2、l過直線l1和l2的交點，
∴可設直線l的方程為x＋y＋1＋λ(x－y＋3)＝0，
即(1＋λ)x＋(1－λ)y＋1＋3λ＝0.
∵l與l3垂直，
∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－.
∴直線l的方程為x＋y＝0，即x＋2y＝0.
(2)l1與l2的直線方程聯(lián)立得
解方程得
又∵00，故l1與l2的交點在第二象限．
[答案] (1)x＋2y＝0 (2)二
【互動探究】
若將本例(1)中條件“垂直”改為“平行”，試求l的方程．
解：由方程組解得
即點P(2,1).又l∥l3，即k=2,故直線l的方程為y-1=2(x-
3、2),
即2x-y+5=0
【方法規(guī)律】
經過兩條直線交點的直線方程的設法
經過兩相交直線A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(這個直線系方程中不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0)或m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0.
已知直線l1：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＋k＋＝0，分別求滿足下列條件的k的值：
(1)l1，l2，l3相交于一點；
(2)l1，l2，l3圍成三角形．
解：(1)直線l1，l2的方程聯(lián)立得
解得即直線l1，l2的交點
4、為P(－1，－2)．
又點P在直線l3上，
所以－1－2k＋k＋＝0，解得k＝－.
(2)由(1)知k≠－.
當直線l3與l1，l2均相交時，有
解得k≠且k≠－1，
綜上可得k≠－，且k≠，且k≠－1.
考點二
對 稱 問 題
[例2] 已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：
(1)點A關于直線l的對稱點A′的坐標；
(2)直線m：3x－2y－6＝0關于直線l的對稱直線m′的方程；
(3)直線l關于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．
[自主解答] (1)設A′(x，y)，則由已知得
解得
∴A′.
(2)在直線m上任取一點，如M
5、(2,0)，則M(2,0)關于直線l的對稱點M′必在直線m′上．
設對稱點M′(a，b)，則
解得
∴M′.
設直線m與直線l的交點為N，則
由得N(4,3)．
又∵m′經過點N(4,3)，
∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.
(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，
如D(1,1)，E(4,3)，則D，E關于點A(－1，－2)的對稱點D′、E′均在直線l′上，
易得D′(－3，－5)，E′(－6，－7)，
再由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.
法二：∵l∥l′，
∴設l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)．
∵點A(－1，－
6、2)到兩直線l，l′的距離相等，
∴由點到直線的距離公式得
＝，
解得C＝－9，
∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.
法三：設P(x，y)為l′上任意一點，
則P(x，y)關于點A(－1，－2)的對稱點為P′(－2－x，－4－y)，
∵點P′在直線l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，[來源:數理化網]
即2x－3y－9＝0.
【方法規(guī)律】
(1)關于中心對稱問題的處理方法：
①若點M(x1，y1)及N(x，y)關于P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得
②直線關于點的對稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐
7、標，再由兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用l1∥l2，由點斜式得到所求直線方程．
(2)關于軸對稱問題的處理方法：
①點關于直線的對稱
若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，則線段P1P2的中點在l上，而且連接P1P2的直線垂直于l，
由方程組可得到點P1關于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．[來源:]
②直線關于直線的對稱
此類問題一般轉化為點關于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行.
直線y＝2x是△ABC的一個內角平分線所在的直線，若點A(－4,
8、2)，B(3,1)，求點C的坐標．
解：把A，B兩點的坐標代入y＝2x，知A，B不在直線y＝2x上，因此y＝2x為∠ACB的平分線，設點A(－4,2)關于y＝2x的對稱點為A′(a，b)，則kAA′＝，線段AA′的中點坐標為，
∵解得∴A′(4，－2)．
∵y＝2x是∠ACB平分線所在直線的方程，
∴A′在直線BC上，
∴直線BC的方程為＝，即3x＋y－10＝0.
由解得即C(2,4)．
高頻考點
考點三 距離公式的應用
1．距離公式包括兩點間的距離、點到直線的距離和兩平行線間的距離．這三種距離在高考中經常體現，試題難度不大，多為容易題或中檔題，以選
9、擇、填空的形式呈現，有時也會在解答題中有所體現．
2．高考中對距離公式的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)求距離；
(2)已知距離求參數值；
(3)求距離的最值．
[例3] (1)(2014安康模擬)點P到點A′(1,0)和直線x＝－1的距離相等，且P到直線y＝x的距離等于，這樣的點P共有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
(2)(2014啟東模擬)l1，l2是分別經過A(1,1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是____________．
[自主解答] (1)設點P(x，y)，由題意知
10、
＝|x＋1|，且＝，
所以
即①
或②
解①得或
解②得
因此，這樣的點P共有3個．
(2)當兩條平行直線與A、B兩點連線垂直時，兩條平行直線的距離最大．又kAB＝＝2，所以兩條平行直線的斜率為k＝－，所以直線l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
[答案] (1)C (2)x＋2y－3＝0
與距離有關問題的常見類型及解題策略[來源:]
(1)求距離．利用兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，兩平行線的距離公式直接求解，也可利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉化為點到直線的距離．
(2)已知距離求參數值．可利用距離公式，得出含參數的方程，解方程即可
11、求解．
(3)求距離的最值．可利用距離公式得出距離關于某個點的函數，利用函數知識求最值．
1．在△OAB中，O為坐標原點，A(1，cos θ)，B(sin θ，1)，則△OAB的面積的取值范圍是( )
A．(0,1] B. C. D.
解析：選D OA的方程為y＝cos θx，且|OA|＝，而B到OA的距離d＝＝，
所以S△ O A B＝|OA|d＝(1－sin θcos θ)
＝
＝－sin 2θ，
又∵－1≤sin 2θ≤1，
∴≤－sin 2θ≤.[來源:]
2．已知直線l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0互
12、相平行，且l1，l2之間的距離為，求直線l1的方程．
解：因為l1與l2平行，
所以＝≠.
解得m＝4.
當m＝4時，l1：4x＋8y＋n＝0，l2：2x＋4y－1＝0，
兩平行線間的距離d＝＝，
解得n＝18或n＝－22.
此時l1的方程為4x＋8y＋18＝0或4x＋8y－22＝0，
即2x＋4y＋9＝0或2x＋4y－11＝0.
當m＝－4時，l1：－4x＋8y＋n＝0，l2：2x－4y－1＝0，
兩平行線間的距離d＝＝，
解得n＝22或n＝－18.
此時l1的方程為－4x＋8y＋22＝0或－4x＋8y－18＝0，
即2x－4y－11＝0或2x－4y＋9＝0.
綜
13、上可知l1的方程為2x＋4y＋9＝0或2x＋4y－11＝0或2x－4y－11＝0或2x－4y＋9＝0.
——————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
1條規(guī)律——與已知直線垂直及平行的直線系的設法
與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直線方程可設為：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；
(2)平行：Ax＋By＋n＝0.
1種思想——轉化思想在對稱問題中的應用
一般地，對稱問題包括點關于點的對稱，點關于直線的對稱，直線關于點的對稱，直線關于直線的對稱等情況，上述各種對稱問題最終化歸為點的對稱問題來解決．
2個注意點——判斷直線位置關系及運用兩平行直線間 的距離公式的注意點
(1)在判斷兩條直線的位置關系時，首先應分析直線的斜率是否存在．若兩條直線都有斜率，可根據判定定理判斷，若直線無斜率時，要單獨考慮；
(2)運用兩平行直線間的距離公式d＝的前提是將兩方程中的x，y的系數化為對應相等．
高考數學復習：第八章 ：第二節(jié)直線的交點坐標與距離公式突破熱點題型
