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1、2019版數學精品資料(北師大版)
導數的創(chuàng)新應用
有好多數學問題,利用函數導數求解,可以使得有些數學問題得到簡化.下面選解幾例.
一、求數列的n項和
例1 已知x≠0,x≠-1,求數列1,2x,3x,…,nx,…的前n項和.
分析:根據題特點,可構造等式1 + x + x+ x+ … + x=,求導即可.
解:當x≠0,x≠-1時,1 + x + x+ x+ … + x=,兩邊都是關于x的函數,求導得:
1+ 2x + 3x+ …+ nx==.
評注:這樣的問題可以通過錯位相加(減)求和,但運用導數運算更加簡明.
二、求組合數的和
例2 求和:C+ 2
2、C+ 3C+ … + nC.
分析:根據題特點,可構造等式(1 + x)= 1 + Cx + Cx+ Cx+ … + Cx,求導即可.
解:由二項展開式,得:兩邊求導,得:
n(1 + x)= C+ 2Cx + 3Cx+ … + nCx .
令上式x = 1,得:C+ 2C+ 3C+ … + nC= n·2.
評注::利用組合數的性質或構造概率模型都可以求解,但運算量都比求導麻煩.
三、證明不等式
例3 證明:.
分析:構造函數,求導,再用單調性即可解決.
證明:構造,則.
該二次式的判別式,
,
是上的增函數.
,,而,
.
評注:本題并沒有千篇一
3、律的將不等式右邊也納入到所構造函數中,而是具體問題具體分析,考慮三角函數的有界性,用架橋鋪路,使問題得解.
四、方程根的問題
例4求證方程xlgx=1在區(qū)間(2,3)有且僅有一個實根.
分析:可構造函數,利用導數法解決.
解:設y=f(x)=xlgx-1,∴y′=lgx+lge=lgex ,
當x∈(2,3)時,y′>0,∴f(x)在(2,3)上為增函數,
又f(2)=2lg2-1=lg0.4<0,f(3)=3lg3-1=lg2.7>0,
∴在(2,3)內xlgx-1=0有且僅有一個實根.
評注:本題是通過構造函數f(x)=xlgx-1,利用導數判斷函數f(x)在區(qū)間(2,3)上的單調性及函數f(x)在兩個端點的值的符號進行求解的.一般地,如果函數在區(qū)間(a,b)上具有單調性,那么,當f(a)f(b)<0時,方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)有唯一解;當f(a)f(b)>0時,方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)無實數解.