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第七節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入
【考綱下載】
1．理解復數(shù)的基本概念，理解復數(shù)相等的充要條件．
2．了解復數(shù)的代數(shù)表示法和幾何意義，會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算．
3．了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義．
1．復數(shù)的有關概念
(1)復數(shù)的定義
形如a＋bi(a、b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中實部是a，虛部是b.
(2)復數(shù)的分類
(3)復數(shù)相等
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復數(shù)
a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)復數(shù)的模
2、向量的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a、b∈R)．
2．復數(shù)的幾何意義
(1)復平面的概念
建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面．
(2)實軸、虛軸
在復平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．
(3)復數(shù)的幾何表示
復數(shù)z＝a＋bi復平面內(nèi)的點Z(a，b)平面向量 .
3．復數(shù)的運算
(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則：
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i
3、；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)復數(shù)的加法的運算定律
復數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
(3)復數(shù)的乘法的運算定律
復數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律，即對于任意z1，z2，z3∈C，有z1z2＝z2z1，(z1z2)z3＝z1(z2z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.[來源:]
1．復數(shù)a＋b
4、i(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a＝0嗎？
提示：不是，a＝0是a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的必要條件，只有當a＝0，且b≠0時，a＋bi才為純虛數(shù)．
2．z1，z2是復數(shù)，z1－z2>0，那么z1>z2，這個命題是真命題嗎？
提示：假命題．例如：z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－z2＝3>0，但z1>z2無意義，因為虛數(shù)無大小概念．
3．若z1，z2∈R，z＋z＝0，則z1＝z2＝0，此命題對z1，z2∈C還成立嗎？
提示：不一定成立．比如z1＝1，z2＝i滿足z＋z＝0.但z1≠0，z2≠0.
1．(2013湖南高考)復數(shù)z＝i(1＋i)(i為虛數(shù)單位)在復
5、平面上對應的點位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：選B ∵z＝i(1＋i)＝－1＋i，∴復數(shù)z在復平面上對應的點的坐標為(－1,1)，位于第二象限．
2．復數(shù)＝( )[來源:]
A．2－i B．1－2i
C．－2＋i D．－1＋2i
解析：選C ＝＝＝＝－2＋i.
3．(2013新課標全國卷Ⅱ)＝( )
A．2 B．2 C. D．1
解析：選C ∵＝＝＝1－i，
∴＝|1－
6、i|＝＝.
4．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i為虛數(shù)單位，則a＋b＝________.
解析：根據(jù)已知可得＝b＋i?2－ai＝b＋i?
即從而a＋b＝1.
答案：1
5．設a是實數(shù)，且＋是實數(shù)，則a＝________.
解析：＋＝＋＝為實數(shù)，
故1－a＝0，即a＝1.
答案：1[來源:]
前沿熱點(十五)[來源:]
與復數(shù)有關的新定義問題
1．復數(shù)的定義及運算的考查多以客觀題的方式呈現(xiàn)，也常從與實數(shù)的一些性質(zhì)類比的角度命制新定義問題．
2．解決此類問題的關鍵是抓住新定義或新運算的特征，對所給的新信息進行分析，并將所給信息與所學相關知識結(jié)合．
[典例] (
7、2014南昌模擬)在實數(shù)集R中，我們定義的大小關系“>”為全體實數(shù)排了一個“序”．類似地，我們在復數(shù)集C上也可以定義一個稱為“序”的關系，記為“>”．定義如下：對于任意兩個復數(shù)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，z1>z2當且僅當“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2”．
按上述定義的關系“>”，給出如下四個命題：
①若z1>z2，則|z1|>|z2|；
②若z1>z2，z2>z3，則z1>z3；
③若z1>z2，則對于任意z∈C，z1＋z>z2＋z；
④對于復數(shù)z>0，若z1>z2，則zz1>zz2.
其中所有真命題的個數(shù)為( )
A．1
8、 B．2 C．3 D．4
[解題指導] 新定義復數(shù)的“序”：對于任意兩個復數(shù)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，z1>z2當且僅當“a1>a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．
[解析] 對于復數(shù)z1＝2＋i，z2＝1－3i，顯然滿足z1>z2，但|z1|＝，|z2|＝，不滿足|z1|>|z2|，故①不正確；設z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，由z1>z2，z2>z3可得“a1>a3”或“a1＝a3且b1>b3”，故②正確；設z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋bi，由z1>z2可得“a1
9、>a2”或“a1＝a2且b1>b2”．顯然有“a1＋a>a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b>b2＋b”，從而z1＋z>z2＋z，故③正確；對于復數(shù)z1＝2＋i，z2＝1－3i顯然滿足z1>z2，令z＝1＋i，則zz1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，zz2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，顯然不滿足zz1>zz2，故④錯誤．[來源:]
綜上②③正確，故選B.
[答案] B
[名師點評] 解決本題的關鍵有以下兩點：
(1)根據(jù)所給的新定義把所給的復數(shù)大小比較問題轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部、虛部之間的大小比較問題來處理．
(2)能善于利用舉反例的方法解決問題．
定義一種運算如下：＝x1y2－x2y1，則復數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是________．
解析：由定義可知，z＝＝(＋i)i－(－1)(－i)＝i＋i2＋－i＝(－1)i＋－1，∴＝(－1)＋(1－)i.
答案：(－1)＋(1－)i
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高考數(shù)學復習：第九章 ：第七節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
