高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第一章 ：第一節(jié)集合回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)

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1、 精品資料 第一節(jié)　集　 合 【考綱下載】 1．了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系． 2．能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題． 3．理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集． 4．在具體情境中，了解全集與空集的含義． 5．理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集． 6．理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集． 7．能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算． 1．元素與集合 (1)集合元素的特性：確定性、互

2、異性、無(wú)序性． (2)集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作a∈A；若b不屬于集合A，記作b?A. (3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法． (4)常見(jiàn)數(shù)集及其符號(hào)表示 數(shù)集 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集 符號(hào) N N*或N＋[來(lái)源:] Z Q R 2.集合間的基本關(guān)系 　　表示 關(guān)系　　 文字語(yǔ)言[來(lái)源:] 記法 集合[來(lái)源:] 間的 基本 關(guān)系[來(lái)源:] 子集 集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素 A?B或B?A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A AB或BA 相等 集

3、合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，集合B的每一個(gè)元素也都是集合A的元素 A?B且B?A ?A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ??A 空集是任何非空集合的真子集 ?B且B≠? 3.集合的基本運(yùn)算 集合的并集 集合的交集 集合的補(bǔ)集 符號(hào) 表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA 圖形 表示 意義 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且 x?A} 4.集合的運(yùn)算性質(zhì) (1)A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B； (2)A∩A＝A，A∩?＝?； (3)A∪A＝A，A∪?＝

4、A； (4)A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A. 1．集合A＝{x|x2＝0}，B＝{x|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，D＝{(x，y)|y＝x2}相同嗎？它們的元素分別是什么？ 提示：這4個(gè)集合互不相同，A是以方程x2＝0的解為元素的集合，即A＝{0}；B是函數(shù)y＝x2的定義域，即B＝R；C是函數(shù)y＝x2的值域，即C＝{y|y≥0}；D是拋物線y＝x2上的點(diǎn)組成的集合． 2．集合?，{0}，{?}中有元素嗎？?與{0}是同一個(gè)集合嗎？ 提示：?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一個(gè)元素0的集合，它不是空集，因?yàn)樗幸粋€(gè)元素，這個(gè)元素是0.{?}是含有

5、一個(gè)元素?的集合．?與{0}不是同一個(gè)集合． 3．若A中含有n個(gè)元素，則A有多少個(gè)子集？多少個(gè)真子集？ 提示：有2n個(gè)子集，2n－1個(gè)真子集． 1．(2013·北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，則A∩B＝(　　) A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1} 解析：選B　因?yàn)锳＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，所以A∩B＝{－1,0}． 2．(2013·安徽高考)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0,1}，則(?RA)∩B＝(　　) A．{－2，－1} B．{－2}

6、 C．{－1,0,1} D．{0,1} 解析：選A　因?yàn)锳＝{x|x＋1>0}＝{x|x＞－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，所以(?RA)∩B＝{－2，－1}． 3．(2013·江西高考)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝(　　) A．4 B．2 C．0 D．0或4 解析：選A　若a＝0，則A＝?，不符合要求；若a≠0，則Δ＝a2－4a＝0，得a＝4. 4．(教材習(xí)題改編)已知集合A＝{1,2}，若A∪B＝{1,2}，則集合B有________個(gè)． 解析：∵A＝{1,2}，A∪B＝{1,2}，∴B?A，∴B＝?，{1

7、}，{2}，{1,2}．即集合B有4個(gè)． 答案：4 5．設(shè)集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，則圖中陰影部分表示的集合為_(kāi)_________． 解析：陰影部分是A∩?RB.集合A＝{x|－4＜x＜2}，?RB＝{x|x≥1}，所以A∩?RB＝{x|1≤x＜2}． 答案：{x|1≤x＜2} 前沿?zé)狳c(diǎn)(一) 以集合為載體的創(chuàng)新型問(wèn)題 1．以集合為載體的創(chuàng)新型問(wèn)題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn)，常見(jiàn)的命題形式有新概念、新法則、新運(yùn)算以及創(chuàng)新交匯等，此類(lèi)問(wèn)題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力． 2．解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解新定

8、義的實(shí)質(zhì)，緊扣新定義進(jìn)行推理論證，將其轉(zhuǎn)化為熟知的基本運(yùn)算求解． [典例]　(2013·廣東高考)設(shè)整數(shù)n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三條件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一個(gè)成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，則下列選項(xiàng)正確的是(　　) A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)?S B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S C．(y，z，w)?S，(x，y，w)∈S D．(y，z，w)?S，(x，y，w)?S [解題指導(dǎo)]　先要理解新定義集合S中元素的性質(zhì)：(1)x，y，z∈X；(2)x＜y＜z

9、，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一個(gè)成立，然后根據(jù)已知集合中的兩個(gè)元素(x，y，z)和(z，w，x)，分別討論x，y，z，w之間的大小關(guān)系，進(jìn)而檢驗(yàn)元素(y，z，w)和(x，y，w)是否滿(mǎn)足集合S的性質(zhì)特征． [解析]　法一(直接法)：由(x，y，z)∈S，則有x＜y＜z，①　y＜z＜x，②　z＜x＜y，③　三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立； 由(z，w，x)∈S，則有z＜w＜x，④　w＜x＜z，⑤　x＜z＜w，⑥　三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立． 配對(duì)后只有四種情況： 第一種，①⑤成立，此時(shí)w＜x＜y＜z，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S； 第二種，①⑥成立，此時(shí)x＜y＜z＜w，于是(y，z，

10、w)∈S，(x，y，w)∈S； 第三種，②④成立，此時(shí)y＜z＜w＜x，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S； 第四種，③④成立，此時(shí)z＜w＜x＜y，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S. 綜上所述，可得(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S. 法二(特殊值法)：不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，則(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S. [答案]　B [名師點(diǎn)評(píng)]　解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)： (1)準(zhǔn)確理解集合S的性質(zhì)：x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一個(gè)成立，把已知集合的兩個(gè)元素和要判斷的兩個(gè)元素的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論．

11、(2)緊扣新定義集合的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，通過(guò)分類(lèi)討論或特殊值法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)進(jìn)行求解． 有限集合的元素可以一一數(shù)出來(lái)，無(wú)限集合的元素雖然不能數(shù)盡，但是可以比較兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)的多少．例如，對(duì)于集合A＝{1,2,3，…，n，…}與B＝{2,4,6，…，2n，…}，我們可以設(shè)計(jì)一種方法得出A與B的元素個(gè)數(shù)一樣多的結(jié)論．類(lèi)似地，給出下列4組集合： ①A＝{1,2,3，…，n，…}與B＝{31,32,33，…，3n，…}；②A＝(0,2]與B＝[－3，＋∞)；③A＝[0,1]與B＝[0,3]；④A＝{x|－1≤x≤3}與B＝{x|x＝－8或0＜x≤10}． 其中，元素個(gè)數(shù)一樣多的有(　　) A．1組 B．2組 C．3組 D．4組 解析：選D　可利用函數(shù)的概念將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷是否能構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)，使得其定義域與值域分別是條件中所給的兩個(gè)集合． ①y＝3x(x∈N*)；②y＝－(0＜x≤2)；③y＝3x(0≤x≤1)；④y＝綜上，元素個(gè)數(shù)一樣多的有4組．