高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第六節(jié)正弦定理和余弦定理突破熱點題型

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1、 精品資料 考點一 利用正、余弦定理解三角形 　 [例1]　(1)(2013天津高考)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin ∠BAC＝(　　) A.　　 　B.　 　　C.　　 　D. (2)(2013安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a, 3sin A＝5sin B，則角C＝________. (3)(2013浙江高考)在△ABC中，∠C＝90，M是BC的中點，若sin∠BAM＝，則 sin∠BAC＝________. [自主解

2、答]　(1)由余弦定理可得AC2＝9＋2－23＝5，所以AC＝.再由正弦定理得＝，所以sin A＝＝＝. (2)由3sin A＝5sin B，可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t>0)，則b＝3t，c＝7t，可得cos C＝＝＝－，又C∈(0，π)，故C＝. (3)在△ABM中，由正弦定理得＝＝，設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，所以a＝，整理得(3a2－2c2)2＝0，＝，故sin∠BAC＝＝. [答案]　(1)C　(2)　(3) 【方法規(guī)律】 正、余弦定理的應(yīng)用原則 (1)正弦定理是一個連比等式，在運用此定理時，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達到解

3、決問題的目的，在解題時要學(xué)會靈活運用． (2)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用． 1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則∠B＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由正弦定理得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，∴sin Bsin(A＋C)＝sin B. 又∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝， ∴B＝或.又∵a＞b，∴A＞B， ∴B＝. 2．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對

4、邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．5[來源:] 解析：選D　由23cos2A＋cos 2A＝0，得25cos2A＝1，因為A為銳角，所以cos A＝.又由a2＝b2＋c2－2bccos A，得49＝b2＋36－b，整理得5b2－12b－65＝0， 解得b＝－(舍)或b＝5.即b＝5. 考點二 利用正、余弦定理判斷三角形的形狀 　 [例2]　在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求

5、A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，試判斷△ABC的形狀． [自主解答]　(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 故cos A＝－，又0＜c＜π，所以A＝120. (2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝. 因為0＜B＜，0＜C＜， 故B＝C＝，[來源:] 所以△ABC是等腰鈍角三角形． 【互動探究】 若將本例(2)中的條件改為“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a

6、2－b2)sin(A＋B)”，試判斷△ABC的形狀． 解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2sin Acos Bb2＝2cos Asin Ba2， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B. 由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B.　　　　 在△AB

7、C中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π， ∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或 A＋B＝. ∴△ABC為等腰或直角三角形 【方法規(guī)律】 判定三角形形狀的兩種常用途徑 (1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷； (2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進行判斷． (2013陜西高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) A．直角三角形　　　　　　　　B．銳角三角形 C．鈍角三角形

8、 D．不確定 解析：選A　依據(jù)題設(shè)條件的特點，邊化角選用正弦定理，有sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，則sin(B＋C)＝sin2A，由三角形內(nèi)角和及互補角的意義，得sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，即sin A＝1，所以A＝.即△ABC為直角三角形. 高頻考點 考點三 與三角形面積有關(guān)的問題　　 1．正、余弦定理與三角形面積的綜合問題是每年高考的重點內(nèi)容，既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題． 2．高考對此類問題的考查主要有以下兩個命題角度： (1)求三角形的面積； (2)已知三角形的面積解三角形． [例3]

9、　(1)(2013新課標(biāo)全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為(　　)[來源:] A．2＋2　　　　　　　　B.＋1 C．2－2 D.－1 (2)(2013湖北高考)在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1. ①求角A的大小； ②若△ABC的面積S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值． [自主解答]　(1)由正弦定理知＝，結(jié)合條件得c＝＝2.又sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C

10、＝，所以△ABC的面積S＝bcsin A＝＋1. (2)①由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2 A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)． 因為0

11、于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式． (2)已知三角形的面積解三角形．與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進行邊和角的互化． 1．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面積為，求b，c. 解：(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得 sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因為B＝π－A－C，[來源:] 所以sin Asin C－cos Asin C－

12、sin C＝0. 由于sin C≠0，所以sin＝. 又0＜A＜π，故A＝. (2)△ABC的面積S＝bcsin A＝，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2. 2．(2013新課標(biāo)全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B. 又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C. 所以sin

13、 Bsin C＝cos Bsin C， 又C∈(0，π)，所以sin C≠0，故sin B＝cos B.[來源:] 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)△ABC的面積S＝acsin B＝ac. 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos. 又a2＋c2≥2ac，故ac≤， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時，等號成立． 因此△ABC面積的最大值為＋1. ——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1組關(guān)系——三角形中的邊角關(guān)系 　在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B?cos A＜cos B. 2種途徑——判斷三角形形狀的途徑 　根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑： (1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換． 2個注意點——解三角形應(yīng)注意的問題 　(1)在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解，所以要進行分類討論． (2)在判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解.