新教材高中數學 第1章 4簡單計數問題課時作業(yè) 北師大版選修23

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1、 （新教材）北師大版精品數學資料 【成才之路】高中數學 第1章 4簡單計數問題課時作業(yè) 北師大版選修2-3 一、選擇題 1．4位同學參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一道作答，選甲答對得100分，答錯得－100分；選乙答對得90分，答錯得－90分．若4位同學的總分為0，則這4位同學不同得分情況的種數是(　　) A．48種 B．36種 C．24種 D．18種 [答案]　B [解析]　本題是考查排列組合及相關分類的問題． ①設4人中兩人答甲題，兩人答乙題，且各題有1人答錯，則有A＝24(種)． ②設4人都答甲題或都答乙題，且兩人答對，兩人答錯

2、，則有2CC＝12(種)． ∴4位同學得總分為0分的不同情況有 24＋12＝36(種)．故選B. 2．將5個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有(　　) A．15種 B．20種 C．25種 D．32種 [答案]　C [解析]　就編號為1的盒子中所放的球的個數分類：第一類，當編號為1的盒子中放入一個球時，相應的放法數有C種；第二類，當編號為1的盒中放入2個球時，相應的放法數有C＝10種；第三類，當編號為1的盒子中放入3個球時，相應的放法數有C＝10種．根據分類加法計數原理可知，滿足題意的放法種數是5＋1

3、0＋10＝25. 3．(2014秦安縣西川中學高二期中)某城市的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數字組成，其中4個數字互不相同英文字母可以相同的牌照號碼共有(　　) A．(C)2A個 B．AA個 C．(C)2104個 D．A104個 [答案]　A [解析]　∵前兩位英文字母可以重復，∴有(C)2種排法，又∵后四位數字互不相同，∴有A種排法，由分步乘法計數原理知，共有不同牌照號碼(C)2A個． 4．甲、乙、丙、丁四名同學在一次聯(lián)歡會上合唱一首歌曲，他們商議：前四句歌詞每人唱一句，其中甲和乙唱相鄰的兩句且甲不能唱第一句，第五句歌詞由兩人合唱，第六句歌詞由另外兩人合唱，歌曲的余下部分由

4、四人合唱，則四人唱完這首歌曲的不同唱法的種數是(　　) A．24 B．36 C．48 D．60 [答案]　D [解析]　由題意，對甲的前4句唱哪句進行分類：①甲唱第2句：CA；②甲唱第3句：CA；③甲唱第4句：CA；共有CA＋CA＋CA＝10種唱法．然后第5句有C種唱法，第6句有C種唱法，故共有10CC＝60種唱法． 5．有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位．現安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是(　　) A．234　 B．346　 C．350　 D．363 [答案]　B [解析]　∵前排中間3個座位不能坐， ∴實際可

5、坐的位置前排8個，后排12個． (1)兩人一個前排，一個后排，排法數為CCA； (2)兩人均在后排，共A種，需排除兩個相鄰的情況：AA，即A－AA； (3)兩人均在前排，又分兩類：①兩人一左一右，為CCA，②兩人同左或同右時，有2(A－AA)種． 綜上，不同排法的種數為CCA＋(A－AA)＋CCA＋2(A－AA)＝346. 二、填空題 6．將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會的三個不同場館服務，不同的分配方案有________種(用數字作答) [答案]　90種 [解析]　本題考查了排列組合中的平均分組分配問題，先分組，再把三組分配乘以A得：A＝90種．

6、 7．將數字1、2、3、4、5、6排成一列，記第i個數為ai(i＝1,2，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1

7、條直線中，異面直線共有________對(用數字作答)． [解析]　方法一：第一步：從6條側棱中任取一條，有C種方法． 第二步：從與該側棱不相交的4條底邊中任取一條，有C種方法． 根據乘法原理，異面直線有CC＝24種． 方法二：從12條直線中任取2條組成C對直線，求其中異面直線的對數，只需從中減去2條直線共面的情況． 2條直線共面的情況有三類： 第一類：任取2條側棱所在的直線，顯然是共面的，有C種取法． 第二類：任取1條側棱所在的直線，再取與它有交點的底邊所在直線，有62種取法． 第三類：任取2條底邊所在的直線，顯然是共面的，有C種取法． 所以異面直線共有C－C－62－C＝2

8、4對． 三、解答題 9．男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1人，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)男3名，女2名； (2)隊長至少有1人參加； (3)至少有1名女運動員； (4)既要有隊長，又要有女運動員． [分析]　此題中選的5人與順序無關，是組合問題． [解析]　(1)CC＝120種不同的選派方法． (2)分為兩類：僅1名隊長參加和兩人都參加： 共CC＋C＝196種不同的選派方法． (3)全部選法中排除無女運動員的情況： 共C－C＝246種不同的選法． (4)分三類：①僅女隊長：C； ②僅男隊長：C－C； ③兩名隊長：C；

9、∴共C＋C－C＋C＝191種不同的選派方法． [反思總結]　本題涉及所取元素“至少”問題，一般有兩種考慮方法：直接法：“至少”中包含分類，間接法就是從總數中去掉“至少”之外的情況，“至多”也可這樣考慮． 10.某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2,3張為不同花色的A，他有5次出牌機會，每次只能出一種點數的牌，但張數不限，此人有多少種不同的出牌方法？ [解析]　出牌的方法可分為以下幾類： (1)5張牌全部開出，有A種方法； (2)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法； (3)2張2一起出，3張A分開出，有A種方法； (4)2張2一起出，3張A分兩次出，有CA種方法； (

10、5)2張2分開出，3張A一起出，有A種方法； (6)2張2分開出，3張A分兩次出，有CA種方法． 因此共有不同的出牌方法A＋A＋A＋CA＋A＋CA＝860種． [反思總結]　全面細致地分類是解決本題的關鍵．若按出牌次數分類，方法數為A＋(1＋C)A＋(1＋C)A＋A＝860種． 一、選擇題 1．某旅游團組織的旅游路線有省內和省外兩種，且省內路線有4條，省外路線有5條，則參加該旅游團的游客的旅游方案有(　　) A．4種　 B．5種　 C．9種　 D．20種 [答案]　C [解析]　游客的旅游方案分為兩類：第一類：選省內路線，有4種方法．第二類：選省外路線，有5種方法．由加法

11、原理可知，游客的旅游方案有4＋5＝9種． 2．(2014重慶理，9)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數是(　　) A．72　 B．120　 C．144　 D．168 [答案]　B [解析]　分兩類：(1)先排歌舞類有A ＝6種排法，再將其余的三個節(jié)目插空，如圖所示▼▽▼▽▼▽，或者▽▼▽▼▽▼，此時有2AA ＝72；(2)先排歌舞類有A＝6種排法，其余的兩個小品與歌舞排法如圖▼▽△▼▽▼，或者▼▽▼▽△▼，有4AC ＝48.所以共有72＋48＝120種不同的排法．解決不相鄰的排列問題，一般是運用插空法，解決本題容易忽略

12、了第二類，導致出差． 3．現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數為(　　) A．232　 B．252　 C．472　 D．484 [答案]　C [解析]　本題考查了利用組合知識來解決實際問題． C－4C－CC＝－16－72＝560－88＝472. 另解：CC－3C＋CC＝－12＋4＝220＋264－12＝472. 解題時要注意直接求解與反面求解相結合，做到不漏不重 4.如圖A，B，C，D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方案共有(　　) A

13、．8種 B．12種 C．16種 D．20種 [答案]　C [解析]　如圖，構造三棱錐A－BCD；四個頂點表示四個小島，六條棱表示連接任意兩島的橋梁．由題意，只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法．這可由間接法完成：從六條棱中任取三條棱的不同取法有C種，任取三條共面棱的不同取法有4種，所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法有C－4＝16種．故不同的建橋方案共有16種． [反思總結]　此例通過構造幾何圖形使組合問題借助于幾何圖形展現出來也蘊函著轉化思想． 二、填空題 5．有4張分別標有數字1、2、3、4的紅色卡片和4張分別標有數字1、2、3、4的藍色卡片，從這8張卡片中

14、取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標數字之和等于10，則不同的排法共有________種(用數字作答)． [答案]　432 [解析]　因為10＝1＋2＋3＋4＝2＋2＋3＋3＝1＋1＋4＋4，即數字之和為10的情況有4,4,1,1；4,3,2,1；3,3,2,2，共三種． 若為1,2,3,4，先選出標有數字的卡片，有2222種可能，然后再排列它們，每一種可能有A種排法，根據乘法原理，滿足題意的排法有2222A＝384種； 若為2,2,3,3，先選出標有數字的卡片，方法是唯一的，再排列它們有A種排法； 若為1,4,1,4也有A種排法． 所以共有384＋A＋A＝432種不同的排

15、法． 6．今有2個紅球、3個黃球、4個白球，若同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列共有________種不同的方法(用數字作答)． [答案]　1260 [解析]　方法一：只需找到不同顏色的球所在的位置即可，共有CCC＝1260種方法． 方法二：同色球不加以區(qū)分(即屬相同元素排列的消序問題)，先全排列，再消去各自的順序即可，則將這9個球排成一列共有＝1260種不同的方法． 三、解答題 7．有四個不同的數字1、4、5、x(x≠0)組成沒有重復數字的所有的四位數的各位數字之和為288，求x的值． [解析]　因為1、4、5、x四個數字不同，排成的四位數中1在千位上、百位上、十位上、個位上

16、分別有A個，所有的1的和共為4A＝24. 同理，排成的四位數中4在千位上、百位上、十位上、個位上分別有A個，所以，所有的4的和共為44A＝96. 所有的5的和共為54A＝120. 所有的x的和為x4A＝24x. 即24x＋120＋96＋24＝288，解得：x＝2. 8.“抗震救災，眾志成城”在舟曲的救災中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調6名奔赴災區(qū)救災，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問： (1)抽調的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調方法有多少種？ (2)至少有2名外科專家的抽調方法有多少種？ (3)至多有2名外科專家的抽調方法有多少種？ [解析]　(1)分步：首先從

17、4名外科專家中任選2名，有C種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有C種選法， 所以共有CC＝90種抽調方法． (2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法， 方法一(直接法)：按選取的外科專家的人數分類： ①選2名外科專家， 共有CC種選法； ②選3名外科專家，共有CC種選法； ③選4名外科專家，共有CC種選法； 根據分類加法計數原理，共有 CC＋CC＋CC＝185種抽調方法． 方法二(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有C種選法，考慮選取1名外科專家參加，有CC種選法；沒有外科專家參加，有C種選法，所以共有： C－CC－C＝185種抽調方法． (3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”、“有2名”三種情況，分類解答． ①沒有外科專家參加，有C種選法； ②有1名外科專家參加，有CC種選法； ③有2名外科專家參加，有CC種選法． 所以共有C＋CC＋CC＝115種抽調方法．