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1、新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料3條件概率與獨(dú)立事件 條件概率100件產(chǎn)品中有93件產(chǎn)品的長(zhǎng)度合格，90件產(chǎn)品的質(zhì)量合格，85件產(chǎn)品的長(zhǎng)度、質(zhì)量都合格令A(yù)產(chǎn)品的長(zhǎng)度合格，B產(chǎn)品的質(zhì)量合格，AB產(chǎn)品的長(zhǎng)度、質(zhì)量都合格問(wèn)題1：試求P(A)，P(B)，P(AB)提示：P(A)，P(B)，P(AB).問(wèn)題2：任取一件產(chǎn)品，已知其質(zhì)量合格(即B發(fā)生)，求它的長(zhǎng)度(即A發(fā)生)也合格概率提示：若用A|B表示上述事件，則A|B發(fā)生相當(dāng)于從90件產(chǎn)品中任取1件長(zhǎng)度合格，其概率為P(A|B).問(wèn)題3：如何理解問(wèn)題2?提示：在質(zhì)量合格的情況下，長(zhǎng)度又合格，即事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生問(wèn)題4：試探求P(B)，P(AB)，P
2、(A|B)間的關(guān)系提示：P(A|B).條件概率(1)概念事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱(chēng)為B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)(2)公式P(A|B)(其中，AB也可記成AB)(3)當(dāng)P(A)0時(shí)，A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率為P(B|A).獨(dú)立事件有這樣一項(xiàng)活動(dòng)：甲箱里裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙箱里裝有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從這兩個(gè)箱子里分別摸出1個(gè)球，記事件A從甲箱里摸出白球，B從乙箱里摸出白球問(wèn)題1：事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎？提示：不影響問(wèn)題2：試求P(A)，P(B)，P(AB)提示：P(A)，P(B)，P(AB).問(wèn)題3：P(AB)與P(A)，P(B)有什么關(guān)系？提示：P(
3、AB)P(A)P(B).問(wèn)題4：P(B|A)與P(B)相等嗎？提示：相等，由P(B|A)，可得P(B|A)P(B)獨(dú)立事件(1)概念：對(duì)兩個(gè)事件A，B，如果P(AB)P(A)P(B)，則稱(chēng)A，B相互獨(dú)立(2)推廣：若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也相互獨(dú)立(3)拓展：若A1，A2，An相互獨(dú)立，則有P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)1由條件概率的定義知，P(B|A)與P(A|B)是不同的；另外，在事件A發(fā)生的前提下，事件B發(fā)生的概率為P(B|A)，其值不一定等于P(B)2事件A與B相互獨(dú)立就是事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率 條件概率例1盒
4、中裝有5個(gè)產(chǎn)品，其中3個(gè)一等品，2個(gè)二等品，不放回地從中取產(chǎn)品，每次取1個(gè)求：(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率，(2)取兩次，第二次取得一等品的概率；(3)取兩次，已知第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率思路點(diǎn)撥由于是不放回地從中取產(chǎn)品，所以第二次抽取受到第一次的影響，因而是條件概率，應(yīng)用條件概率中的乘法公式求解精解詳析記Ai為第i次取到一等品，其中i1,2.(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率，P(A1A2)P(A1)P(A2|A1).(2)取兩次，第二次取得一等品，則第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，則P(A2)P(A2)P(A1A2).(3)取兩次，已知第二次
5、取得一等品，則第一次取得二等品的概率為P(|A2).一點(diǎn)通求條件概率一般有兩種方法：一是對(duì)于古典概型類(lèi)題目，可采用縮減基本事件總數(shù)的辦法來(lái)計(jì)算，P(B|A)，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)，n(A)表示事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)二是直接根據(jù)定義計(jì)算，P(B|A)，特別要注意P(AB)的求法1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的所有可能結(jié)果為1,2,3,4,5,6，記事件A2,3,5，B1,2,4,5,6，則P(A|B)()A.B.C. D.解析：P(B)，P(AB)，P(A|B).答案：C2已知P(A|B)，P(B)，則P(AB)_.解析：P(A|B)，P(AB)P(A|B)P(B
6、).答案：3甲、乙兩地都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百多年的氣象記錄，知道甲、乙兩地一年中雨天所占的比例分別為20%和18%，兩地同時(shí)下雨的比例為12%，問(wèn)：(1)乙地為雨天時(shí)甲地也為雨天的概率是多少？(2)甲地為雨天時(shí)乙地也為雨天的概率是多少？解：設(shè)“甲地為雨天”為事件A，“乙地為雨天”為事件B，由題意，得P(A)0.20，P(B)0.18，P(AB)0.12.(1)乙地為雨天時(shí)甲地也為雨天的概率是P(A|B)0.67.(2)甲地為雨天時(shí)乙地也為雨天的概率是P(B|A)0.60.獨(dú)立事件的判斷例2一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩，B一個(gè)家庭中最多有
7、一個(gè)女孩，對(duì)下述兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性：(1)家庭中有兩個(gè)小孩；(2)家庭中有三個(gè)小孩思路點(diǎn)撥先寫(xiě)出家庭中有兩個(gè)小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女，男)是不同的，然后分別求出A，B所含的基本事件數(shù)，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型來(lái)求P(A)，P(B)及P(AB)的概率，最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B)精解詳析(1)有兩個(gè)小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4個(gè)基本事件，由等可能性知每個(gè)基本事件的概率都為.A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，P(A
8、)，P(B)，P(AB).P(A)P(B)P(AB)事件A，B不相互獨(dú)立(2)有三個(gè)小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，由等可能性知這8個(gè)基本事件的概率均為，這時(shí)A中含有6個(gè)基本事件，B中含有4個(gè)基本事件，AB中含有3個(gè)基本事件于是P(A)，P(B)，P(AB)，顯然有P(AB)P(A)P(B)成立，從而事件A與B是相互獨(dú)立的一點(diǎn)通(1)利用相互獨(dú)立事件的定義(即P(AB)P(A)P(B)可以準(zhǔn)確地判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立，這是用定量計(jì)算方法判斷，因此我們必須
9、熟練掌握(2)判別兩個(gè)事件是否為相互獨(dú)立事件也可以從定性的角度進(jìn)行分析，也就是看一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生是否有影響沒(méi)有影響就是相互獨(dú)立事件；有影響就不是相互獨(dú)立事件4若A與B相互獨(dú)立，則下面不是相互獨(dú)立事件的是()AA與 BA與C.與B D.與解析：當(dāng)A，B相互獨(dú)立時(shí)，A與，與B以及與都是相互獨(dú)立的，而A與是對(duì)立事件，不相互獨(dú)立答案：A5從一副撲克牌(52張)中任抽一張，設(shè)A“抽得老K”，B“抽得紅牌”，判斷事件A與B是否相互獨(dú)立解：抽到老K的概率為P(A)，抽到紅牌的概率P(B)，故P(A)P(B)，事件AB即為“既抽得老K又抽得紅牌”，亦即“抽得紅桃老K或方塊老K”，故P(AB)，
10、從而有P(A)P(B)P(AB)，因此A與B互為獨(dú)立事件.獨(dú)立事件的概率例3(10分)某田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動(dòng)員，根據(jù)平時(shí)訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)甲，乙，丙三人100 m跑(互不影響)的成績(jī)?cè)?3 s內(nèi)(稱(chēng)為合格)的概率分別為，若對(duì)這三名短跑運(yùn)動(dòng)員的100 m 跑的成績(jī)進(jìn)行一次檢測(cè)，則(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大？思路點(diǎn)撥若用A，B，C表示甲，乙，丙三人100米跑的成績(jī)合格，則事件A，B，C相互獨(dú)立精解詳析記“甲、乙、丙三人100米跑成績(jī)合格”分別為事件A，B，C，顯然事件A，B，C相互獨(dú)立，則P(A)，P(B)，P(C).(3分)設(shè)恰有k人合格的概率為Pk
11、(k0,1,2,3)(1)三人都合格的概率：P3P(ABC)P(A)P(B)P(C).(5分)(2)三人都不合格的概率：P0P()P()P()P().(7分)(3)恰有兩人合格的概率：P2P(AB)P(AC)P(BC).恰有一人合格的概率：P11P0P2P31.結(jié)合(1)(2)可知P1最大所以出現(xiàn)恰有1人合格的概率最大 (10分)一點(diǎn)通(1)公式P(AB)P(A)P(B)可以推廣到一般情形：如果事件A1，A2，An相互獨(dú)立，那么這n 個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的程序：首先確定各事件之間是相
12、互獨(dú)立的；確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；求出每個(gè)事件發(fā)生的概率，再求其積6先后拋擲一枚骰子兩次，則兩次都出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的概率為_(kāi)答案：7(北京高考改編)李明在10場(chǎng)籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計(jì)如下(假設(shè)各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立)：場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場(chǎng)12212客場(chǎng)1188主場(chǎng)21512客場(chǎng)21312主場(chǎng)3128客場(chǎng)3217主場(chǎng)4238客場(chǎng)41815主場(chǎng)52420客場(chǎng)52512(1)從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求李明在該場(chǎng)比賽中投籃命中率超過(guò)0.6的概率；(2)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)，求李明的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0.6，一場(chǎng)不超過(guò)0.6的概率；解：(1)根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)
13、比賽中，李明投籃命中率超過(guò)0.6的場(chǎng)次有5場(chǎng)，分別是主場(chǎng)2，主場(chǎng)3，主場(chǎng)5，客場(chǎng)2，客場(chǎng)4.所以在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)比賽中，李明的投籃命中率超過(guò)0.6的概率是0.5.(2)設(shè)事件A為“在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)主場(chǎng)比賽中李明的投籃命中率超過(guò)0.6”，事件B為“在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)客觀比賽中李明的投籃命中率超過(guò)0.6”，事件C為“在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)中，李明的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0.6，一場(chǎng)不超過(guò)0.6”則CAB，A，B獨(dú)立根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，P(A)，P(B).P(C)(A)P(B).所以在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)中，李明的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0.6，一場(chǎng)不超過(guò)0.6的概率為.8一個(gè)袋子中有3個(gè)白球，2
14、個(gè)紅球，每次從中任取2個(gè)球，取出后再放回，求：(1)第一次取出的2 個(gè)球都是白球，第二次取出的2個(gè)球都是紅球的概率；(2)第一次取出的2 個(gè)球1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球，第二次取出的2個(gè)球都是白球的概率解：記“第一次取出的2 個(gè)球都是白球”事件為A，“第二次取出的2個(gè)球都是紅球”為事件B，“第一次取出的2個(gè)球1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球”為事件C，很明顯，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互獨(dú)立事件(1)P(AB)P(A)P(B).故第一次取出的2個(gè)球都是白球，第二次取出的2個(gè)球都是紅球的概率是.(2)P(CA)P(C)P(A).故第一次取出的2個(gè)球1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球，第二次取出的2個(gè)球都是白球
15、的概率是.1計(jì)算條件概率要明確：(1)準(zhǔn)確理解條件概率的概念：條件概率中的兩個(gè)事件是互相影響的，其結(jié)果受兩個(gè)條件的概率的制約；(2)要正確求出條件概率，必須首先弄清楚“事件A發(fā)生”“事件A發(fā)生并且事件B也發(fā)生”“事件B在事件A發(fā)生的條件下發(fā)生”的概率之間的關(guān)系2互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的區(qū)別與聯(lián)系名稱(chēng)區(qū)別聯(lián)系定義事件個(gè)數(shù)互斥事件在一次試驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生的事件兩個(gè)或兩個(gè)以上兩事件互斥，但不一定對(duì)立；反之一定成立；兩事件獨(dú)立，則不一定互斥(或?qū)α?；兩事件互斥(或?qū)α?，則不相互獨(dú)立對(duì)立事件在一次試驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生但必有一個(gè)發(fā)生的事件兩個(gè)獨(dú)立事件一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有
16、影響兩個(gè)或兩個(gè)以上 1拋擲一顆骰子一次，A表示事件：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，B表示事件：“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”，則事件A與B的關(guān)系是()A相互互斥事件B相互獨(dú)立事件C既相互互斥又相互獨(dú)立事件D既不互斥又不獨(dú)立事件解析：A2,4,6，B3,6，AB6，所以P(A)，P(B)，P(AB)，所以A與B是相互獨(dú)立事件答案：B2設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率為，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為，則事件A發(fā)生的概率為()A.B.C. D.解析：由題意知：P(AB)，P(B|A)，P(A).答案：B3某農(nóng)業(yè)科技站對(duì)一批新水稻種子進(jìn)行試驗(yàn)，已知這批水稻種子的發(fā)芽率為0.8，出芽后的幼苗成活率為0.
17、9，在這批水稻種子中，隨機(jī)地取出一粒，則這粒水稻種子發(fā)芽能成長(zhǎng)為幼苗的概率為()A0.02 B0.08C0.18 D0.72解析：設(shè)“這粒水稻種子發(fā)芽”為事件A，“這粒水稻種子發(fā)芽又成長(zhǎng)為幼苗”為事件AB，“這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗”為事件B|A，則P(A)0.8，P(B|A)0.9，由條件概率公式，得P(AB)P(B|A)P(A)0.90.80.72.答案：D4從某地區(qū)的兒童中挑選體操學(xué)員，已知兒童體型合格的概率為，身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格的概率為，從中任挑一兒童，這兩項(xiàng)至少有一項(xiàng)合格的概率是(假定體型與身體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格與否相互之間沒(méi)有影響)()A. B.C. D.解析：設(shè)“兒童體型合格”為事件A，“身
18、體關(guān)節(jié)構(gòu)造合格”為事件B，則P(A)，P(B).又A，B相互獨(dú)立，則，也相互獨(dú)立，則P( )P()P()，故至少有一項(xiàng)合格的概率為P1P( ).答案：D5有一個(gè)數(shù)學(xué)難題，在半小時(shí)內(nèi)，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，兩人試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它，則兩人都未解決的概率為_(kāi)，問(wèn)題得到解決的概率為_(kāi)解析：甲、乙兩人都未能解決為，問(wèn)題得到解決就是至少有1 人能解決問(wèn)題P1.答案：6從編號(hào)為1,2，10的10個(gè)大小相同的球中任取4個(gè)，已知選出4號(hào)球的條件下，選出球的最大號(hào)碼為6的概率為_(kāi)解析：令事件A選出的4個(gè)球中含4號(hào)球，B選出的4個(gè)球中最大號(hào)碼為6，依題意可知n(A)C84，n(AB)C6，P(
19、B|A).答案：71號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱中隨機(jī)取出一球，問(wèn)：(1)從1號(hào)箱中取出的是紅球的條件下，從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？(2)從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？解：“最后從2號(hào)箱中取出的是紅球”為事件A，“從1號(hào)箱中取出的是紅球”為事件B.P(B)，P()1P(B)，(1)P(A|B)，(2)P(A|)，P(A)P(AB)P(A)P(A|B)P(B)P(A|)P().8一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從09中任選一個(gè)，某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢(qián)時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字求：(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過(guò)2次就按對(duì)密碼的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位數(shù)字是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)密碼的概率解：(1)設(shè)“第i次按對(duì)密碼”為事件Ai(i1,2)，則事件AA1(1A2)表示不超過(guò)2次就按對(duì)密碼因?yàn)槭录嗀1與1A2互斥，由概率加法公式，得P(A)P(A1)P(1A2).(2)用B表示“最后一位數(shù)字是偶數(shù)”這個(gè)事件，則A|BA1|B(1A2)|B.P(A|B)P(A1|B)P(1A2)|B).
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