全國通用高考數(shù)學(xué) 二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題20 概率含解析

【走向高考】（全國通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題20 概率（含解析）一、選擇題1(文)(20xx·廣東文，7)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有1件次品的概率為()A0.4 B0.6C0.8 D1答案B解析5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，有10種，分別是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6種，分別是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，設(shè)事件A“恰有一件次品”，則P(A)0.6，故選B(理)(20xx·太原市一模)某袋中有編號為1,2,3,4,5,6的6個小球(小球除編號外完全相同)，甲先從袋中抽取一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是()A BC D答案C解析記甲、乙各摸一次得的編號為(x，y)，則共有36個不同的結(jié)果，其中甲、乙摸出球的編號相同的結(jié)果有6個，故所求概率P1.方法點(diǎn)撥1.用古典概型概率計算公式P求概率，必須先判斷事件的等可能性2當(dāng)某事件含有的基本事件情況比較復(fù)雜，分類較多時，可考慮用對立事件概率公式求解3要熟練掌握列舉基本事件的方法，當(dāng)古典概型與其他知識結(jié)合在一起考查時，要先依據(jù)其他知識點(diǎn)的要求求出所有可能的事件及基本事件數(shù)，再計算2(文)若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，x2y21所表示的平面區(qū)域?yàn)镹，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域M內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為()ABCD答案A解析如圖，不等式組表示的平面區(qū)域M為OAB，A(1，1)，B(3,3)，SOAB3，區(qū)域N在M中的部分面積為，所求概率P.(理)如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為()A B C D答案A解析S陰2(eex)dx2(exex)|2，S正方形e2，P.方法點(diǎn)撥1.當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解；2利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的測度的計算，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域3幾何概型與其他知識結(jié)合命題，應(yīng)先依據(jù)所給條件轉(zhuǎn)化為幾何概型，求出區(qū)域的幾何測度，再代入公式求解3(文)在長為10cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC、CB的長，則該矩形面積小于24cm2的概率為()A B C D答案D解析設(shè)線段AC的長為xcm，其中0<x<10，則線段CB的長為(10x)cm，那么矩形的面積為x(10x)cm2，由x(10x)<24，解得x<4或x>6.又0<x<10，所以0<x<4或6<x<10，故該矩形面積小于24cm2的概率為，故選D(理)在區(qū)間1,6上隨機(jī)取一實(shí)數(shù)x，使得2x2,4的概率為()ABCD答案B解析由2x2,4知1x2，P(2x2,4).4(文)甲、乙、丙、丁四人排成一行，則甲、乙都不在兩端的概率為()A B C D答案B解析甲、乙、丙、丁四人站成一排有24種情形，其中甲、乙都不在兩邊有4種情形：丙甲乙丁，丙乙甲丁，丁甲乙丙，丁乙甲丙因此所求概率為P.(理)在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1,2,3，18的18名火炬手若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為()A B C D答案D解析設(shè)選出的三人編號為a3，a，a3，則，4a15，共12種，從18人中選3人有C種選法，P.5(文)扇形AOB的半徑為1，圓心角為90°.點(diǎn)C、D、E將弧AB等分成四份連接OC、OD、OE，從圖中所有的扇形中隨機(jī)取出一個，面積恰為的概率是()A B C D答案A解析所有的扇形共10個，其中面積為的扇形共有3個，故所求概率為P.(理)(20xx·太原二模)已知實(shí)數(shù)a，b滿足x1，x2是關(guān)于x的方程x22xba30的兩個實(shí)根，則不等式0<x1<1<x2成立的概率是()A B C D答案A解析設(shè)f(x)x22xba3，方程f(x)0的兩實(shí)根x1，x2滿足0<x1<1<x2，作出表示的平面為正方形OABC，其中滿足的部分如圖中陰影部分所示，陰影部分的面積S1×2×2×1×1，正方形的面積S4×416，故所求概率P.易錯分析本題易發(fā)生兩個錯誤：一是不能對方程x22xba30的兩根x1，x2滿足0<x1<1<x2正確地進(jìn)行轉(zhuǎn)化；二是無法合理地求解幾何概型的測度事實(shí)上，對于幾何概型的問題，關(guān)鍵是對測度的正確求解糾錯的方法有：加強(qiáng)對幾何概型測度的理解與求解；平時注意積累解決幾何概型的方法，如長度法、面積法、體積法等6(文)一個正方體玩具，其各面標(biāo)有數(shù)字3、2、1、0、1、2，隨機(jī)投擲一次，將其向上一面的數(shù)字記作m，則函數(shù)f(x)x3mx在(，)上單調(diào)的概率為()A B C D答案D解析f (x)3x2m，當(dāng)m0時，f (x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)m<0時，令f (x)0得，x±，f(x)在(，)上單調(diào)增加，<<，<<，當(dāng)m1時，f(x)在(，)上單調(diào)遞增，所求概率P.(理)(20xx·東北三省三校一模)一個三位自然數(shù)百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a、b、c，當(dāng)且僅當(dāng)a > b，b < c時稱為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a、b、c1,2,3,4且a、b、c互不相同，則這個三位數(shù)是“凹數(shù)”的概率是()A B C D答案C解析解法1：任取3個數(shù)，共能構(gòu)成24個三位數(shù)，A“該數(shù)為凹數(shù)”，則A213,214,312,314,412,412,324,423共包括8個基本事件，P(A).解法2：從4個不同數(shù)中任取3個，這3個數(shù)字共組成6個不同三位數(shù)，其中凹數(shù)有2個，P.7有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：10.5,14.5)214.5,18.5)418.5,22.5)922.5,26.5)1826.5,30.5)11 30.5,34.5)1234.5,38.5)838.5,42.5)2根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在30.5,42.5)內(nèi)的概率約是()A B C D答案B解析由已知可得，30.5,42.5)的數(shù)據(jù)共有22個，所以數(shù)據(jù)落在30.5,42.5)內(nèi)的概率約是，選B8(文)(20xx·陜西理，6)從正方形四個頂點(diǎn)及其中心這5個點(diǎn)中，任取2個點(diǎn)，則這2個點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長的概率為()A B C D答案C解析如圖，基本事件共有C10個，小于正方形邊長的事件有OA，OB，OC，OD共4個，P1.(理)從1(m、n1,2,3)所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)方程中任取一個，則此方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程的概率為()A B C D答案B解析當(dāng)m，n1,2,3時，1所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)共有7個，(m，n)的取值分別為(1，1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，(2，1)，(3，1)，其中表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程有4個，(m，n)的取值分別為(3,2)，(3,3)，(2,2)，(2,3)，故所求的概率為，選B二、填空題9(文)在三棱錐的六條棱中任選兩條，則這兩條棱所在直線為異面直線的概率是_答案解析從六條棱中任選兩條有15種可能，其中構(gòu)成異面直線的有3種情況，故所求概率為P.(理)從正方體六個面的對角線中任取兩條，這兩條直線成60°角的概率為_答案解析六個面的對角線共有12條，從中任取兩條共有C66種不同的取法在正方體ABCDA1B1C1D1中，與面對角線AC成60°角的面對角線有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，DC1，D1C，共8條，同理與DB成60°角的面對角線也有8條，因此一個面上的對角線與其他四個相鄰面上的對角線成60°角的情形共有16對，故6個面共有16×696對，因?yàn)槊繉Ρ挥嬎懔?次，因此共有×9648對，所求概率P.方法點(diǎn)撥解答概率與其他知識交匯的問題，要通過審題，將所要解決的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的概率模型，然后按相應(yīng)公式計算概率，轉(zhuǎn)化時要特別注意保持等價10(文)若將一個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB2，BC1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是_答案解析考查了幾何概型總面積2×12.半圓面積××12.p.(理)(20xx·呼和浩特第二次調(diào)研)在區(qū)間(0，)上任取一個數(shù)x，使得tanx<0cosxdx成立的概率是_答案解析求出定積分后結(jié)合三角函數(shù)的圖象解不等式因?yàn)?cosxdxsinx|01，所以原不等式即為tanx<1，x(0，)，解得0<x<，故所求概率為.易錯分析考生不能正確計算定積分，或者不能正確解簡單的三角不等式，都會導(dǎo)致幾何概型計算錯誤，所以幾何概型問題，正確運(yùn)算是關(guān)鍵三、解答題11(文)(20xx·太原市一模)為了考查某廠2000名工人的生產(chǎn)技能情況，隨機(jī)抽查了該廠a名工人某天的產(chǎn)量(單位：件)，整理后得到如下的頻率分布直方圖(產(chǎn)量的分組區(qū)間分別為10,15)，15,20)，20,25)，25,30)，30,35)，其中產(chǎn)量在20,25)的工人有6名(1)求這一天產(chǎn)量不小于25的工人人數(shù)；(2)工廠規(guī)定從產(chǎn)量低于20件的工人中選取2名工人進(jìn)行培訓(xùn)，求這2名工人不在同一分組的概率解析(1)由題意得，產(chǎn)量為20,25)的頻率為0.06×50.3，n20，這一天產(chǎn)量不小于25的工人人數(shù)為(0.050.03)×5×208.(2)由題意得，產(chǎn)量在10,15)的工人人數(shù)為20×0.02×52，記他們分別是A，B，產(chǎn)量在15,20)的工人人數(shù)為20×0.04×54，記他們?yōu)閍，b，c，d，則從產(chǎn)量低于20件的工人中選取2位工人的結(jié)果為：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15種不同的結(jié)果，其中2位工人不在同一分組的結(jié)果為(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共有8種，所求概率為P.(理)某電視臺舉辦“青工技能大賽”，比賽共設(shè)三關(guān)，第一、二關(guān)各有兩個問題，兩個問題全解決方可進(jìn)入下一關(guān)，第三關(guān)有三個問題，只要解決其中的兩個問題，則闖關(guān)成功每過一關(guān)可依次獲得100分、300分、500分的積分小明對三關(guān)中每個問題正確解決的概率依次為、，且每個問題正確解決與否相互獨(dú)立(1)求小明通過第一關(guān)但未過第二關(guān)的概率；(2)用X表示小明的最后積分，求X的分布列和期望解析(1)設(shè)事件A“小明通過第一關(guān)但未過第二關(guān)”，第一關(guān)第i個問題正確解決為事件Ai(i1,2)，第二關(guān)第i個問題正確解決為事件Bi(i1,2)，則P(A1)P(A2)，P(B1)P(B2).又AA1·A2·(·B1··B2)，P(A)P(A1)·P(A2)·(1P(B1)·P(B2)()2×1()2.(2)X0,100,400,900P(X0)1()2，P(X100).P(X400)()2×()2×()2C××()2，P(X900)1.X的分布列為X0100400900PE(X)0×100×400×900×.12(文)(20xx·河南商丘市二模)某校團(tuán)委會組織該校高中一年級某班以小組為單位利用周末時間進(jìn)行了一次社會實(shí)踐活動，且每個小組有5名同學(xué)，在實(shí)踐活動結(jié)束后，學(xué)校團(tuán)委會對該班的所有同學(xué)都進(jìn)行了測評，該班的A，B兩個小組所有同學(xué)所得分?jǐn)?shù)(百分制)的莖葉圖如右圖所示，其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損，但知道B組學(xué)生的平均分比A組學(xué)生的平均分高1分(1)若在B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，求其得分超過85分的概率；(2)現(xiàn)從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m，n，求|mn|8的概率解析(1)A組學(xué)生的平均分為85(分)，B組學(xué)生平均分為86分，設(shè)被污損的分?jǐn)?shù)為x，由86，x88，故B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別為93,91,88,83,75，則在B組學(xué)生隨機(jī)選1人所得分超過85分的概率P.(2)A組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別是94,88,86,80,77，在A組學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，其分?jǐn)?shù)組成的基本事件(m，n)有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)共10個，隨機(jī)抽取2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)m，n滿足|mn|8的事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共6個故學(xué)生得分m，n滿足|mn|8的概率P.(理)(20xx·河北衡水中學(xué)一模)已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)ax24bx1.(1)若a，b分別表示將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次時第一次、第二次正面朝上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率；(2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率解析(1)函數(shù)f(x)ax24bx1的圖象的對稱軸為x.要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a>0且1，即2ba.基本事件共有36個；所求事件包含基本事件：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(6,3)所求事件包含基本事件的個數(shù)是9所求事件的概率為P.(2)由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)2b a且a>0時，函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋硎镜娜切蜲AB，其中，O(0,0)，A(8,0)，B(0,8)，構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切蜲AC部分由得交點(diǎn)C坐標(biāo)為.故所求事件的概率為P.13(文)(20xx·石家莊市一模)某商店計劃每天購進(jìn)某商品若干件，商店每銷售一件該商品可獲利潤50元若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品虧損10元，若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑，此時每件調(diào)劑商品可獲利潤30元(1)若商店一天購進(jìn)該商品10件，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：件，nN)的函數(shù)解析式；(2)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件)，整理得下表：日需求量89101112頻數(shù)91115105若商店一天購進(jìn)10件該商品，以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤在區(qū)間400,500的概率解析(1)當(dāng)日需求量n10時，利潤為y50×10(n10)×3030n200；當(dāng)日需求量n<10時，利潤為y50×n(10n)×1060n100所以，y關(guān)于日需求量n函數(shù)關(guān)系式為：y.(2)50天內(nèi)有9天獲得的利潤380元，有11天獲得的利潤為440元，有15天獲得利潤為500元，有10天獲得的利潤為530元，有5天獲得的利潤為560元若利潤在區(qū)間400,550時，日需求量為9件、10件、11件該商品，其對應(yīng)的頻數(shù)分別為11天、15天、10天則利潤區(qū)間400,550的概率為：p.(理)(20xx·東北三省四市聯(lián)考)太陽島公園引進(jìn)了兩種植物品種甲與乙，株數(shù)分別為18與12，這30株植物的株高編寫成莖葉圖如圖所示(單位：cm)，甲乙9866516297654217377743218157820191572017若這兩種植物株高在185cm以上(包括185cm)定義為“優(yōu)秀品種”，株高在185cm以下(不包括185cm)定義為“非優(yōu)秀品種”(1)求乙品種的中位數(shù)；(2)在以上30株植物中，如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀品種”和“非優(yōu)秀品種”中抽取5株，再從這5株中選2株，那么至少有一株是“優(yōu)秀品種”的概率是多少？(3)若從所有“優(yōu)秀品種”中選3株，用X表示3株中含甲類“優(yōu)秀品種”的株數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望解析(1)乙的中間有兩個數(shù)187和188，因此乙的中位數(shù)為187.5cm.(2)根據(jù)莖葉圖知“優(yōu)秀品種”有12株，“非優(yōu)秀品種”有18株，用分層抽樣的方法抽取，每株被抽中的概率是，故樣本中“優(yōu)秀品種”有12×2(株)，“非優(yōu)秀品種”有18×3(株)用事件A表示“至少有一株優(yōu)秀品種被選中”，則P(A)11，因此從5株植物中選2株，至少有一株“優(yōu)秀品種”的概率是.(3)依題意，一共有12株“優(yōu)秀品種”，其中乙種植物有8株，甲種植物有4株，則X的所有可能取值為0,1,2,3，P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).因此X的分布列如下：X0123P所以E(X)0×1×2×3×1.14(文)某高中社團(tuán)進(jìn)行社會實(shí)踐，對25,55歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次是否開通“微博”的調(diào)查，若開通“微博”的稱為“時尚族”，否則稱為“非時尚族”通過調(diào)查分別得到如圖1所示統(tǒng)計表和如圖2所示的各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖.組數(shù)分組時尚族的人數(shù)占本組的頻率第一組25,30)1200.6第二組30,35)195p第三組35,40)1000.5第四組40,45)a0.4第五組45,50)300.3第六組50,55150.3請完成以下問題：(1)補(bǔ)全頻率直方圖，并求n，a，p的值；(2)從40,45)歲和45,50)歲年齡段的“時尚族”中采用分層抽樣法抽取6人參加網(wǎng)絡(luò)時尚達(dá)人大賽，其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，求選取的2名領(lǐng)隊(duì)年齡在40,45)歲的概率解析(1)第二組的頻率為1(0.040.040.030.020.01)×50.3，所以高為0.06.頻率直方圖如下：第一組的人數(shù)為200，頻率為0.04×50.2，所以n1000，所以第二組的人數(shù)為1000×0.3300，p0.65，第四組的頻率為0.03×50.15，第四組的人數(shù)為1000×0.15150，所以a150×0.460.(2)因?yàn)?0,45)歲與45,50)歲年齡段的“時尚族”的比值為603021，所以采用分層抽樣法抽取6人，40,45)歲中有4人，45,50)歲中有2人記a1、a2、a3、a4為40,45)歲中抽得的4人，b1、b2為45,50)歲中抽得的2人，全部可能的結(jié)果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15個，選取的兩名領(lǐng)隊(duì)都在40,45)歲的有6種，所以所求概率為P.(理)(20xx·湖北七市聯(lián)考)小明家訂了一份報紙，寒假期間他收集了每天報紙送達(dá)時間的數(shù)據(jù)，并繪制成頻率分布直方圖如圖所示(1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，寫出眾數(shù)x0；(2)小明的父親上班離家的時間y在上午700至730之間，而送報人每天在x0時刻前后半小時內(nèi)把報紙送達(dá)(每個時間點(diǎn)送達(dá)的可能性相等)求小明的父親在上班離家前能收到報紙(稱為事件A)的概率；求小明的父親周一至周五在上班離家前能收到報紙的天數(shù)X的數(shù)學(xué)期望解析(1)x0700.(2)設(shè)報紙送達(dá)時間為x，則小明父親上班前能收到報紙等價于由圖可知，所求概率為P1.X服從二項(xiàng)分布B(5，)，故E(X)5×(天)