高考數(shù)學復(fù)習：第四章 ：第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算突破熱點題型

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1、 精品資料 第一節(jié)　平面向量的概念及其線性運算 考點一 向量的概念 　 [來源:] [例1]　給出下列四個命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若＝，則四邊形ABCD為平行四邊形； ③若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b； ④λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中假命題的個數(shù)為(　　) A．1　 　　　B．2　 　　　C．3　 　　　D．4 [自主解答]?、俨徽_．|a|＝|b|但a，b的方向不確定，故a，b不一定相等； ②不正確．因為＝，A，B，C，D可能在同一直線上，所以

2、ABCD不一定是四邊形； ③不正確．兩向量不能比較大小； ④不正確．當λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線． [答案]　D 【方法規(guī)律】 解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注五點 (1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵． (2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性． (3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān)． (4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談． (5)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量. 下列說法中錯誤的是(　　) A．有向線段可以表示向量但不是向量，且向

3、量也不是有向線段 B．若向量a和b不共線，則a和b都是非零向量 C．長度相等但方向相反的兩個向量不一定共線 D．方向相反的兩個非零向量必不相等 解析：選C　選項A中向量與有向線段是兩個完全不同的概念，故正確；選項B中零向量與任意向量共線，故a，b都是非零向量，故正確；選項C中是共線向量，故錯誤；選項D中既然方向相反就一定不相等，故正確． 高頻考點 考點二 平面向量的線性運算　　　 1．平面向量的線性運算是每年高考的重點，題型多為選擇題和填空題，難度較小，屬中低檔題． 2．高考對平面向量的線性運算的考查主要有以下幾個命題角度： (1)考查向量加法或減法的幾何意義

4、； (2)求已知向量的和； (3)與三角形聯(lián)系，求參數(shù)的值； (4)與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關(guān)系． [例2]　(1)(2012遼寧高考)已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥b C．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b (2)(2011四川高考)如圖，正六邊形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0 B． C． D． 　　 　　 　第(2)題圖　　　　 　 　　第(3)題圖 (3)(2013四川高考)如圖

5、在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝ ________. (4)(2013江蘇高考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．[來源:] [自主解答]　(1)法一：(代數(shù)法)將原式平方得|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋2ab＋b2＝a2－2ab＋b2，∴ab＝0，∴a⊥b. 法二：(幾何法)如圖所示： 在?ABCD中，設(shè)＝a，＝b，∴＝a＋b，＝a－b，∵|a＋b|＝|a－b|， ∴平行四邊形兩條對角線長度相等，即平行四邊形ABCD為矩形，∴

6、a⊥b. (2)因六邊形ABCDEF是正六邊形，故＋＋＝＋＋＝＋＝. (3)由平行四邊形法則，有＋＝＝， 已知＋＝λ，所以λ＝2. (4) ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋， ∵＝λ1＋λ2， ∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝. [答案]　(1)B　(2)D　(3)2　(4) 平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略 (1)向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合平行四邊形法則． (2)求已知向量的和．一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則． (3)與三角形聯(lián)系，求參數(shù)的值．求出向量的和或與已知條件中的和式比較，然后求參

7、數(shù)． (4)與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關(guān)系．畫出圖形，找出圖中的相等向量、共線向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解． 1．在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若＝a，＝b，則等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：選B　如圖，＝＋，由題意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，故＝， 則＝a＋b＋＝a＋b. 2．若O是△ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且2 ＋＋＝0，那么(　　) A．＝ B．＝2 C．＝3

8、 D．2＝ 解析：選A　因為D是BC邊的中點，所以有＋＝2，所以2＋＋＝2＋2＝2(＋)＝0?＋＝0?＝. 3．(2014青島模擬)在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且＝3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若＝x＋(1－x) ，則x的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選D　設(shè)＝y(tǒng)，∵＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y) ，∵＝3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，∴y∈，∵＝x＋(1－x)，∴x∈. 考點三 共線向量定理的應(yīng)用 　 [例3]　設(shè)兩個非零向量

9、e1和e2不共線． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A，C，D三點共線； (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F(xiàn)三點共線，求k的值． [自主解答]　(1)證明：＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2， ∴＝－2，∴與共線． 又∵與有公共點C，∴A，C，D三點共線． (2)∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2， ∴＝＋＝3e1－2e2. ∵A，C，F(xiàn)三點共線， ∴∥，從而存在實數(shù)λ，使得＝λ. ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2， 又e1，e2是不共線的非零向量，

10、∴因此k＝2.∴實數(shù)k的值為2. 【互動探究】 在本例條件下，試確定實數(shù)k，使ke1＋e2與e1＋ke2共線． 解：∵ke1＋e2與e1＋ke2共線， ∴存在實數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 即ke1＋e2＝λe1＋λke2， ∴解得k＝1.　　　　　 【方法規(guī)律】 1．共線向量定理的應(yīng)用 (1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值． (2)若a，b不共線，則λa＋μb＝0的充要條件是λ＝μ＝0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛． 2．證明三點共線的方法 若＝λ，則A、B、C三點共線． 若a，b是兩個不共線的非零向量，a與b起

11、點相同，則當t為何值時，a，tb，(a＋b)三向量的終點在同一條直線上？[來源:] 解：∵a，tb，(a＋b)三向量的終點在同一條直線上，且a與b起點相同． ∴a－tb與a－(a＋b)共線， 即a－tb與a－b共線， ∴存在實數(shù)λ，使a－tb＝λ， ∴解得λ＝，t＝， 即t＝時，a，tb，(a＋b)三向量的終點在同一條直線上． [來源:] ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個規(guī)律——向量加法規(guī)律 　一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即＋＋＋…＋＝.特別地，一個封閉圖形首尾連接

12、而成的向量和為零向量． 2個結(jié)論——向量的中線公式及三角形的重心 　(1)向量的中線公式 若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)一點，則＝(＋)． (2)三角形的重心 已知平面內(nèi)不共線的三點A、B、C，＝(＋＋)?G是△ABC的重心．特別地，＋＋＝0?P為△ABC的重心． 3個等價轉(zhuǎn)化——與三點共線有關(guān)的等價轉(zhuǎn)化 　A，P，B三點共線?＝λ (λ≠0)? ＝(1－t) ＋t (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，t∈R)? ＝x＋y (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． 4個注意點——向量線性運算應(yīng)注意的問題 　(1)作兩個向量的差時，要注意向量的方向是指向被減向量的終點；[來源:] (2)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個； (3)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線； (4)利用向量平行證明直線平行，必須說明這兩條直線不重合．