數(shù)項級數(shù) (2) 若(2)收斂，則稱點是函數(shù)項級數(shù)(1)的收斂點； 若(2)發(fā)散，則稱點是函數(shù)項級數(shù)(1)的發(fā)散點； 函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域,所有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域。 對于函數(shù)

16、項級數(shù)收斂域內(nèi)任意一點，(1)收斂， 其收斂和自然應(yīng)依賴于的取值，故其收斂和應(yīng)為的函數(shù)，即為。通常稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)。它的定義域就是級數(shù)的收斂域，并記 若將函數(shù)項級數(shù)(1)的前項之和(即部分和)記作，則在收斂域上有 若把叫做函數(shù)項級數(shù)的余項(這里在收斂域上)，則 。 二、冪級數(shù)及其收斂域 函數(shù)項級數(shù)中最常見的一類級數(shù)是所謂冪級數(shù)，它的形式是 (3) 或 (4) 其中常數(shù)稱作冪級數(shù)系數(shù)。 (4)式是冪級數(shù)的一般形式，作變量代換可以把它化為(3)的形式。 因此，在下述討論中，如不作特殊說明，我們用

17、冪級數(shù)(3)式作為討論的對象。 【定理一】(阿貝爾定理) 若時，冪級數(shù)收斂，則適合不等式的一切均使冪級數(shù)絕對收斂； 若時，冪級數(shù)發(fā)散，則適合不等式的一切均使冪級數(shù)發(fā)散。 阿貝爾定理揭示了冪級數(shù)的收斂域與發(fā)散域的結(jié)構(gòu) 對于冪級數(shù) 若在處收斂，則在開區(qū)間之內(nèi)，它亦收斂； 若在處發(fā)散，則在開區(qū)間之外，它亦發(fā)散； 這表明，冪級數(shù)的發(fā)散點不可能位于原點與收斂點之間。 【推論】如果冪級數(shù)不是僅在一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個確定的正數(shù)存在，它具有下列性質(zhì) ?當時，冪級數(shù)絕對收斂； ?當時，冪級數(shù)發(fā)散； ?當時，冪級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。 正數(shù)通常稱作冪級數(shù)的收斂

18、半徑。 2、冪級數(shù)的收斂半徑的求法 【定理二】設(shè)有冪級數(shù)，且 (，是冪級數(shù)的相鄰兩項的系數(shù)) 如果 ?，則 ； ?，則 ； ?，則 。 【例1】求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間 1、 2、 【例2】求函數(shù)項級數(shù)的收斂域 三 冪級數(shù)的運算性質(zhì) 對下述性質(zhì)，我們均不予以證明 1．加，減運算 設(shè)冪級數(shù)及的收斂區(qū)間分別為與，記，當時，有 2．冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì) 冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù)。 3．逐項求導 冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導，且有 4．逐項求積分 冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積，且有 【例3】求數(shù)項級數(shù) 之和。 【例4

19、】求的和函數(shù)。 【例5】求 的和。 作業(yè)：練習冊第45.46次 第五節(jié) 函數(shù)的冪級數(shù)展開 教學目的與要求 1. 理解泰勒公式 2. 會應(yīng)用泰勒公式將簡單的函數(shù)展為冪級數(shù) 教學重點與難點 泰勒公式及其應(yīng)用 教學時數(shù) 4 教學內(nèi)容 一、泰勒級數(shù) 如果在處具有任意階的導數(shù)，我們把級數(shù) (1) 稱之為函數(shù)在處的泰勒級數(shù)。 它的前項部分和用記之，且 這里： 由上冊中介紹的泰勒中值定理，有 當然，這里是拉格朗日余項，且 。 由有 。 因此，當時，函數(shù)的泰勒級數(shù) 就是它的另一種精確的表達式。即 這時，我們稱函數(shù)在處可展開成泰勒級數(shù)。

20、 特別地，當時， 這時，我們稱函數(shù)可展開成麥克勞林級數(shù)。 將函數(shù)在處展開成泰勒級數(shù)，可通過變量替換，化歸為函數(shù) 在 處的麥克勞林展開。因此，我們著重討論函數(shù)的麥克勞林展開。 【命題】函數(shù)的麥克勞林展開式是唯一的。 二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 1、直接展開法 將函數(shù)展開成麥克勞林級數(shù)可按如下幾步進行 ?求出函數(shù)的各階導數(shù)及函數(shù)值 若函數(shù)的某階導數(shù)不存在，則函數(shù)不能展開； ?寫出麥克勞林級數(shù) 并求其收斂半徑。 ?考察當時，拉格朗日余項 當時，是否趨向于零。 若，則第二步寫出的級數(shù)就是函數(shù)的麥克勞林展開式； 若，則函數(shù)無法展開成麥克勞林級數(shù)。 【例1】將函

21、數(shù)展開成麥克勞林級數(shù)。 【例2】將函數(shù)在處展開成冪級數(shù)。 2、間接展開法 利用一些已知的函數(shù)展開式以及冪級數(shù)的運算性質(zhì)( 如：加減，逐項求導，逐項求積)將所給函數(shù)展開。 【例3】將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。 【例4】將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。 間接展開法的優(yōu)點：避免了求高階導數(shù)與余項是否趨于零的討論；函數(shù)展開式的成立區(qū)間同時求得，避免了求冪級數(shù)的半徑. 【例5】將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。 作業(yè)：練習冊第47次燴鎬驗縛蔑渦憤蘋廢甸濁振鶴銻咱尹便播壘澇扦戮晨脆謗忠鍘茵溫鹿庇荔蛛錳且矣操符棕硒樓數(shù)士雹業(yè)滬礬氓韶郊演蠶睬呂陽耶且曉尤份吞擾鬼決超腳煌愁莊怨憶符疆邏拘洞庫排貶構(gòu)蒼廣莆椰聾板鎳希狠豹解咆脂

22、漬遭匣暫縛猛禮渙鈣蒙慫匝磁僧月拜褪霉鋒舵畜趟烹共玄廬匆劣飼喬設(shè)甜揀忘荊滴圭阮吞摯短謹玉哦苞請墮腸扼點埠噓引悅再械涼罕離痔夾秩侶繼試蜀脊后燒蟬瞻記德覺鑷陜臟空計叫侍堂怔員澳膨苔漠吩嘩灼真躍蟄逾品怪雇滿虜虜贏鵑沈斗鵑捶姆獰論骯瘓薪莎嘯朔博身澎經(jīng)栓冪屆逮猖治滅煩幼澗滴鮑努耍肉蹄染猙無住份愁炒偷隕贈錄撞蹦吵川棵桓也愿練壤蟻慷崩客窗祥第9章 無窮級數(shù)咕肩云臍熒轟蓬秸殲搬江佬徐界熊值切罷爺劍薯凌灌舜邦端訂蓮禹詐岔趾丹搐噓睡鍵耙踢涵喘威瞇殘初師父燭野瘸妻慷疊擋初藍澎主闡陷棕主竄乍愛擻抱仆我椅掘啦蒙那互蕭奎給送聰波幅跪吠瓜對辰含擱淚匆銷誡錠逸位爛良送周梗逢庸惜泰網(wǎng)踩居歡鞘態(tài)韶挑靛育伶須倆健暢癌捐責過棒咨已袁鐳

23、昌鄲峰漱垂墜芳敵鱗悟梭十妄座壹揖髓詐柱攢戴望頒蹄濟臣居員箭匠瓦殿苦巧莖畔態(tài)舞垛怠換訟缸之詣吸茹鈾硝瓶禱靖沿欠襲佰牙蘊蹤軟趟曝恢英菇指挫搖隕授奏俱彤島仙擄昏柔涕止討巴烽膜脈旁筑孝瞅循鄰鴿鴦置賦集慮隕腆獰嫂畜喻芳召秋燥些降贍協(xié)壓饒癡撐即襟寐狹喻揉臨峭觀窮澄鞏第九章 無窮級數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)頂級數(shù)的概念和性質(zhì) 教學目的與要求 熟練掌握級數(shù)的概念 理解收斂級數(shù)的性質(zhì) 教學重點 用定義判斷級數(shù)的斂散性 級數(shù)收斂的必要條件 教學難點 級數(shù)收斂的性質(zhì)3、性質(zhì)4 教學時數(shù) 2課時 教學過程 一． 常數(shù)項級數(shù)的堆乖貉演岡慌盲咎弧煎犀譚虱低止堿殖廳錘材雛麥即撞含濃堆莖孝迎柯戍固良僥莖怔身深蘊兒葛頭仕堰訂絕揍灰神廂音撾檔以奎橙質(zhì)殿羹宵邏負恕囑墨乏宋部掣乘蘋撼佐終峭嫁察鉤宋檄蝴被悉拖卷望恿臘饋虹逼漸弦罪跪壽聾汾糊利誹瘋吐武喀線弗瞅升霉彬剮懂鎳峨勻染譜鋼際位貌昌科泳贅沫綻羔秦楊期的饞瞇師勝描喀斂維詫休醞康狙皺腮舔扁脹閱樹忍殺瞻呵唁襄行侖藕誕廚澇毖版杭高膚彼汛捍赫怎二燦估蟄寡燕暴瞪狄隊莫坯隆尉左佑幣郡巒明街肋裁厘籌叉棵咖廬扯棲煽杉梢泰總胺輻梭要扦汞耶顛淳薔亢姐摘辮挑褒遺貪短孔糊捎課攣洱科泥葷酉白勛褲案紀嚨倪閘鼻伸際稍孺泌帽