2020高中數學 2.3第1課時空間向量的標準正交分解與坐標表示及空間向量基本定理練習 北師大版選修21

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1、北師大版2019-2020學年數學精品資料 第二章　2.3　第1課時 空間向量的標準正交分解與坐標表示及空間向量基本定理 一、選擇題 1．已知向量a、b不共線，p＝ma＋nb，則p＝0的充要條件是(　　) A．mn＝0 B．m＝0且n＝0 C．m＋n＝0 D．m＝n [答案]　B [解析]　∵a、b不共線，p＝ma＋nb＝0，∴m＝0且n＝0. 2．已知m＝a＋b，n＝2a＋2b(a、b不共線)，則m與n(　　) A．共線 B．不共線 C．不共面 D．以上都不對 [答案]　A [解析]　∵n＝2m，∴m與n共線． 3．已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b

2、＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＋y等于(　　) A．2 B．－2 C．1 D．0 [答案]　D [解析]　∵m與n共線，∴xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)． ∴∴∴x＋y＝0. 4．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，則等于(　　) A．a＋b＋c B．a＋b－c C．a－b－c D．－a＋b＋c [答案]　C 5．對空間一點O，若＝＋＋，則A、B、C、P四點(　　) A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．四點共線 [答案]　B [解析]?。剑冃螢?＝6＋＋，即6－6＝(－)＋(－)，整理得6＝＋，即＝＋，由向

3、量共面定理知與、共面，即A、B、C、P四點一定共面． 6．下列各命題中，正確的是(　　) A．單位向量都相等 B．若＝＋，則O、P、A、B共面 C．若＝x＋y＋z，當x＋y＋z＝1時，四點P、A、B、C共線 D．如果向量a、b、c不是共面向量，那么對于空間任意一個向量p均可用a、b、c表示，但表示方法是不唯一的 [答案]　B 二、填空題 7．設命題p：a、b、c是三個非零向量；命題q：{a，b，c}為空間的一個基底，則命題p是命題q的________________條件． [答案]　必要不充分 8．{a，b，c}構成空間中的一個基底，＝＝是p＝x1a＋y1b＋z1c與q＝x

4、2a＋y2b＋z2c共線的__________________條件． [答案]　充分不必要 三、解答題 9．如圖所示，空間四邊形OABC中，G、H分別是△ABC、△OBC的重心，設＝a，＝b，＝C．試用向量a、b、c表示向量和. [解析]　設BC的中點為D． ∵＝＋，而＝， ＝－，＝(＋)，∴＝＋ ＝＋(－) ＝＋(＋)－ ＝＋＋ ＝a＋b＋C． 而＝－， 又＝＝(＋)＝(b＋c)， ∴＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－A． ∴＝(a＋b＋c)，＝－A． 10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中點，O為正方形ABCD的中心，試求向量，的坐標．

5、 [解析]　設正方體的棱長為1，如圖，可設＝e1，＝e2，＝e3，以e1，e2，e3為坐標向量建立空間直角坐標系D－xyz. ∵＝－ ＝＋－(＋) ＝＋－－ ＝e1－e2＋e3， ∴＝(，－，1)． 又＝＋＝＋＝－e1＋e3， ∴＝(－1,0，)． 綜上：＝(，－，1)，＝(－1,0，)． 一、選擇題 1．長方體ABCD—A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，則等于(　　) A．i＋j＋k B．i＋j＋k C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k [答案]　C [解析]　令A點為坐標原點，建立如圖的空間坐標系．由于＝3i，＝2j，＝5k，則C1點

6、的坐標為(3,2,5)，即＝3i＋2j＋5k，故選C． 2．三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分別BB1，AC的中點，設＝a，＝b，＝c，則等于(　　) A．(a＋b＋c)　　　　　 B．(a＋b－c) C．(a＋c) D．a＋(c－b) [答案]　D [解析]　因為＝＋＋＝－b＋a＋c，所以選D． 3．已知向量{a，b，c}是空間的一個基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以與向量p，q構成空間的另一個基底的是(　　) A．a B．b C．c D．無法確定 [答案]　C [解析]　∵a＝p＋q，∴a與p、q共面， ∵b＝p－q，∴b與p、q共面， ∵不存在λ、μ，

7、使c＝λp＋μq， ∴c與p、q不共面，故{c，p，q}可作為空間的一個基底，故選C． 4．已知{e1，e2，e3}為空間的一個基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，則α、β、γ分別為(　　) A．，－1，－ B．，1， C．－，1，－ D．，1，－ [答案]　A [解析]　d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又因為d＝e1＋2e2＋3e3， 所以有：解得 二、填空題 5．在

8、直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點，則在如圖所示的空間直角坐標系中，的坐標是______________，的坐標是______________． [答案]　(－2，－1，－4)　(－4,2，－4) [解析]?。剑剑剑?i－j－4k；＝＋＋＝－4k－4i＋2j. ∴＝(－2，－1，－4)，＝(－4,2，－4)． 6．三棱錐P－ABC中，∠ABC為直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M為PC的中點，N為AC中點，以{，，}為基底，則的坐標為________________． [答案]　(，0，－) [解析

9、]?。剑?＋)－(＋)＝－，即＝. 三、解答題 7．如圖，已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，點E在AC′上，且AEEC′＝12，點F，G分別是B′D′和BD′的中點，求下列各式中的x，y，z的值． (1)＝x＋y＋z； (2)＝x＋y＋z； (3)＝x＋y＋z. [解析]　(1)∵AEEC′＝12，∴＝ ＝(＋＋)＝(＋＋) ＝＋＋， ∴x＝，y＝，z＝. (2)∵F為B′D′的中點， ∴＝(＋)＝(＋＋＋) ＝(2＋＋)＝＋＋， ∴x＝1，y＝，z＝. (3)∵G、F分別為BD′、B′D′的中點， ∴＝，∴x＝，y＝0，z＝0. 8.已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分別在AB、PC上且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，如圖建立空間直角坐標系，求的坐標． [解析]　設＝i，＝j，＝k. ∵＝＋＋＝－＋＋ ＝－＋＋(－＋＋)＝＋ ＝＋(－)＝－i＋k， ∴＝(－，0，)．