新教材高中數(shù)學(xué)北師大版必修3教學(xué)案：第一章 167;8 最小二乘估計(jì) Word版含解析

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 　 　 預(yù)習(xí)課本P46～51，思考并完成以下問題 (1)什么是散點(diǎn)圖？ 　 　 (2)曲線擬合的定義是什么？ 　 　 (3)具備什么特征的兩個變量是線性相關(guān)的？ 　 　 (4)具備什么特征的兩個變量是非線性相關(guān)的？ 　 　 　 (5)具備什么特征的兩個變量是不相關(guān)的？ 　 　 　 　　　　 1．散點(diǎn)圖 在考慮兩個變量的關(guān)系時，為了對變量之間的關(guān)系有一個大致的了解，通常將變量所對應(yīng)的點(diǎn)描出來，這些點(diǎn)就組成了兩個變量之間的一個圖，通常稱這種圖為變量之間的散點(diǎn)圖． 2．相關(guān)關(guān)系 (1)曲線擬合： 從散點(diǎn)圖上可以看

2、出，如果變量之間存在著某種關(guān)系，這些點(diǎn)會有一個集中的大致趨勢，這種趨勢通常可以用一條光滑的曲線來近似，這樣的近似過程稱為曲線擬合． (2)線性相關(guān)和非線性相關(guān)： 若兩個變量x和y的散點(diǎn)圖中，所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動，則稱這兩個變量是線性相關(guān)的，而若所有點(diǎn)看上去在某條曲線(不是一條直線)附近波動，則稱此相關(guān)為非線性相關(guān)． (3)不相關(guān)： 如果所有點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的． [點(diǎn)睛]　兩個變量具有相關(guān)關(guān)系和兩個變量之間是函數(shù)關(guān)系是不同的． 1．判斷正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)變量之間只有函數(shù)關(guān)系，不存在相關(guān)關(guān)系．(　

3、　) (2)兩個變量之間產(chǎn)生相關(guān)關(guān)系的原因受許多不確定的隨機(jī)因素的影響．(　　) (3)需要通過樣本來判斷變量之間是否存在不同關(guān)系．(　　) (4)相關(guān)關(guān)系是一種因果關(guān)系，具有確定性．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．觀察下列各圖形： 其中兩個變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的是(　　) A．①②　　　　　　　　　 B．①④ C．③④ D．②③ 解析：選C　由圖可知，③中各點(diǎn)分布在某條直線周圍，④中各點(diǎn)分布在某條曲線周圍，因此③④中的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系． 3．命題：①路程與時間、速度的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系； ②同一物體的加速度與作用力

4、是函數(shù)關(guān)系； ③產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系； ④圓的周長與面積的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系； ⑤廣告費(fèi)用與銷售量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系． 其中，正確的命題序號是________． 答案：②⑤ 相關(guān)關(guān)系的概念 [典例]　在下列各個量與量的關(guān)系中： ①正方體的表面積與棱長之間的關(guān)系； ②一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系； ③家庭的收入與支出之間的關(guān)系； ④某戶家庭用電量與水費(fèi)之間的關(guān)系． 其中是相關(guān)關(guān)系的為(　　) A．①②　　　　　　　　　 B．③④ C．②④ D．②③ [解析]?、僬襟w的表面積與棱長之間的關(guān)系是確定的函數(shù)關(guān)系；④某戶家庭用電量與水費(fèi)之間

5、無任何關(guān)系．②③中，都是非確定的關(guān)系，但自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性． [答案]　D 利用變量間相關(guān)關(guān)系的概念判斷量與量之間的關(guān)系時，一般是看當(dāng)一個變量的值一定時，另一個變量是否帶有確定性，兩個變量之間的關(guān)系具有確定關(guān)系——函數(shù)關(guān)系；兩個變量之間的關(guān)系具有隨機(jī)性、不確定性——相關(guān)關(guān)系．　　　　　　 [活學(xué)活用] 1．下列變量之間的關(guān)系不是相關(guān)關(guān)系的是(　　) A．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常數(shù)，取b為自變量，因變量是這個函數(shù)的判別式Δ＝b2－4ac B．光照時間和果樹畝產(chǎn)量 C．某種農(nóng)作物的畝產(chǎn)量與施肥量 D．父母身高和子女身高的關(guān)

6、系 解析：選A　B、C、D均為相關(guān)關(guān)系，A為函數(shù)關(guān)系． 2．有下列關(guān)系：①人的壽命與他(她)每天坐著的時間之間的關(guān)系；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系．其中，具有相關(guān)關(guān)系的是________． 解析：利用相關(guān)關(guān)系的概念進(jìn)行判斷，②中兩變量的關(guān)系是一種確定性關(guān)系． 答案：①③④ 散點(diǎn)圖 [典例]　某公司近年來科研費(fèi)用x(單位：萬元)與公司所獲的利潤y(單位：萬元)之間有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： x 2 3 4 5 y 18 27 32 35 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散

7、點(diǎn)圖； (2)觀察散點(diǎn)圖，判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系． [解]　(1)散點(diǎn)圖如下： (2)由圖知，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)接近直線排列，因此認(rèn)為y與x有線性相關(guān)關(guān)系． 判斷兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的方法 (1)根據(jù)直觀感覺判斷，這時要用到已有的知識或生活、學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)等． (2)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，這時要由兩個變量相應(yīng)值的對應(yīng)關(guān)系，作出散點(diǎn)圖，通過觀察散點(diǎn)圖中變量的對應(yīng)點(diǎn)是否分布在某條曲線的周圍判定這兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系． 　[活學(xué)活用] 　兩對變量A和B，C和D的取值分別對應(yīng)如表1和表2，畫出散點(diǎn)圖，判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系；若具有相關(guān)關(guān)系，說出它們相關(guān)關(guān)系的區(qū)別． 表1 A

8、26 18 13 10 4 －1 B 20 24 34 38 50 64 表2 C 0 5 10 15 20 25 30 35 D 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1 034.75 解：散點(diǎn)圖分別如圖(1)，(2)． 從圖中可以看出兩圖中的點(diǎn)都分布在一條曲線附近，因此兩圖中的變量都具有相關(guān)關(guān)系． 圖(1)中A的值由大變小時，B的值卻是由小變大． 圖(2)中C的值由小變大時，D的值也是由小變大. 曲線擬合與應(yīng)用 [典例]　某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷

9、售額(單位：百萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖，你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)廣告費(fèi)支出與銷售額之間的近似關(guān)系嗎？ (2)如果近似成線性關(guān)系，請畫出一條直線來表示這種線性關(guān)系． (3)如果廣告費(fèi)支出為7百萬元，請估計(jì)此時的銷售額為多少． [解]　(1)散點(diǎn)圖如圖所示．從散點(diǎn)圖中，可以看出廣告費(fèi)支出與銷售額之間的總體趨勢成一條直線，它們之間是線性相關(guān)的． (2)所畫直線如圖． (3)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和畫出的直線，可知廣告費(fèi)支出為7百萬元時，銷售額大約為64百萬元． 畫擬合曲線時

10、，應(yīng)注意以下兩點(diǎn) (1)使盡可能多的點(diǎn)在曲線上； (2)不在曲線上的點(diǎn)盡可能平均分布在曲線兩邊．　 [活學(xué)活用] 如圖，從5組數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)中去掉點(diǎn)________后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性就更好了． 解析：由散點(diǎn)圖知：呈帶狀區(qū)域時有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故去掉D點(diǎn)． 答案：D [層級一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)] 1．下列所給出的兩個變量之間存在相關(guān)關(guān)系的為(　　) A．學(xué)生的座號與數(shù)學(xué)成績　 B．學(xué)生的學(xué)號與身高 C．曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo) D．學(xué)生的身高與體重 解析：選D　A與B中的兩個變量之間沒有任何關(guān)系；C中的兩個變量之間具有函數(shù)關(guān)系．故選D. 2．下列關(guān)系中，是相

11、關(guān)關(guān)系的有(　　) ①學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系； ②教師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系； ③學(xué)生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系； ④家庭的經(jīng)濟(jì)條件與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 解析：選A　學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與教師的教學(xué)水平都影響學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，但不存在確定性關(guān)系；學(xué)生的身高和家庭經(jīng)濟(jì)條件與學(xué)生的成績無關(guān)，所以具有相關(guān)關(guān)系的是①②. 3．下列各圖中所示兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的是(　　) A．①②　　　　　　　　　　　 B．①③ C．②④ D．②③ 解析：選D　具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的數(shù)據(jù)所對應(yīng)的圖形是散點(diǎn)圖，②③

12、能反映兩個變量的變化規(guī)律，它們之間是相關(guān)關(guān)系． 4．下列說法中正確的有________(填序號)． ①y＝3x＋2中的x，y是具有函數(shù)關(guān)系的兩個變量； ②商品的銷售量與商品的價(jià)格之間是一種確定的關(guān)系； ③天空中的云量和下雨之間是一種確定的關(guān)系． 解析：②③中兩個變量之間是相關(guān)關(guān)系． 答案：① [層級二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)] 1．下列語句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系的是(　　) A．瑞雪兆豐年　　　　 B．讀書破萬卷，下筆如有神 C．吸煙有害健康 D．喜鵲叫喜，烏鴉叫喪 解析：選D　“瑞雪兆豐年”和“讀書破萬卷，下筆如有神”是根據(jù)多年經(jīng)驗(yàn)總結(jié)歸納出來的，吸煙有害健康具有科

13、學(xué)根據(jù)，所以它們都是相關(guān)關(guān)系，所以A、B、C三項(xiàng)具有相關(guān)關(guān)系；結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)知喜鵲和烏鴉發(fā)出叫聲是它們自身的生理反映，與人無任何關(guān)系，故D項(xiàng)不具有相關(guān)關(guān)系． 2．對于給定的兩個變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(　　) A．都可以分析出兩個變量的關(guān)系 B．都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系 C．都可以作出散點(diǎn)圖 D．都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系 解析：選C　給出一組樣本數(shù)據(jù)，總可以作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖，但不一定都能分析出兩個變量的關(guān)系，更不一定是具有線性相關(guān)或函數(shù)關(guān)系． 3．下列說法正確的是(　　) A．相關(guān)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系 B．函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系 C．線性相關(guān)關(guān)系是一次函數(shù)

14、關(guān)系 D．相關(guān)關(guān)系有兩種，分別是線性相關(guān)關(guān)系和非線性相關(guān)關(guān)系 解析：選D　函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系互不包含，所以A、B、C三項(xiàng)不正確；根據(jù)定義，相關(guān)關(guān)系有兩種，分別是線性相關(guān)關(guān)系和非線性相關(guān)關(guān)系． 4．試從下面四個圖中的點(diǎn)在散點(diǎn)圖上的分布狀態(tài)，直觀上初步判斷兩個變量之間有線性相關(guān)關(guān)系的是(　　) 答案：C 5．以下是收集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的大小x的數(shù)據(jù)： 房屋大小(m2) 11.5 110 80 135 105 銷售價(jià)格(萬元) 4.8 21.6 18.4 29.2 22 則根據(jù)數(shù)據(jù)可以判斷x，y________相關(guān)關(guān)系．(填“有”或“無”) 解析

15、：房屋大小的值由小變大時，銷售價(jià)格也由小變大，因此，兩個變量有相關(guān)關(guān)系． 答案：有 6．2015年國慶節(jié)期間，某旅行社接待游客人數(shù)如下表： 日期 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 人數(shù) 3 500 3 501 3 504 3 506 3 506 3 508 3 507 下列說法正確的是________(填序號)． ①根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，可知日期與人數(shù)具有相關(guān)關(guān)系； ②根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，可知日期與人數(shù)不具有相關(guān)關(guān)系； ③根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，可知日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系． 解析：畫出散點(diǎn)圖，可知①③正確． 答案

16、：①③ 7．下列兩個變量之間的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系的有________． ①球的體積和它的半徑； ②人的血壓和體重； ③底面積為定值的長方體的體積和高； ④城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)水平和平均工資． 答案：①③ 8．對某種雞胚胎的生長進(jìn)行研究，測得5日～20日雞的日齡與胚胎的質(zhì)量如下表： 日齡/天 5 6 7 8 9 10 11 12 胚重/g 0.250 0.498 0.846 1.288 1.656 2.662 3.100 4.576 日齡/天 13 14 15 16 17 18 19 20 胚重/g 6.518 7.486 9.

17、948 14.522 15.610 19.914 23.736 26.472 (1)請作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)關(guān)于這兩個變量的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？ 解：(1)以雞胚胎的日齡為x軸，以胚重為y軸，作出散點(diǎn)圖，如圖所示． (2)從散點(diǎn)圖觀察，許多點(diǎn)不在同一直線附近，但可以看出隨著時間的增加，胚重增長得越來越快，所以具有相關(guān)關(guān)系． 9．有時候，一些東西吃起來口味越好，對我們的身體越有害，下表給出了不同類型的某種食品的數(shù)據(jù)．第二行表示此種食品所含熱量的百分比，第三行數(shù)據(jù)表示由一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價(jià)： 品牌 A B C D E

18、 F G H I J 所含熱量的百分比 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 口味記錄 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52 　 (1)作出散點(diǎn)圖； (2)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)兩者之間的近似關(guān)系嗎？ (3)如果近似成線性關(guān)系，請畫出一條直線來近似地表示這種線性關(guān)系； (4)對于食品，為什么人們更喜歡吃位于直線上方的食品而不是下方的？ 解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示. (2)從上圖看基本近似成線性相關(guān)關(guān)系． (3)直線如上圖所示． (4)因?yàn)楫?dāng)直線上方的食品和下方的食品所含熱量相同時，直線上方的食品口味更好．