高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和突破熱點題型

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1、 精品資料 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和 考點一 等差數(shù)列的判定與證明  [來源:] [例1] 已知數(shù)列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N*). (1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項,并說明理由. [自主解答] (1)證明:∵an=2-(n≥2,n∈N*),bn=,∴bn+1-bn=-=-=-=1. 又b1==-,∴數(shù)列{bn}是以-為首項,以1為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)知bn=n-,則an=1+=1+.

2、 設(shè)f(x)=1+,則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù), ∴當(dāng)n=3時,an取得最小值-1,當(dāng)n=4時,an取得最大值3. 【方法規(guī)律】 等差數(shù)列的判定方法 (1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證an-an-1為同一常數(shù); (2)等差中項法:驗證2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立; (3)通項公式法:驗證an=pn+q; (4)前n項和公式法:驗證Sn=An2+Bn. 注意:在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項法,而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷. 若數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n+1(n∈N*,n≥2),a3=27.

3、 (1)求a1,a2的值; (2)記bn=(an+t)(n∈N*),是否存在一個實數(shù)t,使數(shù)列{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出實數(shù)t;若不存在,請說明理由. 解:(1)由a3=27,27=2a2+23+1,得a2=9,由9=2a1+22+1,得a1=2. (2)假設(shè)存在實數(shù)t,使得{bn}為等差數(shù)列. 則2b2=b1+b3, 即2(9+t)=(2+t)+(27+t), ∴t=1.∴bn=(an+1). ∴bn-bn-1=(an+1)-(an-1+1) =(2an-1+2n+1+1)-(an-1+1) =an-1+1+-an-1- =1. ∴存在一個實數(shù)t=1,使數(shù)列

4、{bn}為等差數(shù)列. 高頻考點 考點二 等差數(shù)列基本量的計算   1.等差數(shù)列基本量的計算是高考的常考內(nèi)容,多出現(xiàn)在選擇題、填空題或解答題的第(1)問中,屬容易題. 2.高考對等差數(shù)列基本量計算的考查常有以下幾個命題角度: (1)化基本量求公差d或項數(shù)n; (2)化基本量求通項; (3)化基本量求特定項; (4)化基本量求前n項和. [例2] (1)(2012福建高考)等差數(shù)列{an}中,a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2013安徽高考)設(shè)S

5、n為等差數(shù)列{an}的前n項和,S8=4a3,a7=-2,則a9=(  ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2 (3)(2013新課標全國卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 (4)(2012廣東高考)已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1=1,a3=a-4,則an=________. [自主解答] (1)法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則 即解得d=2. 法二:由等差中項的性質(zhì)知,a3==5, 又∵a4=7,∴

6、公差d=a4-a3=7-5=2. (2)由等差數(shù)列前n項和公式知 S8==4(a1+a8)=4(a7+a2), 又S8=4a3,∴4(a7+a2)=4a3, ∴-2+a2=a3,∴公差d=-2. ∴a9=a7+2d=-6. (3)法一:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, ∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, ∴公差d=am+1-am=1, 由Sn=na1+d=na1+, 得 由①得a1=,代入②可得m=5. 法二:∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且前n項和為Sn, ∴數(shù)列也為等差數(shù)列.∴+=, 即+=0,解得m=5. 經(jīng)檢驗為原方程的解.

7、 (4)由a3=a-4,得到1+2d=(1+d)2-4,即d2=4,因為{an}是遞增的等差數(shù)列,所以d=2,故an=2n-1. [答案] (1)B (2)A (3)C (4)2n-1 等差數(shù)列基本量運算問題的常見類型及解題策略 (1)化基本量求公差d或項數(shù)n.通項公式和前n項和公式是解決此類問題的基礎(chǔ)和核心,在求解時,一般要運用方程思想. (2)化基本量求通項.a(chǎn)1和d是等差數(shù)列的兩個基本元素,只要把它們求出來,其余的元素便可以求出. (3)化基本量求特定項.利用通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解. (4)化基本量求前n項和.直接將基本量代入前n項和公式求解,或利用等差數(shù)列的性質(zhì)求

8、解.[來源:] 1.記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1=,S4=20,則S6=(  ) A.16 B.24 C.36 D.48 解析:選D 設(shè)公差為d,由得 則故S6=6+3=48.[來源:] 2.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足-=1,則數(shù)列{an}的公差為(  ) A. B.1 C.2 D.3 解析:選C ∵Sn=,∴=,由-=1,得-=1,即a3-a2=2,∴數(shù)列{an}的公差為2. 3.已知數(shù)列{an}中,a1=2,當(dāng)n≥2時,an=,則數(shù)列{an}的通項

9、公式為________. 解析:當(dāng)n≥2時,an-1=,兩邊取倒數(shù),得=+,即-=,所以數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列, 所以=+(n-1)=1+(n-1)=, 所以an=(n∈N*). 答案:an=(n∈N*) 考點三 等差數(shù)列的性質(zhì)   [例3] (1)在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S11=(  ) A.58 B.88 C.143 D.176 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知前6項和為36,最后6項的和為180,Sn=324(n>6),求數(shù)列{an}的項數(shù)及a9+a10. [自主

10、解答] (1)S11===88. (2)由題意知a1+a2+…+a6=36,① an+an-1+an-2+…+an-5=180,② ①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,∴a1+an=36, 又Sn==324,∴18n=324,∴n=18. ∵a1+an=36,n=18,∴a1+a18=36,從而a9+a10=a1+a18=36. [答案] (1)B 【方法規(guī)律】 應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)注意兩點 (1)在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q=2k,則am+an=ap+aq=2ak是常用的性質(zhì),本例(1)(2)都用到了這

11、個性質(zhì). (2)掌握等差數(shù)列的性質(zhì),悉心研究每個性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法,認真分析項數(shù)、序號、項的值的特征,這是解題的突破口. 1.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,項數(shù)是偶數(shù),所有奇數(shù)項之和為15,所有偶數(shù)項之和為25,則這個數(shù)列的項數(shù)為(  ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析:選A 設(shè)這個數(shù)列有2n項,則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知:偶數(shù)項之和減去奇數(shù)項之和等于nd,即25-15=2n,故2n=10,即數(shù)列的項數(shù)為10. 2.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S10=10,S20=30,則S30=________.

12、解析:∵S10,S20-S10,S30-S20成等差數(shù)列,且S10=10,S20=30,S20-S10=20,∴S30-30=10+210=30,∴S30=60. 答案:60 考點四 等差數(shù)列前n項和的最值   [例4] 已知在等差數(shù)列{an}中,a1=31,Sn是它的前n項的和,S10=S22. (1)求Sn; (2)這個數(shù)列前多少項的和最大?并求出這個最大值. [自主解答] (1)∵S10=a1+a2+…+a10, S22=a1+a2+…+a22, 又S10=S22,∴a11+a12+…+a22=0, 即=0,即a11+a22=2a1+31d=0. 又a1

13、=31,∴d=-2. ∴Sn=na1+d=31n-n(n-1)=32n-n2. (2)法一:由(1)知,Sn=32n-n2=-(n-16)2+256, ∴當(dāng)n=16時,Sn有最大值256. 法二:由(1)知, 令(n∈N*), 解得≤n≤, ∵n∈N*,∴n=16時,Sn有最大值256. 【互動探究】 若將本例中的“S10=S22”改為“S10=S15”,則該數(shù)列的前多少項的和最大? 解:∵S10=S15, ∴a11+a12+a13+a14+a15=0, 即5a13=0,∴a13=0. 又此等差數(shù)列首項為正, ∴當(dāng)n=12或13時,Sn有最大值.      【方

14、法規(guī)律】 求等差數(shù)列前n項和的最值的方法 (1)運用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),借助二次函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合的思想,從而使問題得解. (2)通項公式法:求使an≥0(an≤0)成立時最大的n值即可.一般地,等差數(shù)列{an}中,若a1>0,且Sp=Sq(p≠q),則 ①若p+q為偶數(shù),則當(dāng)n=時,Sn最大; ②若p+q為奇數(shù),則當(dāng)n=或n=時,Sn最大. 已知等差數(shù)列{an}中,Sn為前n項和,a3=12,且S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范圍; (2)前幾項和最大?并說明理由. 解:(1)因為a3=a1+2d=12,所以a1=12-2d, 所以即 解得

15、-0, 因此S6最大. 法二:前6項和最大. 由d<0可知{an}是遞減數(shù)列, 令可得[來源:] 由于-

16、列,可設(shè)中間三項為a-d,a,a+d; 若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)中間兩項為a-d,a+d,其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進行對稱設(shè)元.[來源:] 2種選擇——等差數(shù)列前n項和公式的選擇  等差數(shù)列前n項和公式有兩個,如果已知項數(shù)n、首項a1和第n項an,則利用Sn=,該公式經(jīng)常和等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合應(yīng)用;如果已知項數(shù)n、首項a1和公差d,則利用Sn=na1+,在求解等差數(shù)列的基本運算問題時,有時會和通項公式結(jié)合使用. 3個結(jié)論——等差數(shù)列前n項和Sn的三個結(jié)論  (1)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2n,則 ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1); ②S偶-S奇=nd,=. (2)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2n+1,則 ①S2n+1=(2n+1)an+1; ②=. (3)在等差數(shù)列{an}中,若a1>0,d<0,則滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值Sm;若a1<0,d>0,則滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值Sm. 4種方法——等差數(shù)列的判斷方法  (1)定義法;(2)等差中項法;(3)通項公式法;(4)前n項和公式法.

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