新教材高中數(shù)學 第二章函數(shù)的單調性教學設計 北師大版必修1

《新教材高中數(shù)學 第二章函數(shù)的單調性教學設計 北師大版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新教材高中數(shù)學 第二章函數(shù)的單調性教學設計 北師大版必修1（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 （新教材）北師大版精品數(shù)學資料 高中數(shù)學 第二章《函數(shù)的單調性》教學設計 北師大版必修1 【教學目標】 【知識目標】：使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調性的概念，學會利用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調性定義判斷、證明函數(shù)單調性的方法． 【能力目標】通過對函數(shù)單調性定義的探究，滲透數(shù)形結合數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調性的證明，提高學生的推理論證能力． 【德育目標】通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程． 【教學重點】函數(shù)

2、單調性的概念、判斷及證明． 函數(shù)的單調性是學生第一次接觸用嚴格的邏輯語言證明函數(shù)的性質，并在今后解決初等函數(shù)的性質、求函數(shù)的值域、不等式及比較兩個數(shù)的大小等方面有廣泛的實際應用， 【教學難點】歸納抽象函數(shù)單調性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調性． 由于判斷或證明函數(shù)的單調性，常常要綜合運用一些知識（如不等式、因式分解、配方及數(shù)形結合的思想方法等）所以判斷或證明函數(shù)的單調性是本節(jié)課的難點. 【教材分析】函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一，它把自變量的變化方向和函數(shù)值的變化方向定性的聯(lián)系在一起，所以本節(jié)課在教材中的作用如下 （1）函數(shù)的單調性起著承前啟后的作用。一方面，初中數(shù)學

3、的許多內容在解決函數(shù)的某些問題中得到了充分運用，函數(shù)的單調性與前一節(jié)內容函數(shù)的概念和圖像知識的延續(xù)有密切的聯(lián)系；函數(shù)的單調性一節(jié)中的知識是它和后面的函數(shù)奇偶性，合稱為函數(shù)的簡單性質，是今后研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及其他函數(shù)單調性的理論基礎。 （2）函數(shù)的單調性是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的良好題材，這節(jié)課通過對具體函數(shù)圖像的歸納和抽象，概括出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的準確定義，明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個區(qū)間來說的。教材中判斷函數(shù)的增減性，既有從圖像上進行觀察的直觀方法，又有根據(jù)其定義進行邏輯推理的嚴格證明方法，最后將兩種方法統(tǒng)一起來，形成根據(jù)觀察圖像得出猜想結論，進而用推理證明猜想

4、的體系。同時還要綜合利用前面的知識解決函數(shù)單調性的一些問題，有利于學生數(shù)學能力的提高。 （3）函數(shù)的單調性有著廣泛的實際應用。在解決函數(shù)值域、定義域、不等式、比較兩數(shù)大小等具體問題中均需用到函數(shù)的單調性；同時在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質的數(shù)形結合思想將貫穿于我們整個數(shù)學教學。 因此“函數(shù)的單調性”在中學數(shù)學內容里占有十分重要的地位。它體現(xiàn)了函數(shù)的變化趨勢和變化特點，在利用函數(shù)觀點解決問題中起著十分重要的作用，為培養(yǎng)創(chuàng)新意識和實踐能力提供了重要方式和途徑。 【學情分析】 從學生的知識上看，學生已經學過一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的概念及函數(shù)的表示，能畫出一些簡單

5、函數(shù)的圖像，從圖像的直觀變化，學生能粗略的得到函數(shù)增減性的定義，所以引入函數(shù)的單調性的定義應該是順理成章的。 從學生現(xiàn)有的學習能力看，通過初中對函數(shù)的認識與實驗，學生已具備了一定的觀察事物的能力，積累了一些研究問題的經驗，在一定程度上具備了抽象、概括的能力和語言轉換能力。 從學生的心理學習心理上看，學生頭腦中雖有一些函數(shù)性質的實物實例，但并沒有上升為“概念”的水平，如何“定性”“定量”地描述函數(shù)性質是學生關注的問題，也是學習的重點問題。函數(shù)的單調性是學生從已經學習的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質，學生也容易產生共鳴，通過對比產生頓悟，渴望獲得這種學習的積極心向是學生學好本節(jié)課的情感基礎。但是

6、如何運用數(shù)學符號將自然語言的描述提升為形式化的定義，學生接受起來比較困難？在教學中要多引導，讓學生真正的理解函數(shù)單調性的定義。 【教學方法】教師是教學的主體、學生是學習的主體，通過雙主體的教學模式方法： 啟發(fā)式教學法——以設問和疑問層層引導，激發(fā)學生，啟發(fā)學生積極思考，逐步從常識走向科學，將感性認識提升到理性認識，培養(yǎng)和發(fā)展學生的抽象思維能力。 探究教學法——引導學生去疑；鼓勵學生去探； 激勵學生去思，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和批判精神。 合作學習——通過組織小組討論達到探究、歸納的目的。 【教學手段】計算機、投影儀． 【教學過程】 一、創(chuàng)設情境，引入課題（利用電腦展示） 1. 如

7、圖為某市一天內的氣溫變化圖： （1）觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在這一天內的變化情況． （2）怎樣用數(shù)學語言刻畫在這一天內“隨著時間的增大，氣溫逐漸升高或下降”這一特征？ 引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？ 預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到； (2)在某時刻的溫度；(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低. 在生活中，我們關心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律， 是很有幫助的． 問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預案：股票價格、水位變化、心電圖等等 春蘭股份線性圖

8、 ． 水位變化圖 歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變?。? 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣． 二、歸納探索，形成概念 對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數(shù)單調性的嚴格定義. 1．借助圖象，直觀感知 問題1：分別作出函數(shù)的圖象，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？（學生自己動手畫，然后電腦顯示下圖） 預案：生：函數(shù)在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數(shù)在整個定義域內 y隨x的增大而減?。? 師：函數(shù)的圖像變化規(guī)律 生：在y軸的的左

9、側y隨x的增大而減小．在y軸的的右側y隨x的增大而增大。 師：我們學過區(qū)間的表示方法，如何用區(qū)間的概念來表述圖像的變化規(guī)律 生：在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。? 師：這樣表述就比較嚴密了，很好。由上面的討論可知，函數(shù)的單調性與自變量的范圍有關，一個函數(shù)并不一定在整個正義域內是單調函數(shù)，但在定義城的某個子集上可以是單調函數(shù)。 (3)函數(shù)的圖像變化規(guī)律如何。 生:（1）定義域中的減函數(shù)。 （2）在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。? 師：對于兩種答案，哪一種是正確的，為什么？學生分組討論。從定義域，圖像的角度考慮，也可以舉反例 引導學生進行分類描述 (

10、增函數(shù)、減函數(shù))．并引導學生用區(qū)間明確描述函數(shù)的單調性從而讓學生明確函數(shù)的單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質． 問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預案：如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)． 教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調性的直觀，描述性的認識． 〖設計意圖〗從圖象直觀感知函數(shù)單調性，完成對函數(shù)單調性的第一次認識． 2．探究規(guī)律，理性認識 問題1：下圖是函數(shù)的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)

11、和減函數(shù)嗎？（電腦顯示，學生分組討論） 學生的困難是難以確定分界點的確切位置． 通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究． 〖設計意圖〗使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明在為增函數(shù)？ 預案： 生： 在給定區(qū)間內取兩個數(shù)，例如1和2，因為12<22,所以在為增函數(shù)． 生：僅僅兩個數(shù)的大小關系不能說明函數(shù)y=x2在區(qū)間[0，+∞）上為單調遞增函數(shù)，應該舉出無數(shù)個。 由于很多學生不能分清“無數(shù)”和“所有”的區(qū)別，所以許多學生對學生2的說法表示贊同。

12、生：函數(shù))無數(shù)個如（2）中的實數(shù)，顯然f(x)也隨x的增大而增大，是不是也可以說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)？可這與圖象矛盾??？ 師：“無數(shù)個”能不能代表“所有”呢？比如：2、3、4、5……有無數(shù)個自然數(shù)都比大，那我們能不能說所有的自然數(shù)都比大呢？所以具體值取得再多，也不能代表所有的，思考如何體現(xiàn)區(qū)間上的所有值。引導學生利用字母表示數(shù)。 生：任取且,因為,即，所以在為增函數(shù)． 舊教材的定義在這里就可以歸納出來，但是人教B版新教材使用了自變量的增量和函數(shù)值的增量來表述，并為以后學習利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性做準備，所以需進一步引導學生利用增量來定義函數(shù)的單調性。 （5）仿（4）且，由圖象可知，即

13、給自變量一個增量,，函數(shù)值的增量 所以在為增函數(shù)。 對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區(qū)間內任意取兩個自變量進一步尋求自變量的增量與函數(shù)值的增量之間的變化規(guī)律，判斷函數(shù)單調性。注意這里的“都有”是對應于“任意”的。 〖設計意圖〗把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊. 3．抽象思維，形成概念 問題：你能用準確的數(shù)學符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎? 師生共同探究，得出增函數(shù)嚴格的定義，然后學生類比得出減函數(shù)的定義．

14、 (1)板書定義 設函數(shù)的定義域為A，區(qū)間MA，如果取區(qū)間M中的任意兩個值,當改變量時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間M上是增函數(shù)，如圖（1）當改變量時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間M上是減函數(shù)，如圖（2） (2)鞏固概念（以下問題老師提問后，學生適當討論后回答） 師：根據(jù)函數(shù)的單調性的定義思考：由f(x)是增(減)函數(shù)且f(x1)<f(x2)能否推出x1<x2(x1>x2)， 生：能。因為定義中區(qū)間M中的任意兩個值若，都有。 師：我們來比較一下增函數(shù)與減函數(shù)定義中的符號規(guī)律，你有什么發(fā)現(xiàn)沒有？ 生：增函數(shù)都為正，減函數(shù)一正一負。 師：如果將增函數(shù)中的“當時，都有”

15、改為當時，都有結論是否一樣呢？ 生：一樣 師：減函數(shù)的定義是否也可以進行這樣修改？ 生：可以。 師：根據(jù)剛才的分析，你們有沒有發(fā)現(xiàn)自變量的差量與函數(shù)值的差量之間的關系？ 生：自變量的差量與相應的函數(shù)值的差量如果保持同號就可以說明其是單調遞增函數(shù)，如果是異號則是單調遞減函數(shù)。 師：那你們能否將定義修改地更為簡潔呢？ 生：如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1,x2,若即，則函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，若即，則函數(shù)y=f(x)為減函數(shù)。 師：很好，事實上的符號決定了函數(shù)f(x)的單調性，我們不僅要能從圖象上直觀判斷函數(shù)的單調性，更應該要從單調性的本質上來理解這個概念。能用

16、這種表達形式來描述函數(shù)單調性，說明大家對單調性概念的理解還是比較非常深刻的。 【設計意圖】這一階段教師領導學生對函數(shù)單調性的概念進行了剖析，帶領學生深入定義的表達形式，探索概念的本質。實現(xiàn)學生將概念從具體的圖形表達形式化到一般的數(shù)學表達形式，實現(xiàn)了從具體到抽象的轉化。事實上，這一階段是對函數(shù)單調性的概念進行了第四次歸納——由數(shù)學符號敘述抽象到了形式化 判斷題： ①已知因為，所以函數(shù)是增函數(shù)． ②若函數(shù)滿足則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)． ③若函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)． ④因為函數(shù)在區(qū)間上都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù). ⑤觀察問題情境1中氣溫變化圖像，根據(jù)圖像說出函

17、數(shù)的單調區(qū)間及其單調性。 通過判斷題，強調三點： ①單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調性． ②對于某個具體函數(shù)的單調區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(如常函數(shù))． ③單調性是對定義域的某個區(qū)間上的整體性質，不能用特殊值說明問題。 ④函數(shù)在定義域內的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．如圖所示 o o x y O 思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調函數(shù)? 說明：要說明一個命題是正確的，必須給出完整的證明。說明一個命題是錯誤的

18、，只需舉一個反例即可。 〖設計意圖〗讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識. 三、掌握證法，適當延展 例 證明函數(shù)在（0，+）是減函數(shù)． 1．分析解決問題 針對學生可能出現(xiàn)的問題，組織學生討論、交流． 證明：任取且, 設元 求差 變形 斷號 ∴函數(shù)函數(shù)在（0，+）是減函數(shù)．

19、 定論 思考：如何證明在（-上的單調性。 2．歸納解題步驟 引導學生歸納證明函數(shù)單調性的步驟：設元、作差、變形（因式分解、配方、不等式等）斷號、定論． 練習：證明函數(shù)在上是增函數(shù)． 問題：要證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，除了用定義來證，可以讓學生嘗試用這種等價形式---對任意的，且有，證明函數(shù)在上是增函數(shù)． 〖設計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調性的方法和步驟．等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法，為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調性埋下伏筆． 四、歸納小結，提高認識 學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結 (1) 概

20、念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 證明方法和步驟：求函數(shù)的定義域，設元、作差、變形、斷號、定論． (3) 數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結合，等價轉化，類比等． 2．作業(yè) 書面作業(yè)：課本第50頁練習B 3,課本第56頁  習題2.1 A第6題． 課后探究： (1) 函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比叫做函數(shù)從到之間的平均變化率。研究一個函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)時，能否根據(jù)函數(shù)的平均變化率，即比值的符號來判斷函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？比值的大小與函數(shù)值增大的快慢有什么關系？ (2) 研究函數(shù)的單調性，并結合描點法畫出函

21、數(shù)的草圖． 教學反思 1、新課標明確指出：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，不僅把函數(shù)看成是變量之間的依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數(shù)，函數(shù)的思想將貫穿高中數(shù)學課程的始終《函數(shù)的單調性》的課標教學要求，從結合實際問題出發(fā)，，讓學生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會函數(shù)在數(shù)學和其他學科中的重要性，初步運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活和社會中的間斷問題。數(shù)學新課標還提到：要注重提高學生的數(shù)學思維能力，即“在學生學習數(shù)學運用數(shù)學解決問題時，應經歷直觀感知，觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構等思維過程”。所以在本節(jié)課的

22、教學設計中在分析學生的認知發(fā)展水平和已有的只是經驗的基礎上，讓學生通過觀察函數(shù)圖像的變化規(guī)律，然后歸納猜測，勇于實踐探究式的教學方法，取得了較好的教學成果。 2、函數(shù)的單調性是函數(shù)的一個重要性質 在理解函數(shù)單調性的定義時，值得注意下列三點： (1)單調性是與“區(qū)間”緊密相關的概念，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調性. 在討論函數(shù)的單調性時，特別要注意,若f(x)在區(qū)間D1，D2上分別是增函數(shù)，但f(x)不一定在區(qū)間D1∪D2上是增函數(shù)，例如：函數(shù)f(x)=在(－∞,－1)上是增函數(shù)，在(－1，+∞)上也是增函數(shù)，但在(－∞,－1)∪(－1,+∞)上不是增函數(shù)，f(1)<f

23、(－3)便是一例. (2)單調性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質，因此定義中的x1,x2具有任意性，不能用特殊性替代. (3)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)且f(x1)<f(x2)x1<x2(x1>x2)，這說明單調性使得自變量間的不等關系和函數(shù)值之間的不等關系可以“正逆互推”. 2.判斷函數(shù)的單調性或單調區(qū)間時，可以結合函數(shù)的圖象升降進行判定，對于一般函數(shù)需用增、減函數(shù)定義加以證明，用定義的證明函數(shù)的單調性學生還存在問題較多。 3.一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及y=x+ (a>0)型的函數(shù)的單調性和單調區(qū)間要記熟，把它們作為性質，

24、可應用到一般函數(shù)單調性的判斷上. 4.由于時間的限制，這節(jié)課對二次函數(shù)單調性的討論及應用進行的并不充分，下節(jié)課對于函數(shù)的單調性的定義的可逆性，已知二次函數(shù)在某個區(qū)間的增減性，求參數(shù)的取值等問題還需進一步探討。 《函數(shù)的單調性》教學設計說明 一、教學內容的分析 函數(shù)的單調性是學生在了解函數(shù)概念后學習的函數(shù)的第一個性質，是函數(shù)學習中第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數(shù)其它性質提供了方法依據(jù)． 對于函數(shù)單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是

25、學生在函數(shù)內容中首次接觸到的代數(shù)論證內容，而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點． 二、教學目標的確定 根據(jù)本課教材的特點、教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數(shù)單調性的方法的落實以及數(shù)形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的 培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成． 三、教學方法和教學手段的選擇 本節(jié)課是函數(shù)單調性的起始課，采用教師啟發(fā)講授，學生探究學習的教學方法，通過創(chuàng)設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念

26、，獲得方法．本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學，目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識． 四、教學過程的設計 為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：  （1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入． （2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數(shù)單調性的方法和步驟． （3）考慮到有些學生數(shù)學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當?shù)难诱?，加深對定義的理解，同時也為用導數(shù)研究單調性埋下伏筆。