高考數(shù)學復習：第一章 ：第一節(jié)集合突破熱點題型

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1、 精品資料 第一節(jié)　集　 合 考點一 集合的基本概念 　 　[例1]　(1)(2013山東高考)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的個數(shù)是(　　) A．1　 　　　 B．3　 　　　C．5　 　　　 D．9 (2)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，則實數(shù)a構成的集合B的元素個數(shù)是(　　)[來源:數(shù)理化網(wǎng)] A．0 B．1 C．2 D．3 [自主解答]　(1)①當x＝0時，y＝0,1,2，此

2、時x－y的值分別為0，－1，－2；②當x＝1時，y＝0,1,2，此時x－y的值分別為1,0，－1；③當x＝2時，y＝0,1,2，此時x－y的值分別為2,1,0.綜上可知，x－y的可能取值為－2，－1,0,1,2，共5個． (2)①當a＋2＝1時，a＝－1，此時A＝{1,0,1}，不合題意，故a≠－1；②當(a＋1)2＝1時，a＝0或a＝－2.若a＝0，則A＝{2,1,3}，符合題意；若a＝－2，則A＝{0,1,1}，不符合題意；③當a2＋3a＋3＝1時，(a＋1)(a＋2)＝0，即a＝－1或a＝－2.由①②知，不符合題意． 綜上可知a＝0，即實數(shù)a構成的集合B只有1個元素． [答案]　(

3、1)C　(2)B 【互動探究】 若將本例(1)中的集合B更換為B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則集合B中有多少個元素？ 解：當x＝0時，y＝0；當x＝1時，y＝0或y＝1；當x＝2時，y＝0,1,2. 故集合B＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B中有6個元素．　　　　　 【方法規(guī)律】 解決集合的概念問題應關注兩點 (1)研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當集合用描述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什么．如本例(1)中集合B中的元素為實數(shù)x－y，在“互動探究”中，集合B中的元素為點

4、(x，y)． (2)對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合是否滿足互異性． 1．(2014寧波模擬)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，則(m－n)2 015＝________. 解析：因為M＝N，所以或 即或 故(m－n)2 015＝－1或0.[來源:] 答案：－1或0 2．已知集合A＝，且2∈A,3?A，則實數(shù)a的取值范圍是________________． 解析：因為2∈A，所以＜0，即(2a－1)(a－2)＞0，解得a＞2或a＜.① 若3∈A，則＜0，即(3a－1)(a－3)＞0，解得a＞3或a＜，所以3?A時，≤a≤3.②

5、由①②可知，實數(shù)a的取值范圍為∪(2,3]． 答案：∪(2,3] 考點二 集合間的基本關系 　 　[例2]　(1)(2014西城模擬)已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，則實數(shù)a的值為(　　) 　A．1 B．－1 C．1或－1 D．0或1或－1 (2)已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍為________． [自主解答]　(1)因為M∩N＝N，所以N?M.當a＝0時，N＝?，M＝{0}，滿足M∩N＝N；當a≠0時，M＝{a}，N＝，所以＝a，即a＝

6、1.故實數(shù)a的值為0，1. (2)當B＝?時，只需2a＞a＋3，即a＞3；當B≠?時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或解得a＜－4或2＜a≤3. 圖1 　 圖2 綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－4)∪(2，＋∞)． [答案]　(1)D　(2)(－∞，－4)∪(2，＋∞) 【方法規(guī)律】 根據(jù)兩集合的關系求參數(shù)的方法 已知兩個集合之間的關系求參數(shù)時，要明確集合中的元素，對子集是否為空集進行分類討論，做到不漏解．若集合元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關系，轉化為解方程(組)求解，此時注意集合中元素的互異性；若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉化為不等式(組)求解， 此

7、時需注意端點值能否取到． 1．(2014杭州模擬)A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．{a|a≥2} B．{a|a＞2} C．{a|a≥1} D．{a|a≤1} 解析：選A　借助數(shù)軸可知a≥2，故選A. 2．若集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，集合B＝{1,2}，且A?B，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：①若A＝?，則Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2； ②若1∈A，則12＋a＋1＝0，解得a＝－2，此時A＝{1}，符合題意； ③若2∈A，則22＋2a＋1＝0，解得a＝－，此時A＝，不合題意．

8、 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[－2,2)． 答案：[－2,2) 高頻考點 考點三 集合的基本運算 　 　 1．有關集合運算的考題，在高考中多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為低檔題． 2．高考對集合運算的考查主要有以下幾個命題角度： (1)離散型數(shù)集間的交、并、補運算； (2)連續(xù)型數(shù)集間的交、并、補運算； (3)已知集合的運算結果求集合； (4)已知集合的運算結果求參數(shù)的值(或參數(shù)的取值范圍)． [例3]　(1)(2013山東高考)已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩?UB＝(　

9、　) A．{3} B．{4} C．{3,4} D．? (2)(2013浙江高考)設集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則S∩T＝(　　) A．[－4，＋∞) B．(－2，＋∞) C．[－4,1] D．(－2,1] (3)(2011湖南高考)設全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩?UN＝{2,4}，則N＝(　　) A．{1,2,3} B．{1,3,5} C．{1,4,5} D．{2,3,4} (4)(2010天津高考)設集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}

10、．若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4} C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4} [自主解答]　(1)由題意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，故A∩?UB＝{3}． (2)S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2

11、(3)B　(4)C 集合運算問題的常見類型及解題策略 (1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算．常借助Venn圖求解；[來源:] (2)連續(xù)型數(shù)集的運算．常借助數(shù)軸求解； (3)已知集合的運算結果求集合．借助數(shù)軸或Venn圖求解； (4)根據(jù)集合運算求參數(shù)．先把符號語言譯成文字語言，然后適時應用數(shù)形結合求解． 1．(2014鄭州模擬)[來源:] 已知集合M＝{－1，0,1}，N＝{0,1,2}，則如圖所示的Venn圖中的陰影部分所表示的集合為(　　) A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{－1,2} D．{－1,0,1,2} 解析：選C

12、　由圖可知，陰影部分為{x|x∈M∪N且x?M∩N}，又M∪N＝{－1,0,1,2}，M∩N＝{0,1}，所以{x|x∈M∪N且x?M∩N}＝{－1,2}． 2．(2014廈門模擬)已知集合A＝{1,2,3}，B∩A＝{3}，B∪A＝{1,2,3,4,5}，則集合B的子集的個數(shù)為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選C　由題意知B＝{3,4,5}，集合B含有3個元素，則其子集個數(shù)為23＝8. 3．(2014日照模擬)設集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)

13、 A. B.[來源:] C. D．(1，＋∞) 解析：選B　A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，因為函數(shù)y＝f(x)＝x2－2ax－1的對稱軸為x＝a＞0，f(－3)＝6a＋8＞0，根據(jù)對稱性可知，要使A∩B中恰含有一個整數(shù)，則這個整數(shù)解為2，所以有f(2)≤0且f(3)＞0，即所以即≤a＜. ———————————[課堂歸納——通法領悟]——————————— 1組轉化——集合運算與集合關系的轉化 　在集合的運算關系和兩個集合的包含關系之間往往存在一定的聯(lián)系，在一定的情況下可以相互轉化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩

14、(?UB)＝?，在解題中運用這種轉化能有效地簡化解題過程． 2種技巧——集合的運算技巧 　(1)在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍． (2)兩個有限集合相等，可以從兩個集合中的元素相同求解，如果是兩個無限集合相等，從兩個集合中元素相同求解就不方便，這時就根據(jù)兩個集合相等的定義求解，即如果A?B，B?A，則A＝B. 3個注意點——解決集合問題應注意的問題 　(1)認清元素的屬性．解決集合問題時，認清集合中元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件． (2)注意元素的互異性．在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導致解題錯誤． (3)防范空集．在解決有關A∩B＝?，A?B等集合問題時，往往忽略空集的情況，一定先考慮?是否成立，以防漏解．