五年高考真題高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第九章 第六節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理全國(guó)通用

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1、 第六節(jié)第六節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 考點(diǎn)一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1(20 xx重慶，10)設(shè)雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過(guò)F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，過(guò)B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，若D到直線BC的距離小于aa2b2，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是( ) A(1，0)(0，1) B(，1)(1，) C( 2，0)(0， 2) D(， 2)( 2，) 解析 由題意A(a，0)，Bc，b2a，Cc，b2a，由雙曲線的對(duì)稱性知D在x軸上，設(shè)D(x，0)，由BDAC得b2a0cxb2aac1，解得cx

2、b4a2（ca），所以cxb4a2（ca）aa2b2ac，所以b4a2c2a2b2b2a210ba1，因此漸近線的斜率取值范圍是(1，0)(0，1)，選 A. 答案 A 2(20 xx遼寧，10)已知點(diǎn)A(2，3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為( ) A.12 B.23 C.34 D.43 解析 A(2，3)在拋物線y22px的準(zhǔn)線上，p22，p4，y28x，設(shè)直線AB的方程為xk(y3)2，將與y28x聯(lián)立，即xk（y3）2，y28x，得y28ky24k160，則(8k)24(24k16)0，即 2k23k20，解得k

3、2 或k12(舍去)，將k2 代入解得x8，y8，即B(8，8)，又F(2，0)，kBF808243，故選 D. 答案 D 3(20 xx新課標(biāo)全國(guó)，10)設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為 30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為( ) A.3 34 B.9 38 C.6332 D.94 解析 易知直線AB的方程為y33(x34)，與y23x聯(lián)立并消去x得 4y212 3y90.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y23 3，y1y294. SOAB12|OF|y1y2| 1234（y1y2）24y1y2 3827994.故選 D. 答案 D 4(20

4、xx大綱，8)橢圓C：x24y231 的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是2，1，那么直線PA1斜率的取值范圍是( ) A.12，34 B.38，34 C.12，1 D.34，1 解析 如圖： 設(shè)直線A2M的方程為y(x2)2x， 代入橢圓方程x24y231，并整理得 7x216x40， 2x167，x27， M點(diǎn)坐標(biāo)為27，127. 設(shè)直線A2N的方程為y2(x2)42x，同理可得N點(diǎn)坐標(biāo)為2619，2419， kA1M12727234， kA1N24192619238. 直線PA1斜率的取值范圍是38，34. 答案 B 5(20 xx全國(guó)，10)已知拋物線C

5、：y24x的焦點(diǎn)為F，直線y2x4 與C交于A，B兩點(diǎn)，則 cosAFB等于( ) A.45 B.35 C35 D45 解析 聯(lián)立y24x，y2x4.不妨設(shè)A在x軸上方， 則A(4，4)，B(1，2) F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，F(xiàn)A(3，4)，F(xiàn)B(0，2)， cosAFBFAFB|FA|FB|85245. 答案 D 6(20 xx山東，15)平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點(diǎn)O，A，B.若OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為_(kāi) 解析 由題意，不妨設(shè)直線OA的方程為ybax，直線OB的方程為ybax.由ybax

6、，x22py，得x22p bax， x2pba，y2pb2a2，A2pba，2pb2a2. 設(shè)拋物線C2的焦點(diǎn)為F，則F0，p2， kAF2pb2a2p22pba. OAB的垂心為F，AFOB，kAFkOB1， 2pb2a2p22pbaba1，b2a254. 設(shè)C1的離心率為e，則e2c2a2a2b2a215494. e32. 答案 32 7(20 xx浙江，16)定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離已知曲線C1：yx2a到直線l：yx的距離等于曲線C2：x2(y4)22 到直線l：yx的距離，則實(shí)數(shù)a_. 解析 曲線C2到l的距離d等于圓心到直線的距離減去半徑，

7、即d|4|2 2 2， 所以曲線C1到l的距離為 2， 則曲線C1與直線l不能相交， 即x2ax， x2xa0.設(shè)C1：yx2a上一點(diǎn)為(x0，y0)， 則點(diǎn)(x0，y0)到直線l的距離 d|x0y0|2x0 x20a2 （x012）2a142a142 2，所以a94. 答案 94 8(20 xx浙江，19)已知橢圓x22y21上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線ymx12對(duì)稱 (1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)) 解 (1)由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為 y1mxb. 由x22y21，y1mxb， 消去y，得121m2x22bmxb210. 因?yàn)橹本€y1mxb與

8、橢圓x22y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以2b224m20， 將AB中點(diǎn)M2mbm22，m2bm22代入直線方程ymx12解得bm222m2 由得m63或m63. (2)令t1m62，0 0，62，則 |AB|t212t42t232t212. 且O到直線AB的距離為dt212t21. 設(shè)AOB的面積為S(t)， 所以S(t)12|AB|d122t2122222. 當(dāng)且僅當(dāng)t212時(shí)，等號(hào)成立 故AOB面積的最大值為22. 9(20 xx江蘇，18)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的離心率為22，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過(guò)

9、F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC2AB，求直線AB的方程 解 (1)由題意，得ca22且ca2c3， 解得a 2，c1，則b1， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y21. (2)當(dāng)ABx軸時(shí)，AB 2，又CP3，不合題意 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將AB的方程代入橢圓方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0， 則x1，22k2 2（1k2）12k2，C的 坐 標(biāo) 為2k212k2，k12k2， 且AB（x2x1）2（y2y1）2 （1k2）（x2x1）2 2 2（1k2）12

10、k2. 若k0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意 從而k0，故直線PC的方程為 yk12k21kx2k212k2， 則P點(diǎn)的坐標(biāo)為2，5k22k（12k2）， 從而PC2（3k21） 1k2|k|（12k2）. 因?yàn)镻C2AB， 所以2（3k21） 1k2|k|（12k2）4 2（1k2）12k2， 解得k1. 此時(shí)直線AB的方程為yx1 或yx1. 10(20 xx天津，19)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的左焦點(diǎn)為F(c，0)，離心率為33，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2y2b24截得的線段的長(zhǎng)為c，|FM|4 33. (1)求直線FM的斜率； (2

11、)求橢圓的方程； (3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線FP的斜率大于 2，求直線OP(O為原點(diǎn))的斜率的取值范圍 解 (1)由已知有c2a213， 又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2. 設(shè)直線FM的斜率為k(k0)，F(xiàn)(c，0)，則直線FM的方程為 yk(xc)由已知，有kck212c22b22， 解得k33. (2)由(1)得橢圓方程為x23c2y22c21，直線FM的方程為y33(xc)，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去y，整理得 3x22cx5c20， 解得x53c，或xc.因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，可得M的坐標(biāo)為c，2 33c. 由|FM|（cc）22 33c024 33. 解得c1，所以橢圓的方程為

12、x23y221. (3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，直線FP的斜率為t， 得tyx1，即yt(x1)(x1)，與橢圓方程聯(lián)立 yt（x1），x23y221，消去y，整理得 2x23t2(x1)26， 又由已知，得t62x23（x1）2 2， 解得32x1，或1x0. 設(shè)直線OP的斜率為m，得myx，即ymx(x0)，與橢圓方程聯(lián)立，整理得m22x223. 當(dāng)x32，1 時(shí)，有yt(x1)0， 因此m0，于是m2x223，得m23，2 33. 當(dāng)x(1，0)時(shí)，有yt(x1)0. 因此m0，于是m2x223， 得m，2 33. 綜上，直線OP的斜率的取值范圍是，2 3323，2 33. 11(20

13、 xx北京，19)已知橢圓C：x22y24. (1)求橢圓C的離心率； (2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y2 上，且OAOB，試判斷直線AB與圓x2y22 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論 解 (1)由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y221. 所以a24，b22， 從而c2a2b22. 因此a2，c 2. 故橢圓C的離心率eca22. (2)直線AB與圓x2y22 相切證明如下： 設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(t，2)，其中x00. 因?yàn)镺AOB，所以O(shè)AOB0，即tx02y00， 解得t2y0 x0. 當(dāng)x0t時(shí)，y0t22，代入橢圓C的方程，得t 2， 故直線AB的方程為

14、x 2.圓心O到直線AB的距離d 2. 此時(shí)直線AB與圓x2y22 相切 當(dāng)x0t時(shí)，直線AB的方程為y2y02x0t(xt)， 即(y02)x(x0t)y2x0ty00. 圓心O到直線AB的距離 d|2x0ty0|（y02）2（x0t）2 . 又x202y204，t2y0 x0，故 d|2x02y20 x0|x20y204y20 x204 4x20 x0 x408x20162x20 2. 此時(shí)直線AB與圓x2y22 相切 12(20 xx山東，21)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|FD|.

15、當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 3 時(shí)，ADF為正三角形 (1)求C的方程； (2)若直線l1l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E. ()證明直線AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)； ()ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解 (1)由題意知Fp2，0 . 設(shè)D(t，0)(t0)，則FD的中點(diǎn)為p2t4，0 . 因?yàn)閨FA|FD|， 由拋物線的定義知 3p2|tp2|， 解得t3p或t3(舍去) 由p2t43，解得p2. 所以拋物線C的方程為y24x. (2)()由(1)知F(1，0)， 設(shè)A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)， 因?yàn)閨FA|FD|，則|xD1|

16、x01， 由xD0 得xDx02，故D(x02，0) 故直線AB的斜率kABy02. 因?yàn)橹本€l1和直線AB平行， 設(shè)直線l1的方程為yy02xb， 代入拋物線方程得y28y0y8by00， 由題意64y2032by00，得b2y0. 設(shè)E(xE，yE)，則yE4y0，xE4y20. 當(dāng)y204 時(shí)，kAEyEy0 xEx04y0y04y20y2044y0y204， 可得直線AE的方程為yy04y0y204(xx0)， 由y204x0，整理可得y4y0y204(x1)， 直線AE恒過(guò)點(diǎn)F(1，0) 當(dāng)y204 時(shí)，直線AE的方程為x1，過(guò)點(diǎn)F(1，0)， 所以直線AE過(guò)定點(diǎn)F(1，0) ()由

17、()知直線AE過(guò)焦點(diǎn)F(1，0)， 所以|AE|AF|FE|(x01)1x01 x01x02. 設(shè)直線AE的方程為xmy1， 因?yàn)辄c(diǎn)A(x0，y0)在直線AE上， 故mx01y0. 設(shè)B(x1，y1) 直線AB的方程為yy0y02(xx0)， 由于y00，可得x2y0y2x0， 代入拋物線方程得y28y0y84x00. 所以y0y18y0， 可求得y1y08y0，x14x0 x04. 所以點(diǎn)B到直線AE的距離為 d4x0 x04my08y011m2 4（x01）x04x01x0. 則ABE的面積S124x01x0 x01x02 16， 當(dāng)且僅當(dāng)1x0 x0，即x01 時(shí)等號(hào)成立 所以ABE的面

18、積的最小值為 16. 13(20 xx新課標(biāo)全國(guó)，20)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：x2a2y2b21(ab0)右焦點(diǎn)的直線xy 30 交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為12. (1)求M的方程； (2)C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值 解 (1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則x21a2y21b21，x22a2y22b21， y1y2x1x21， 由此可得b2（x1x2）a2（y1y2）y2y1x2x11. 因?yàn)镻為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為12， 所以x1x22x0，y1y22y0， y0 x0

19、12.所以y012x0， 即y1y212(x1x2) 所以可以解得a22b2，又由題意知， M的右焦點(diǎn)為( 3，0)，故a2b23. 所以a26，b23. 所以M的方程為x26y231. (2)將xy 30 代入x26y231， 解得x433，y33或x0，y 3.所以可得|AB|4 63； 由題意可設(shè)直線CD方程為yxm， 所以設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)， 將yxm代入x26y231 得 3x24mx2m260， 則|CD| 2 （x3x4）24x3x4 439m2， 又因?yàn)?6m212(2m26)0，即3mb0)的一個(gè)焦點(diǎn)為( 5，0)，離心率為53. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

20、 (2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程 解 (1)由題意知c 5，eca53， a3，b2a2c24， 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29y241. (2)設(shè)兩切線為l1，l2， 當(dāng)l1x軸或l1x軸時(shí)，l2x軸或l2x軸， 可知P(3，2)； 當(dāng)l1與x軸不垂直且不平行時(shí)，x03，設(shè)l1的斜率為k，則k0，則l2的斜率為1k， l1的方程為yy0k(xx0)，與x29y241 聯(lián)立， 整理得(9k24)x218(y0kx0)kx9(y0kx0)2360， 直線與橢圓相切，0，得 9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240， 36k

21、24(y0kx0)240， (x209)k22x0y0ky2040， k是方程(x209)x22x0y0 xy2040 的一個(gè)根， 同理1k是方程(x209)x22x0y0 xy2040 的另一個(gè)根， k1ky204x209，得x20y2013，其中x03， 點(diǎn)P的軌跡方程為x2y213(x3)， 檢驗(yàn)P(3，2)滿足上式 綜上：點(diǎn)P的軌跡方程為x2y213. 3(20 xx湖北，21)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多 1.記點(diǎn)M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程； (2)設(shè)斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)P(2，1)，求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、

22、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍 解 (1)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，依題意得|MF|x|1，即 （x1）2y2|x|1， 化簡(jiǎn)整理得y22(|x|x) 故點(diǎn)M的軌跡C的方程為 y24x，x0，0，x0. (2)在點(diǎn)M的軌跡C中，記C1：y24x，C2：y0(x0) 依題意，可設(shè)直線l的方程為y1k(x2) 由方程組y1k（x2），y24x， 可得ky24y4(2k1)0. (a)當(dāng)k0 時(shí)，此時(shí)y1.把y1 代入軌跡C的方程，得x14. 故此時(shí)直線l：y1 與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)14，1 . (b)當(dāng)k0 時(shí)，方程的判別式為 16(2k2k1) 設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為(x0，0)，則由y1k(x2)，

23、令y0，得x02k1k. ()若0，x00，由解得k12. 即當(dāng)k(，1)12， 時(shí)，直線l與C1沒(méi)有公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn)， 故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn) ()若0，x00，x00，由解得k1，12，或k12，0 . 即當(dāng)k1，12時(shí)，直線l與C1只有一個(gè)公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng)k12，0 時(shí)，直線l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn)，與C2沒(méi)有公共點(diǎn) 故當(dāng)k12，0 1，12時(shí)，直線l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn) ()若0，x00，由解得1k12，或 0k0)點(diǎn)M(x0，y0)在拋物線C2上，過(guò)M作C1的切線，切點(diǎn)為A，B(M為原點(diǎn)O時(shí)，A，B重合于O) 當(dāng)x01 2時(shí)，切線MA的斜率為12

24、. (1)求p的值； (2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A，B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O) 解 (1)因?yàn)閽佄锞€C1：x24y上任意一點(diǎn)(x，y)的切線斜率為yx2，且切線AM的斜率為12. 切點(diǎn)A1，14， 切線AM：y12(x1)14. 因?yàn)辄c(diǎn)M(1 2，y0)在切線MA及拋物線C2上，于是 y012(2 2)1432 24， y0（1 2）22p32 22p. 由得p2. (2)設(shè)N(x，y)，Ax1，x214，Bx2，x224，x1x2，由N為線段AB中點(diǎn)知 xx1x22， yx21x228. 切線MA、MB的方程為 yx12(xx1)x214， yx22(xx2)x22

25、4. 由得MA，MB的交點(diǎn)M(x0，y0)的坐標(biāo)為x0 x1x22，y0 x1x24. 因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在C2上， 即x204y0， 所以x1x2x21x226， 由得x243y，x0. 當(dāng)x1x2時(shí)，A，B重合于原點(diǎn)O，AB中點(diǎn)N為O，坐標(biāo)滿足x243y. 因此AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x243y. 5.(20 xx遼寧，20)如圖橢圓C0：x2a2y2b21(ab0，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓C1：x2y2t21，bt1a.點(diǎn)A1，A2分別為C0的左，右頂點(diǎn)，C1與C0相交于A，B，C，D四點(diǎn) (1)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程； (2)設(shè)動(dòng)圓C2：x2y2t22與C0相交于A，B

26、，C，D四點(diǎn)，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD與矩形ABCD的面積相等，證明：t21t22為定值 (1)解 設(shè)A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a，0)，A2(a，0)，則直線A1A的方程為yy1x1a(xa)， 直線A2B的方程為yy1x1a(xa) 由得，y2y21x21a2(x2a2) 由點(diǎn)A(x1，y1)在橢圓C0上， 故x21a2y21b21. 從而y21b2(1x21a2)，代入得 x2a2y2b21(xa，y0) 即交點(diǎn)M的軌跡方程是 x2a2y2b21(xa，yb0)，雙曲線的方程為x2m2y2n21(m0，n0)，它們的離心率分別為e1，e2，則|PF1|a

27、m，|PF2|am，在PF1F2中，4c2(am)2(am)22(am)(am)cos 3a23m24c2ac23mc24， 則ac23mc2113acmc21e11e2acmc4 33，當(dāng)且僅當(dāng)a3m時(shí)，等號(hào)成立 ，故選 A. 答案 A 3(20 xx四川，10)已知F為拋物線y2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，OAOB2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則ABO與AFO面積之和的最小值是( ) A2 B3 C.17 28 D. 10 解析 設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨假設(shè)y10，y20)和E2：y22p2x(p20)，過(guò)原點(diǎn)O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交

28、于A1，A2兩點(diǎn)，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點(diǎn) (1)證明：A1B1A2B2； (2)過(guò)O作直線l(異于l1，l2)與E1，E2分別交于C1，C2兩點(diǎn)記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1與S2，求S1S2的值 (1)證明 設(shè)直線l1，l2的方程分別為yk1x，yk2x(k1，k20)，則 由yk1x，y22p1x，得A12p1k21，2p1k1， 由yk1x，y22p2x，得A22p2k21，2p2k1. 同理可得B12p1k22，2p1k2，B22p2k22，2p2k2. 所以A1B12p1k222p1k21，2p1k22p1k1 2p11k221k21，1k21k1， A

29、2B22p2k222p2k21，2p2k22p2k1 2p21k221k21，1k21k1. 故A1B1p1p2A2B2，所以A1B1A2B2. (2)解 由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2. 所以A1B1C1A2B2C2. 因此S1S2(|A1B1|A2B2|)2. 又由(1)中的A1B1p1p2A2B2知|A1B1|A2B2|p1p2.故S1S2p21p22. 7(20 xx四川，20)已知橢圓C：x2a2y2b21(ab0)的焦距為 4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形 (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x3

30、上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q. ()證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))； ()當(dāng)|TF|PQ|最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo) 解 (1)由已知可得a2b22b，2c2a2b24， 解得a26，b22， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x26y221. (2)()證明 由(1)可得，F(xiàn)的坐標(biāo)是(2，0)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，m)， 則直線TF的斜率kTFm03（2）m. 當(dāng)m0 時(shí)，直線PQ的斜率kPQ1m，直線PQ的方程是xmy2. 當(dāng)m0 時(shí)，直線PQ的方程是x2，也符合x(chóng)my2 的形式 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立， 得xmy2，x26y2

31、21， 消去x，得(m23)y24my20， 其判別式16m28(m23)0. 所以y1y24mm23，y1y22m23， x1x2m(y1y2)412m23. 所以PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為 6m23，2mm23， 所以直線OM的斜率kOMm3. 又直線OT的斜率kOTm3，所以點(diǎn)M在直線OT上，因此OT平分線段PQ. ()由()可得， |TF|m21， |PQ| （x1x2）2（y1y2）2 （m21）（y1y2）24y1y2 （m21）4mm23242m23 24（m21）m23 所以|TF|PQ|124（m23）2m21 124m214m214 124（44）33. 當(dāng)且僅當(dāng)m214m21，

32、即m1 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)|TF|PQ|取得最小值 所以當(dāng)|TF|PQ|最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，1)或(3，1) 8(20 xx安徽，18)設(shè)橢圓E：x2a2y21a21 的焦點(diǎn)在x軸上 (1)若橢圓E的焦距為 1，求橢圓E的方程； (2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓E的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1PF1Q.證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上 解 (1)因?yàn)榻咕酁?1，所以 2a2114，解得a258. 故橢圓E的方程為8x258y231. (2)設(shè)P(x0，y0)，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)， 其中c 2a21. 由題設(shè)知x0c，則直線F1P的斜率kF1Py0 x0c， 直線F2P的斜率kF2Py0 x0c. 故直線F2P的方程為yy0 x0c(xc) 當(dāng)x0 時(shí)，ycy0cx0， 即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為0，cy0cx0. 因此，直線F1Q的斜率為kF1Qy0cx0. 由于F1PF1Q， 所以kF1PkF1Qy0 x0cy0cx01. 化簡(jiǎn)得y20 x20(2a21) 將代入橢圓E的方程， 由于點(diǎn)P(x0，y0)在第一象限， 解得x0a2，y01a2， 即點(diǎn)P在定直線xy1 上.