2020高中數(shù)學北師大版必修三教學案：第一章167;8 最小二乘估計 Word版含答案

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1、北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料 [核心必知] 1．回歸直線 如果兩個變量散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫作回歸直線． 2．最小二乘法 求線性回歸方程y＝bx＋a時，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫作最小二乘法．其中a，b的值由以下公式給出： a，b是線性回歸方程的系數(shù)． [問題思考] 1．任給一組數(shù)據(jù)，我們都可以由最小二乘法得出線性回歸方程嗎？ 提示：用最小二乘法求回歸直線的方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關關系(可利用散點圖判斷)．否則求出的線性回歸方程是無意義的． 2．

2、線性回歸方程是否經(jīng)過一定點？ 提示：線性回歸方程恒過定點(，)． 講一講 1.下表是某旅游區(qū)游客數(shù)量與平均氣溫的對比表： 平均氣溫(℃) －1 4 10 13 18 26 數(shù)量(百個) 20 24 34 38 50 64 若已知游客數(shù)量與平均氣溫是線性相關的，求線性回歸方程． [嘗試解答]?。剑?，＝＝， x＋x＋…＋x＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286， x1y1＋x2y2＋…＋x6y6＝－20＋96＋340＋1338＋1850＋2664＝3 474. b＝＝≈1.68， a＝－b≈18.73， 即所求的線性回

3、歸方程為y＝1.68x＋18.73. 求線性回歸方程的步驟 (1)畫出散點圖，判斷其具有相關關系； (2)計算，，x＝x＋x＋…＋x， xiyi＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn. (3)代入公式b＝，a＝－b； (4)寫出線性回歸方程y＝bx＋a. 練一練 1．某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 已知記憶力x和判斷力y是線性相關的，求線性回歸方程． 解：＝＝9，＝＝4， a＝－b＝4－0.79＝－2.3. 則所求的線性回歸方程為y＝0.7x－2.3. 講一

4、講 2.某種產(chǎn)品的廣告費支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)畫出散點圖； (2)求線性回歸方程； (3)預測當廣告費支出為7百萬元時的銷售額． [嘗試解答]　(1) (2)從散點圖可以發(fā)現(xiàn)，y與x具有線性相關關系，利用計算器求得： ＝5，＝50，x＝145，xiyi＝1 380， 設回歸方程為y＝bx＋a，則 b＝＝＝6.5， a＝－b＝50－6.55＝17.5，故所求線性回歸方程為y＝6.5x＋17.5. (3)當x＝7時，y＝6.57＋17

5、.5＝63. 所以，當廣告費支出為7百萬元時，銷售額約為6 300萬元． 用線性回歸方程估計總體的一般步驟： (1)作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近； (2)如果散點在一條直線附近，用公式求出a、b并寫出線性回歸方程； (3)根據(jù)線性回歸方程對總體進行估計． 練一練 2．假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y(單位：萬元)有如下的統(tǒng)計資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知y對x呈線性相關關系，試求： (1)回歸方程y＝bx＋a的系數(shù)a，b； (2)使用年限為10年時，試

6、估計維修費用是多少． 解：(1)列表如下： I 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x 4 9 16 25 36 ＝4，＝5，x＝90，xiyi＝112.3 b＝＝＝1.23， a＝－b＝5－1.234＝0.08. (2)回歸方程是y＝1.23x＋0.08， 當x＝10時，y＝1.2310＋0.08＝12.38(萬元)， 即估計使用10年時維修費用是12.38萬元. 【解題高手】【易錯題】 有人統(tǒng)計了

7、同一個省的6個城市某一年的人均國民生產(chǎn)總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如下表： 人均GDP(萬元) 10 8 6 4 3 1 患白血病的兒童數(shù) 351 312 207 175 132 180 (1)畫出散點圖，并判定兩個變量是否具有線性相關關系； (2)通過計算可得兩個變量的線性回歸方程為y＝23.25x＋102.25，假如一個城市的人均GDP為12萬元，那么可以斷言，這個城市患白血病的兒童一定超過380人，請問這個斷言是否正確？ [錯解]　(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點圖，如圖所示，從圖可以看出，雖然后5個點大致分布在一條直線的附近，但第一個

8、點離這條直線太遠，所以這兩個變量不具有線性相關關系． (2)將x＝12代入y＝23.25x＋102.25，得y＝23.2512＋102.25＝381.25>380，所以上述斷言是正確的． [錯因]　在第(1)問中，是否具有線性相關關系，要看大部分點、主流點是否分布在一條直線附近，個別點是不影響“大局”的，所以可斷定這兩個變量具有線性相關關系．在第(2)問中，381.25只是一個估計值，由它不能斷言這個城市患白血病的兒童一定超過380人．如果這個城市的污染很嚴重，有可能人數(shù)遠遠超過380，若這個城市的環(huán)境保護的很好，則人數(shù)就有可能遠遠低于380. [正解]　(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點圖，

9、如錯解圖所示，從圖可以看出，在6個點中，雖然第一個點離這條直線較遠，但其余5個點大致分布在這條直線的附近，所以這兩個變量具有線性相關關系． (2)將x＝12代入y＝23.25x＋102.25，得y＝23.2512＋102.25＝381.25>380，即便如此，但因381.25只是一個估計值，會受其他情況的影響，所以不能斷言這個城市患白血病的兒童一定超過380人． 1．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 則y與x的線性回歸方程y＝bx＋a必過點(　　) A．(2,2)　　B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5

10、,4) 解析：選D ＝＝1.5，＝＝4. 2．工人工資y(元)隨勞動生產(chǎn)率x(千元)變化的回歸直線方程為y＝80x＋50，則下列判斷正確的是(　　) A．勞動生產(chǎn)率為1 000元時，工資為130元 B．勞動生產(chǎn)率提高1 000元時，工資約提高80元 C．勞動生產(chǎn)率提高1 000元時，工資約提高130元 D．當月工資210元時，勞動生產(chǎn)率為2 000元 解析：選B 回歸直線的斜率為80，所以x每增加1個單位，y約增加80，即勞動生產(chǎn)率提高1 000元時，工資提高約80元． 3．(福建高考改編)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表： x 1 2 3 4 5 6 y

11、 0 2 1 3 3 4 假設根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y＝bx＋a，若某同學根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結論正確的是(　　) A．b>b′，a>a′ B．b>b′，aa′ D．ba′. 4．某商店統(tǒng)計了最近6個月某商品的進價x與售價y(單位：元)的對應數(shù)據(jù)如下： x

12、 3 5 2 8 9 12 y 4 6 3 9 12 14 則＝________，＝________，＝________， ＝________，回歸方程為________． 解析：根據(jù)公式代入即可求得，也可以利用計算器求得＝6.5，＝8，＝327，＝396， 回歸方程為y＝1.14x＋0.59. 答案：6.5　8　327　396　y＝1.14x＋0.59 5．某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表： 氣溫(℃) 18 13 10 －1 用電量(度) 24 34 38 64 由表中

13、數(shù)據(jù)得線性回歸方程y＝bx＋a中b＝－2，預測當氣溫為－4 ℃時，用電量的度數(shù)約為________． 解析：＝＝10，＝＝40，則a＝－b ＝40＋210＝60，則y＝－2x＋60，則當x＝－4時，y＝－2(－4)＋60＝68. 答案：68 6．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后，生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表中數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程y＝bx＋a； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生

14、產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤．(參考數(shù)值：32.5＋43＋54＋64.5＝66.5) 解：(1)散點圖如圖所示． (2)由對照數(shù)據(jù)，計算得： x＝86，＝＝4.5，＝＝3.5. 又已知xiyi＝66.5， ∴b＝＝＝0.7， a＝－b＝3.5－0.74.5＝0.35. ∴所求的線性回歸方程為y＝0.7x＋0.35. (3)90－(0.7100＋0.35)＝19.65(噸標準煤)， 故預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低約19.65噸標準煤． 一、選擇題 1．設有一個回歸方程y

15、＝2－1.5x，當x增加1個單位時(　　) A．y平均增加1.5個單位 B．y平均減少1.5個單位 C．y平均增加2個單位 D．y平均減少2個單位 解析：選B y′＝2－1.5(x＋1)＝2－1.5x－1.5＝y(tǒng)－1.5，即x增加1個單位，y平均減少1.5個單位． 2．對有線性相關關系的兩個變量建立的線性回歸方程y＝a＋bx中，回歸系數(shù)b(　　) A．可以小于0 B．只能大于0 C．只能等于0 D．只能小于0 解析：選A ∵b＝，∴b的取值是任意的． 3．由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到線性回歸方程y＝bx＋a，那么下面說法不

16、正確的是(　　) A．直線y＝bx＋a必經(jīng)過點(，) B．直線y＝bx＋a至少經(jīng)過點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點 C．直線y＝bx＋a的斜率為 D．直線y＝bx＋a與各點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的接近程度[yi－(bxi＋a)]2是該坐標平面上所有直線與這些點的最接近的直線 解析：選B 直線y＝bx＋a一定過點(，)，但不一定要過樣本點． 4．(湖南高考)設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－

17、85.71，則下列結論中不正確的是(　　) A．y與x具有正的線性相關關系 B．回歸直線過樣本點的中心(，) C．若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg 解析：選D 當x＝170時，＝0.85170－85.71＝58.79，體重的估計值為58.79 kg，故D不正確． 5．(山東高考)某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程y＝bx＋a中的b為9.4，據(jù)此模型

18、預報廣告費用為6萬元時銷售額為(　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 解析：選B 容易計算得＝3.5，＝42，故a＝－b＝42－9.43.5＝9.1，所以當廣告費用為6萬元時銷售額為9.46＋9.1＝65.5(萬元)． 二、填空題 6．(遼寧高考改編)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)．調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：y＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． 解析：由回歸

19、直線方程的意義知，x每增加1萬元，y平均增加0.254萬元． 答案：0.254 7．對一質(zhì)點的運動過程觀測了4次，得到如表所示的數(shù)據(jù)，則刻畫y與x的關系的線性回歸方程為________. x 1 2 3 4 y 1 3 5 6 解析：＝2.5，＝3.75，xiyi＝46，x＝30， b＝＝1.7，a＝－b＝－0.5， 所以所求的線性回歸方程為：y＝1.7x－0.5. 答案：y＝1.7x－0.5 8．(廣東高考)為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當天投籃命中率y之間的關系：

20、時間x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李這5天的平均投籃命中率為________；用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為________． 解析：小李這5天的平均投籃命中率為(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)5＝0.5. 又＝3，＝0.5， 由表中數(shù)據(jù)，得b＝0.01， a＝－b＝0.47， 故回歸直線方程為y＝0.01x＋0.47. 令x＝6，則有y＝0.016＋0.47＝0.53. 答案：0.5　0.53 三、解答題 9．在7塊并排、形狀大小相同的試驗田上進行施化肥量對

21、水稻產(chǎn)量(單位：千克)影響的試驗，得到如下一組數(shù)據(jù)： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量 330 345 365 405 445 450 455 (1)作出這些數(shù)據(jù)的散點圖； (2)由(1)分析兩變量關系得出什么結論？ (3)求出回歸直線方程． 解：(1)如圖所示． (2)由(1)可看出，各點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，為正相關，也可以說在適量限制范圍內(nèi)水稻產(chǎn)量隨施肥量的增大而增大，但不是直線遞增． (3)用科學計算器可求得＝30，＝399.3，x＝7 000，xiyi＝87 175.于是b＝＝ ≈4.75.a

22、＝－b＝399.3－4.7530≈257.因此所求回歸直線方程為y＝4.75x＋257. 10．(福建高考改編)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b； (2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本) 解：(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5， ＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80. 所以a＝－b＝80＋（－20）8.5＝250，從而回歸直線方程為y＝－20x＋250. (2)設工廠獲得的利潤為L元，依題意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1 000 ＝－20(x－)2＋361.25. 當且僅當x＝8.25時，L取得最大值． 故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤.