新教材高中數(shù)學北師大版必修3教學案：第一章 167;8 最小二乘估計 Word版含解析

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學資料 　 　 預習課本P46～51，思考并完成以下問題 (1)什么是散點圖？ 　 　 (2)曲線擬合的定義是什么？ 　 　 (3)具備什么特征的兩個變量是線性相關的？ 　 　 (4)具備什么特征的兩個變量是非線性相關的？ 　 　 　 (5)具備什么特征的兩個變量是不相關的？ 　 　 　 　　　　 1．散點圖 在考慮兩個變量的關系時，為了對變量之間的關系有一個大致的了解，通常將變量所對應的點描出來，這些點就組成了兩個變量之間的一個圖，通常稱這種圖為變量之間的散點圖． 2．相關關系 (1)曲線擬合： 從散點圖上可以看

2、出，如果變量之間存在著某種關系，這些點會有一個集中的大致趨勢，這種趨勢通?？梢杂靡粭l光滑的曲線來近似，這樣的近似過程稱為曲線擬合． (2)線性相關和非線性相關： 若兩個變量x和y的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動，則稱這兩個變量是線性相關的，而若所有點看上去在某條曲線(不是一條直線)附近波動，則稱此相關為非線性相關． (3)不相關： 如果所有點在散點圖中沒有顯示任何關系，則稱變量間是不相關的． [點睛]　兩個變量具有相關關系和兩個變量之間是函數(shù)關系是不同的． 1．判斷正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)變量之間只有函數(shù)關系，不存在相關關系．(　

3、　) (2)兩個變量之間產(chǎn)生相關關系的原因受許多不確定的隨機因素的影響．(　　) (3)需要通過樣本來判斷變量之間是否存在不同關系．(　　) (4)相關關系是一種因果關系，具有確定性．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．觀察下列各圖形： 其中兩個變量x，y具有相關關系的是(　　) A．①②　　　　　　　　　 B．①④ C．③④ D．②③ 解析：選C　由圖可知，③中各點分布在某條直線周圍，④中各點分布在某條曲線周圍，因此③④中的兩個變量具有相關關系． 3．命題：①路程與時間、速度的關系是相關關系； ②同一物體的加速度與作用力

4、是函數(shù)關系； ③產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量之間的關系是函數(shù)關系； ④圓的周長與面積的關系是相關關系； ⑤廣告費用與銷售量之間的關系是相關關系． 其中，正確的命題序號是________． 答案：②⑤ 相關關系的概念 [典例]　在下列各個量與量的關系中： ①正方體的表面積與棱長之間的關系； ②一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關系； ③家庭的收入與支出之間的關系； ④某戶家庭用電量與水費之間的關系． 其中是相關關系的為(　　) A．①②　　　　　　　　　 B．③④ C．②④ D．②③ [解析]?、僬襟w的表面積與棱長之間的關系是確定的函數(shù)關系；④某戶家庭用電量與水費之間

5、無任何關系．②③中，都是非確定的關系，但自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性． [答案]　D 利用變量間相關關系的概念判斷量與量之間的關系時，一般是看當一個變量的值一定時，另一個變量是否帶有確定性，兩個變量之間的關系具有確定關系——函數(shù)關系；兩個變量之間的關系具有隨機性、不確定性——相關關系．　　　　　　 [活學活用] 1．下列變量之間的關系不是相關關系的是(　　) A．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常數(shù)，取b為自變量，因變量是這個函數(shù)的判別式Δ＝b2－4ac B．光照時間和果樹畝產(chǎn)量 C．某種農(nóng)作物的畝產(chǎn)量與施肥量 D．父母身高和子女身高的關

6、系 解析：選A　B、C、D均為相關關系，A為函數(shù)關系． 2．有下列關系：①人的壽命與他(她)每天坐著的時間之間的關系；②曲線上的點與該點關于原點的對稱點的坐標之間的關系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關系；④森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關系．其中，具有相關關系的是________． 解析：利用相關關系的概念進行判斷，②中兩變量的關系是一種確定性關系． 答案：①③④ 散點圖 [典例]　某公司近年來科研費用x(單位：萬元)與公司所獲的利潤y(單位：萬元)之間有如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)： x 2 3 4 5 y 18 27 32 35 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散

7、點圖； (2)觀察散點圖，判斷y與x是否具有線性相關關系． [解]　(1)散點圖如下： (2)由圖知，所有數(shù)據(jù)點接近直線排列，因此認為y與x有線性相關關系． 判斷兩個變量具有相關關系的方法 (1)根據(jù)直觀感覺判斷，這時要用到已有的知識或生活、學習中的經(jīng)驗等． (2)根據(jù)散點圖判斷，這時要由兩個變量相應值的對應關系，作出散點圖，通過觀察散點圖中變量的對應點是否分布在某條曲線的周圍判定這兩個變量是否具有相關關系． 　[活學活用] 　兩對變量A和B，C和D的取值分別對應如表1和表2，畫出散點圖，判斷它們是否有相關關系；若具有相關關系，說出它們相關關系的區(qū)別． 表1 A

8、26 18 13 10 4 －1 B 20 24 34 38 50 64 表2 C 0 5 10 15 20 25 30 35 D 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1 034.75 解：散點圖分別如圖(1)，(2)． 從圖中可以看出兩圖中的點都分布在一條曲線附近，因此兩圖中的變量都具有相關關系． 圖(1)中A的值由大變小時，B的值卻是由小變大． 圖(2)中C的值由小變大時，D的值也是由小變大. 曲線擬合與應用 [典例]　某種產(chǎn)品的廣告費支出與銷

9、售額(單位：百萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)制成散點圖，你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)廣告費支出與銷售額之間的近似關系嗎？ (2)如果近似成線性關系，請畫出一條直線來表示這種線性關系． (3)如果廣告費支出為7百萬元，請估計此時的銷售額為多少． [解]　(1)散點圖如圖所示．從散點圖中，可以看出廣告費支出與銷售額之間的總體趨勢成一條直線，它們之間是線性相關的． (2)所畫直線如圖． (3)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和畫出的直線，可知廣告費支出為7百萬元時，銷售額大約為64百萬元． 畫擬合曲線時

10、，應注意以下兩點 (1)使盡可能多的點在曲線上； (2)不在曲線上的點盡可能平均分布在曲線兩邊．　 [活學活用] 如圖，從5組數(shù)據(jù)對應的點中去掉點________后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關性就更好了． 解析：由散點圖知：呈帶狀區(qū)域時有較強的線性相關關系，故去掉D點． 答案：D [層級一　學業(yè)水平達標] 1．下列所給出的兩個變量之間存在相關關系的為(　　) A．學生的座號與數(shù)學成績　 B．學生的學號與身高 C．曲線上的點與該點的坐標 D．學生的身高與體重 解析：選D　A與B中的兩個變量之間沒有任何關系；C中的兩個變量之間具有函數(shù)關系．故選D. 2．下列關系中，是相

11、關關系的有(　　) ①學生的學習態(tài)度與學習成績之間的關系； ②教師的執(zhí)教水平與學生的學習成績之間的關系； ③學生的身高與學生的學習成績之間的關系； ④家庭的經(jīng)濟條件與學生的學習成績之間的關系． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 解析：選A　學生的學習態(tài)度與教師的教學水平都影響學生的學習成績，但不存在確定性關系；學生的身高和家庭經(jīng)濟條件與學生的成績無關，所以具有相關關系的是①②. 3．下列各圖中所示兩個變量具有相關關系的是(　　) A．①②　　　　　　　　　　　 B．①③ C．②④ D．②③ 解析：選D　具有相關關系的兩個變量的數(shù)據(jù)所對應的圖形是散點圖，②③

12、能反映兩個變量的變化規(guī)律，它們之間是相關關系． 4．下列說法中正確的有________(填序號)． ①y＝3x＋2中的x，y是具有函數(shù)關系的兩個變量； ②商品的銷售量與商品的價格之間是一種確定的關系； ③天空中的云量和下雨之間是一種確定的關系． 解析：②③中兩個變量之間是相關關系． 答案：① [層級二　應試能力達標] 1．下列語句所表示的事件中的因素不具有相關關系的是(　　) A．瑞雪兆豐年　　　　 B．讀書破萬卷，下筆如有神 C．吸煙有害健康 D．喜鵲叫喜，烏鴉叫喪 解析：選D　“瑞雪兆豐年”和“讀書破萬卷，下筆如有神”是根據(jù)多年經(jīng)驗總結歸納出來的，吸煙有害健康具有科

13、學根據(jù)，所以它們都是相關關系，所以A、B、C三項具有相關關系；結合生活經(jīng)驗知喜鵲和烏鴉發(fā)出叫聲是它們自身的生理反映，與人無任何關系，故D項不具有相關關系． 2．對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(　　) A．都可以分析出兩個變量的關系 B．都可以用一條直線近似地表示兩者的關系 C．都可以作出散點圖 D．都可以用確定的表達式表示兩者的關系 解析：選C　給出一組樣本數(shù)據(jù)，總可以作出相應的散點圖，但不一定都能分析出兩個變量的關系，更不一定是具有線性相關或函數(shù)關系． 3．下列說法正確的是(　　) A．相關關系是函數(shù)關系 B．函數(shù)關系是相關關系 C．線性相關關系是一次函數(shù)

14、關系 D．相關關系有兩種，分別是線性相關關系和非線性相關關系 解析：選D　函數(shù)關系和相關關系互不包含，所以A、B、C三項不正確；根據(jù)定義，相關關系有兩種，分別是線性相關關系和非線性相關關系． 4．試從下面四個圖中的點在散點圖上的分布狀態(tài)，直觀上初步判斷兩個變量之間有線性相關關系的是(　　) 答案：C 5．以下是收集到的新房屋的銷售價格y和房屋的大小x的數(shù)據(jù)： 房屋大小(m2) 11.5 110 80 135 105 銷售價格(萬元) 4.8 21.6 18.4 29.2 22 則根據(jù)數(shù)據(jù)可以判斷x，y________相關關系．(填“有”或“無”) 解析

15、：房屋大小的值由小變大時，銷售價格也由小變大，因此，兩個變量有相關關系． 答案：有 6．2015年國慶節(jié)期間，某旅行社接待游客人數(shù)如下表： 日期 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 人數(shù) 3 500 3 501 3 504 3 506 3 506 3 508 3 507 下列說法正確的是________(填序號)． ①根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖，可知日期與人數(shù)具有相關關系； ②根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖，可知日期與人數(shù)不具有相關關系； ③根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖，可知日期與人數(shù)具有線性相關關系． 解析：畫出散點圖，可知①③正確． 答案

16、：①③ 7．下列兩個變量之間的關系，是函數(shù)關系的有________． ①球的體積和它的半徑； ②人的血壓和體重； ③底面積為定值的長方體的體積和高； ④城鎮(zhèn)居民的消費水平和平均工資． 答案：①③ 8．對某種雞胚胎的生長進行研究，測得5日～20日雞的日齡與胚胎的質(zhì)量如下表： 日齡/天 5 6 7 8 9 10 11 12 胚重/g 0.250 0.498 0.846 1.288 1.656 2.662 3.100 4.576 日齡/天 13 14 15 16 17 18 19 20 胚重/g 6.518 7.486 9.

17、948 14.522 15.610 19.914 23.736 26.472 (1)請作出這些數(shù)據(jù)的散點圖； (2)關于這兩個變量的關系，你能得出什么結論？ 解：(1)以雞胚胎的日齡為x軸，以胚重為y軸，作出散點圖，如圖所示． (2)從散點圖觀察，許多點不在同一直線附近，但可以看出隨著時間的增加，胚重增長得越來越快，所以具有相關關系． 9．有時候，一些東西吃起來口味越好，對我們的身體越有害，下表給出了不同類型的某種食品的數(shù)據(jù)．第二行表示此種食品所含熱量的百分比，第三行數(shù)據(jù)表示由一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價： 品牌 A B C D E

18、 F G H I J 所含熱量的百分比 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 口味記錄 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52 　 (1)作出散點圖； (2)你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)兩者之間的近似關系嗎？ (3)如果近似成線性關系，請畫出一條直線來近似地表示這種線性關系； (4)對于食品，為什么人們更喜歡吃位于直線上方的食品而不是下方的？ 解：(1)散點圖如圖所示. (2)從上圖看基本近似成線性相關關系． (3)直線如上圖所示． (4)因為當直線上方的食品和下方的食品所含熱量相同時，直線上方的食品口味更好．