高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 選修系列學(xué)案73坐標(biāo)系與參數(shù)方程

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1、 精品資料 學(xué)案73　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解坐標(biāo)系的有關(guān)概念，理解簡(jiǎn)單圖形的極坐標(biāo)方程.2.會(huì)進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化.3.理解直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，會(huì)進(jìn)行參數(shù)方程與普通方程的互化，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用． 自主梳理 1．極坐標(biāo)系的概念 在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做________；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)____________． 設(shè)M是平面上任一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離OM叫做點(diǎn)M的______

2、__，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的________，記為θ.有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的__________，記作(ρ，θ)． 2．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為x＝__________，y＝__________.另一種關(guān)系為：ρ2＝__________，tan θ＝______________. 3．簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程 (1)一般地，如果一條曲線上任意一點(diǎn)都有一個(gè)極坐標(biāo)適合方程φ(ρ，θ)

3、＝0，并且坐標(biāo)適合方程φ(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲線的________________________________________________________________________． (2)常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程 ①圓的極坐標(biāo)方程 ____________表示圓心在(r,0)半徑為|r|的圓； ____________表示圓心在(r，)半徑為|r|的圓； ________表示圓心在極點(diǎn)，半徑為|r|的圓． ②直線的極坐標(biāo)方程 ________________表示過(guò)極點(diǎn)且與極軸成α角的直線； __________表示過(guò)(a,0)且

4、垂直于極軸的直線； __________表示過(guò)(b，)且平行于極軸的直線； ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示過(guò)(ρ0，θ0)且與極軸成α角的直線方程． 4．常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程 (1)直線的參數(shù)方程 若直線過(guò)(x0，y0)，α為直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程為這是直線的參數(shù)方程，其中參數(shù)l有明顯的幾何意義． (2)圓的參數(shù)方程 若圓心在點(diǎn)M(a，b)，半徑為R，則圓的參數(shù)方程為0≤α<2π. (3)橢圓的參數(shù)方程 中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． (4)拋物線的參數(shù)方程 拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為 自我檢測(cè) 1．(教材改編

5、題)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－，－1)，則它的極坐標(biāo)為_(kāi)_______． 2．(原創(chuàng)題)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(ρ，θ)與(－ρ，π＋θ)的位置關(guān)系為_(kāi)_______． 3．(2011陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線C1：(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為_(kāi)_______． 4．(2011廣州一模)在極坐標(biāo)中，直線ρsin(θ＋)＝2被圓ρ＝4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______． 5．(2010陜西)已知圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝1，則直線l

6、與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______________. 探究點(diǎn)一　求曲線的極坐標(biāo)方程 例1 在極坐標(biāo)系中，以(，)為圓心，為半徑的圓的方程為_(kāi)_______． 變式遷移1 如圖，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(a,0)(a>0)，且與極軸垂直的直線l的極坐標(biāo)方程． 探究點(diǎn)二　極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化 例2 (2009遼寧)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1，M、N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)． (1)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線

7、OP的極坐標(biāo)方程． 變式遷移2 (2010東北三校第一次聯(lián)考)在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin(θ－)＝， (1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)θ∈(0，π)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)． 探究點(diǎn)三　參數(shù)方程與普通方程的互化 例3 將下列參數(shù)方程化為普通方程： (1)； (2)； (3). 變式遷移3 化下列參數(shù)方程為普通方程，并作出曲線的草圖． (1)(θ為參數(shù))； (2) (t為參數(shù))．

8、 探究點(diǎn)四　參數(shù)方程與極坐標(biāo)的綜合應(yīng)用 例4 求圓ρ＝3cos θ被直線(t是參數(shù))截得的弦長(zhǎng)． 變式遷移4 (2011課標(biāo)全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)) M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿(mǎn)足＝2，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2. (1)求C2的方程； (2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ＝與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|. 本節(jié)內(nèi)容要注意以下兩點(diǎn)：一、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程可結(jié)合極坐標(biāo)系中ρ和θ

9、的具體含義求出，也可利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化得出．同直角坐標(biāo)方程一樣，由于建系的不同，曲線的極坐標(biāo)方程也會(huì)不同．在沒(méi)有充分理解極坐標(biāo)的前提下，可先化成直角坐標(biāo)解決問(wèn)題．二、在普通方程中，有些F(x，y)＝0不易得到，這時(shí)可借助于一個(gè)中間變量(即參數(shù))來(lái)找到變量x，y之間的關(guān)系．同時(shí)，在直角坐標(biāo)系中，很多比較復(fù)雜的計(jì)算(如圓錐曲線)，若借助于參數(shù)方程來(lái)解決，將會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算量．將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時(shí)要注意其中的x，y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，也即在消去參數(shù)的過(guò)程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性．參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有：代入消元

10、、加減消元、平方后相加減消元等．同極坐標(biāo)方程一樣，在沒(méi)有充分理解參數(shù)方程的前提下，可先化成直角坐標(biāo)方程再去解決相關(guān)問(wèn)題． (滿(mǎn)分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．直角(t為參數(shù))恒過(guò)定點(diǎn)________． 2．點(diǎn)M(5，)為極坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，給出如下各點(diǎn)的坐標(biāo)： ①(－5，－)；②(5，)；③(－5，)；④(－5，－)． 其中可以作為點(diǎn)M關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的是______(填序號(hào))． 3．在極坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(3，)，(4，－)，則AB＝________，S△AOB＝________.(其中O是極點(diǎn)) 4．(2011廣東)已知兩

11、曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ<π)和(t∈R)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______． 5．(2011天津)已知拋物線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．若斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與圓(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，則r＝________. 6．(2010廣東韶關(guān)一模)在極坐標(biāo)系中，圓心在(，π)且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)_______． 7．(2009安徽)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知直線的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，它與曲線(α為參數(shù))相交于兩點(diǎn)A和B，則AB＝________. 8．(2010廣東深圳高級(jí)中學(xué)一模)在直角坐

12、標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的極坐標(biāo)方程為_(kāi)_______． 二、解答題(共42分) 9．(14分)⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ. (1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過(guò)⊙O1，⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程． 10．(14分)(2011江蘇，21C)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過(guò)橢圓(φ為參數(shù))的右焦點(diǎn)，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程．

13、 11．(14分)(2010福建)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)，求PA＋PB. 學(xué)案73　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 答案 自主梳理 1．極軸　極坐標(biāo)系　極徑　極角　極坐標(biāo)　2.ρcos θ　ρsin θ　x2＋y2　(x≠0)　3.(1)極坐標(biāo)方程　(2)①ρ＝2rcos θ　ρ＝2rsin θ　ρ＝r?、讦龋?/p>

14、α(ρ∈R)　ρcos θ＝a　ρsin θ＝b 自我檢測(cè) 1．(2，π)(答案不唯一) 2．重合 3．3 解析　∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1， ∴兩圓心之間的距離為d＝＝5. ∵A∈曲線C1，B∈曲線C2，∴|AB|min＝5－2＝3. 4．4 解析　直線ρsin(θ＋)＝2可化為x＋y－2＝0，圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16， 由圓中的弦長(zhǎng)公式得2＝2 ＝4. 5．(－1,1)，(1,1) 解析　∵y＝ρsin θ， ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝1. 由得x2＋(y－1)2＝1. 由得或 ∴直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－

15、1,1)和(1,1)． 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引　求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：①建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)；②由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；③將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線上的極坐標(biāo)方程；④證明所得方程就是曲線的極坐標(biāo)方程，若方程的推導(dǎo)過(guò)程正確，化簡(jiǎn)過(guò)程都是同解變形，這一證明可以省略． 答案　ρ＝asin θ，0≤θ<π 解析　圓的直徑為a，設(shè)圓心為C，在圓上任取一點(diǎn)A(ρ，θ)， 則∠AOC＝－θ或θ－，即∠AOC＝|θ－|. 又ρ＝acos∠AOC＝acos|θ－|＝asin θ. ∴圓的方程是ρ

16、＝asin θ，0≤θ<π. 變式遷移1 解　設(shè)P(ρ，θ)是直線l上任意一點(diǎn)，OPcos θ＝OA，即ρcos θ＝a， 故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝a. 例2 解題導(dǎo)引　直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些，解此類(lèi)問(wèn)題常通過(guò)變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解，因此應(yīng)注意對(duì)變形過(guò)程的檢驗(yàn)． 解　(1)由ρcos＝1得ρ＝1. 從而C的直

17、角坐標(biāo)方程為x＋y＝1， 即x＋y＝2，當(dāng)θ＝0時(shí)，ρ＝2，所以M(2,0)． 當(dāng)θ＝時(shí)，ρ＝，所以N. (2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)． N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，)． 所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為， 則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為， 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)． 變式遷移2 解　(1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0. 直線l：ρsin(θ－)＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 則直線l的直角坐標(biāo)方程為y－x＝1， 即x－y＋1＝0. (2)由得 故直

18、線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為(1，)． 例3 解題導(dǎo)引　參數(shù)方程通過(guò)消去參數(shù)化為普通方程．對(duì)于(1)直接消去參數(shù)k有困難，可通過(guò)兩式相除，先降低k的次數(shù)，再運(yùn)用代入法消去k；對(duì)于(2)可運(yùn)用恒等式(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ消去θ；對(duì)于(3)可運(yùn)用恒等式()2＋()2＝1消去t. 另外，參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，不僅要消去參數(shù)，還應(yīng)注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致． 解　(1)兩式相除，得k＝.將k＝代入， 得x＝. 化簡(jiǎn)，得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ

19、)， 得y2＝2－x. 又x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程是y2＝2－x，x∈[0,2]． (3)由()2＋()2＝1， 得x2＋4y2＝1.又x＝≠－1， 得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)． 變式遷移3 解　(1)由y2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x，得y2＝2x＋1. ∵－≤sin 2θ≤，∴－≤x≤. ∵－≤sin θ＋cos θ≤，∴－≤y≤. 故所求普通方程為 y2＝2 (－≤x≤，－≤y≤)，圖形為拋物線的一部分． 圖形如圖甲所示． (2)由x2＋y2＝2＋2＝1及x＝≠0，xy＝≥0知，所求軌

20、跡為兩段圓弧x2＋y2＝1 (0

21、為ρ＝8sin θ. 射線θ＝與C1的交點(diǎn)A的極徑為ρ1＝4sin， 射線θ＝與C2的交點(diǎn)B的極徑為ρ2＝8sin. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2. 課后練習(xí)區(qū) 1．(3，－1) 解析　由題知，x－3＝(y＋1)，∴恒過(guò)定點(diǎn)(3，－1)． 2．②③ 3．5　6 解析　∵∠AOB＝，∴∠AOB為直角三角形． ∴AB＝＝5，S△AOB＝34＝6. 4．(1，) 解析　將兩曲線的參數(shù)方程化為一般方程分別為＋y2＝1(0≤y≤1，－

22、 即x－y－2＝0.因?yàn)橹本€y＝x－2與圓(x－4)2＋y2＝r2相切，由題意得r＝＝. 6．ρ＝－2cos θ 解析　如圖，O為極點(diǎn)，OB為直徑，A(ρ，θ)，則∠ABO＝θ－90， OB＝2＝， 化簡(jiǎn)得ρ＝－2cos θ. 7． 解析　直線的極坐標(biāo)方程為θ＝(且ρ∈R)，故其直角坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)的方程為y＝x，參數(shù)方程為(α為參數(shù))的直角坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝4. 圓心(1,2)到直線y＝x的距離為.又半徑為2， 故弦長(zhǎng)為2＝. 8．ρ＝4sin θ 解析　由參數(shù)方程消去α得圓C的方程為x2＋(y－2)2＝4，將x＝ρcos θ，y＝ρsin

23、θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ. 9．解　以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．(1分) (1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ 得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x. 即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐標(biāo)系方程，(4分) 同理x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐標(biāo)系方程．(7分) (2)由解得　(11分) 即⊙O1，⊙O2交于點(diǎn)(0,0)和(2，－2)，過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)系方程為y＝－x.(14分) 10．解　由題設(shè)知，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a＝5，短半軸長(zhǎng)b＝3，

24、從而c＝＝4，所以右焦點(diǎn)為(4,0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0.(6分) 故所求直線的斜率為，因此其方程為y＝(x－4)，(8分) 即x－2y－4＝0.(14分) 11．解　方法一　(1)ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0， 即x2＋(y－)2＝5.(6分) (2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得 (3－t)2＋(t)2＝5，即t2－3t＋4＝0.(8分) 由于Δ＝(3)2－44＝2>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)根，所以(10分) 又直線l過(guò)點(diǎn)P(3，)， 故由上式及t的幾何意義得PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3. (14分) 方法二　(1)同方法一． (6分) (2)因?yàn)閳AC的圓心為點(diǎn)(0，)，半徑r＝，直線l的普通方程為y＝－x＋3＋. 由得x2－3x＋2＝0. 解得或 (10分) 不妨設(shè)A(1,2＋)，B(2,1＋)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)， 故PA＋PB＝＋＝3. (14分)