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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 文 (II)
班級(jí)： 座號(hào)： 姓名：
一、選擇題：本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，每題只有一個(gè)正確答案，把答案填在答題卷相應(yīng)的題號(hào)上.
1．在數(shù)列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x的值為( )
A．11 B．12 C．13 D．14
2.若<<0，則下列結(jié)論不正確的是( )
A．a(chǎn)2
|a＋b|
3.橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，其上、下兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰為邊長(zhǎng)是2的正方形的頂點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝4，b＝2，
sin2A＝sinB，則邊c的長(zhǎng)為( )
A．2 B．3 C．4 D．2或4
5.在數(shù)列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比為2的等比數(shù)列”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋4在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，則( )
A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)＝3 C．a(chǎn)≤3 D．00，b>0，a，b的等比中項(xiàng)是1，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
9.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足≤0，則必有( )
A．f(0)＋f(2)＞2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)＜2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
10.若θ∈，則y＝＋的取值范圍為( )
A．[6，＋∞) B．[10，＋∞) C．[12，＋∞) D．[16，＋∞)
11．若f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列(n∈N*)的前n項(xiàng)和為( )
A. B． C. D．
12.已知直線l1，l2是雙曲線C：－y2＝1的兩條漸近線，點(diǎn)P是雙曲線C上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到漸近線l1距離的取值范圍是，則點(diǎn)P到漸近線l2距離的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在答題紙的相應(yīng)位置．
13.某校今年計(jì)劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b滿足不等式組設(shè)這所學(xué)校今年計(jì)劃招聘教師最多x名，則x＝________.
14.已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時(shí)有極值0，則a－b＝________.
15．已知函數(shù)f(x)與f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝的單調(diào)遞減區(qū)間為________
16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________．
三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫文
17．(本小題10分)已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其公差為2，a2a4＝4a3＋1.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求a1＋a3＋a9＋…＋a3n.
18．(本小題12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，試求函數(shù)y＝(x>0)的最小值；
(2)對(duì)于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，試求a的取值范圍．
19.(本小題12分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2＋b2＝λab.(1)若λ＝，B＝，求sinA；
(2)若λ＝4，AB邊上的高為，求C.
20. (本小題12分)設(shè)f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6)．
(1)確定a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．
21．(本小題12分)已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1,1)．過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．
(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)．
22.已知函數(shù)f(x)＝xlnx.
(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；
(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．
1.解析：選C 觀察所給數(shù)列的項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是與它相鄰的前兩項(xiàng)的和，所以x＝5＋8＝13，故選C.
2.解析：選C 由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除A，B；由>可推出x>y，反之，未必成立，而x3>y3是x>y的充要條件，故選C.
3.[解析] 選C.由條件可知b＝c＝，a＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.故選C.
4.解析：選D 由sin 2A＝sin B，得2sin Acos A＝sin B，由正弦定理得24cos A＝2，所以cos A＝.再由余弦定理得cos A＝，解得c＝2或c＝4.故選D.
5.解析：選B 當(dāng)an＝0時(shí)，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比數(shù)列，因此充分性不成立；當(dāng){an}是公比為2的等比數(shù)列時(shí)，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故選B.
6.解析：選A 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3－ax2＋4在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，所以f′(x)＝3x2－2ax≤0在[0,2]上恒成立．當(dāng)x＝0時(shí)，顯然成立，當(dāng)x≠0時(shí)，a≥x在(0,2]上恒成立．因x≤3，所以a≥3.綜上，a≥3.
7.解析：選A 由正弦定理得a2c＝4a，所以ac＝4，且a2＋c2－b2＝12－2ac＝4，代入面積公式得 ＝.
8.解析：選B 由題意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)．
9.解析：選A 當(dāng)x＜1時(shí)，f′(x)＜0，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值同時(shí)也取得最小值，所以f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，則f(0)＋f(2)＞2f(1)．
10選D.∵θ∈，∴sin2θ，cos2θ∈(0,1)，∴y＝＋＝(sin2θ＋cos2θ)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即θ＝時(shí)等號(hào)成立，∴y＝＋的取值范圍為[16，＋∞)．故選D.
11.解析：選A 因?yàn)閒(x)＝xm＋ax，所以f′(x)＝mxm－1＋a.又因?yàn)閒′(x)＝2x＋1，所以m＝2，a＝1，所以f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，所以＝＝－，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.故選A.
12.解析：選A 設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，由題可設(shè)漸近線l1：x－2y＝0，漸近線l2：x＋2y＝0，由點(diǎn)P到直線l1的距離d1＝，點(diǎn)P到直線l2的距離d2＝，有d1d2＝＝，又－y＝1，即x－4y＝4，則d1d2＝，則d2＝，由d2與d1成反比，且d1∈，所以d2∈.故選A.
13.答案：13
14.解析：由題意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
則解得或
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝－1處無法取得極值，而a＝2，b＝9滿足題意，故a－b＝－7.
答案：－7
15.解析：選D g′(x)＝＝，令g′(x)<0，即f′(x)－f(x)<0，由題圖可得x∈(0,1)∪(4，＋∞)．故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，(4，＋∞)．故選D.
16. [答案y＝x
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可知|AF|＝y(tǒng)1＋，|BF|＝y(tǒng)2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋＋y2＋＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
聯(lián)立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以y1＋y2＝，所以＝p，即＝，故＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝x.
17.解：(1)依題意知，an＝a1＋2(n－1)，an>0.
因?yàn)閍2a4＝4a3＋1，所以(a1＋2)(a1＋6)＝4(a1＋4)＋1，
所以a＋4a1－5＝0，解得a1＝1或a1＝－5(舍去)，
所以an＝2n－1.
(2)a1＋a3＋a9＋…＋a3n
＝(21－1)＋(23－1)＋(232－1)＋…＋(23n－1)
＝2(1＋3＋32＋…＋3n)－(n＋1)
＝2－(n＋1)
＝3n＋1－n－2.
18.解：(1)依題意得y＝＝＝x＋－4.
因?yàn)閤>0，所以x＋≥2.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，
即x＝1時(shí)，等號(hào)成立．
所以y≥－2.
所以當(dāng)x＝1時(shí)，y＝的最小值為－2.
(2)因?yàn)閒(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“?x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．
不妨設(shè)g(x)＝x2－2ax－1，
則只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以即解得a≥.
則a的取值范圍為.
19.解：(1)由已知B＝，a2＋b2＝ab，結(jié)合正弦定理得
4sin2A－2sin A＋1＝0.解得sin A＝.
因?yàn)?0)，f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
當(dāng)03時(shí)，f′(x)>0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)，(3，＋∞)；
當(dāng)20，
由f′(x)＝0，得x＝，
所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增．
所以x＝是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)．
(2)g(x)＝xln x－a(x－1)，則g′(x)＝ln x＋1－a，
由g′(x)＝0，得x＝ea－1.
所以在區(qū)間(0，ea－1)上，g(x)為減函數(shù)，在區(qū)間(ea－1，＋∞)上，g(x)為增函數(shù)．
當(dāng)ea－1≤1，即a≤1時(shí)，在區(qū)間[1，e]上，g(x)為增函數(shù)，
所以g(x)的最小值為g(1)＝0.
當(dāng)1
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