第十章第1節(jié) 橢圓及其性質(zhì)

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1、第十章 圓錐曲線 第一節(jié) 橢圓及其性質(zhì) 題型115 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 2013年 1．（2013廣東文9）已知中心在原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率等于，則的方程是 A． B． C． D． 2014年 1.（2014大綱文9）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為，過的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若的周長為，則C的方程為（ ）. A． B． C． D． 2.（2014遼寧文15）已知橢圓：，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，若關(guān)于的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)在上，則 . 3.（2014遼寧文20）如圖所示，圓的

2、切線與軸正半軸，軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為. （1）求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，且與直線交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求的標(biāo)準(zhǔn)方程. 4.（2014天津文18）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知. （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與該圓相切于點(diǎn)，.求橢圓的方程. 5. （2014新課標(biāo)Ⅱ文20） 設(shè)分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直.直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為. （1）若直線的斜率為，求的離心率； （2）若直線在軸上的截距為，且，求.

3、 2015年 1.（2015廣東文8）已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，則（ ）. A． B． C． D． 1.解析 由左焦點(diǎn)為，可得. 由，即，得. 又，所以.故選B. 評注 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)． 2016年 1.（2016山東文21（1））已知橢圓的長軸長為，焦距為，求橢圓的方程. 1. 解析 設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以， 所以橢圓的方程為. 2.（2016四川文20（1））已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，求橢圓的方程. 2. 解析 由已知得， 又橢圓過點(diǎn)，故，解得 所以橢圓的方程是

4、3.（2016天津文19（1））設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中 為原點(diǎn)，為橢圓的離心率，求橢圓的方程. 3.解析 （1）由，即，可得. 又，所以，因此，所以橢圓的方程為 2017年 1.（2017全國1文12）設(shè)，是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 1.解析 因?yàn)樵谏洗嬖邳c(diǎn)，滿足，所以.當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最大值. ① 當(dāng)時(shí)，如圖1所示，有，則，所以 ，解得； 圖1 圖2 ② 當(dāng)時(shí)，如圖2示，有，

5、則，所以 ，解得. 綜上可得，的取值范圍是.故選A. 評注：先研究“橢圓，是長軸兩端點(diǎn)，位于短軸端點(diǎn)時(shí)，最大”這一結(jié)論. 圖3 如圖3所示，因?yàn)椋? 所以. 設(shè)，因?yàn)椋ㄖ悬c(diǎn)弦的一個(gè)結(jié)論），所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)位于短軸端點(diǎn)處）. 2.（2017山東卷文21）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為. （1）求橢圓的方程； （2）動直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，圓的半徑為. 設(shè)為的中點(diǎn)，，與圓分別相切于點(diǎn)，，求的最小值. 2.解析 （1） 由橢圓的離心率為 ，得， 又當(dāng)時(shí)，，得，所以，.

6、 因此橢圓方程為. (2) 設(shè)，，聯(lián)立方程 ， 得，由，得 . 且，因此，所以， 又，所以， 因?yàn)椋? 令，故.所以. 令 ，所以. 當(dāng) 時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增. 因此，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，所以 ，. 設(shè)，則 ，所以的最小值為. 從而的最小值為，此時(shí)直線的斜率為. 綜上所述，當(dāng)，時(shí)，取得最小值為. 題型116 橢圓離心率的值及取值范圍 2013年 1. （2013四川文9）從橢圓上一點(diǎn)向軸做垂線，垂足恰為左焦 點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率是（ ）. A. B.

7、 C. D. 2.（2013江蘇12）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到的 距離為，若，則橢圓的離心率為 . 2. (2013福建文15）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為 若直線 與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足則該橢圓的離心率等于 . 3.（2014北京文19）已知橢圓C：. （1）求橢圓C的離心率； （2）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在橢圓C上，且，求線段AB長度的最小值. F1 F2 O x y B C A 4.（2014江蘇17）如圖所示，在平面直角坐

8、標(biāo)系中，，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，連接． （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程； （2）若，求橢圓離心率的值． 2014年 1.（2014江西文14）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過作軸的垂線與相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率等于 . 2. （2014安徽文21）設(shè)，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，. （1）若的周長為16，求； （2）若，求橢圓的離心率. 2015年 1.（2015福建文11）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為．短軸的一個(gè)端 點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)．

9、若，點(diǎn)到直線的 距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）. A． B． C． D． 1. 解析 設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，，則四邊形是平行四邊形，故， 所以，所以.設(shè)，則，故. 所以，，，所以橢圓的離心率的取值范圍為. 故選A. 評注 1. 橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)；2. 點(diǎn)到直線距離公式． 2.（2015浙江文15）橢圓（）的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的 對稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率是 ． 2. 解析 解法一:設(shè)，則，所以，又， 所以 ，所以，所以， 不妨取，所以中點(diǎn)，代入， 得，化簡得或，所以. 解法二:取左焦點(diǎn)，則：，所以原點(diǎn)到的距離.

10、 又到的距離，由題意知，，所以，所以. 3.（2015重慶文21）如圖所示，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，， 過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且. （1）若，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. （2）若，且， 試確定橢圓離心率的取值范圍. 3. 解析 （1）由橢圓的定義，，故. 設(shè)橢圓的半焦距為，由已知， 因此， 即，從而. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）由，，得. 由橢圓的定義，，， 進(jìn)而.于是， 解得，故. 由勾股定理得， 從而， 兩邊除以，得. 若記，則上式變?yōu)? 由，并注意到關(guān)于的單調(diào)性，得， 即.進(jìn)而，即. 2016年 1.（2016全國乙文5）直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)

11、和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（ ）. A. B. C. D. 1. B 解析 由等面積法可得，故，從而.故選B. 2.（2016江蘇10）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是 . 2. 解析 由題意得，直線與橢圓方程聯(lián)立，可得，. 由，可得，，， 則，由，可得，則. 2017年 1.（2017全國3文11）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（ ）. A． B． C．

12、 D． 1.解析 因?yàn)橹本€與圓相切，即，整理得.令，則有，，，.故選A. 評注 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓錐曲線的離心率公式和圓的方程，考查的知識點(diǎn)比較多，但總的難度不大，屬于跨板塊的綜合類問題，基礎(chǔ)中偏上的學(xué)生一般都能搞定. 2.（2017浙江卷2）橢圓的離心率是（ ）. A. B. C. D. 2.解析 由橢圓方程可得，，所以，所以，， .故選B． 題型117 橢圓的焦點(diǎn)三角形 2014年 1.（2014重慶文21）如圖所示，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，， ，的面積為. （1） 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2） 是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)？若存在，求出圓的方程，若不存在，請說明理由. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org