精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修21：第2章 單元綜合檢測2 Word版含解析

精編北師大版數(shù)學(xué)資料第二章單元綜合檢測(二)(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1在長方體ABCDA1B1C1D1中，等于()A BC D解析：.答案：A2若向量a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量c在直線l上，則ca0且bc0是l的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：用向量的數(shù)量積考查線線垂直與線面垂直當(dāng)ab時(shí)，由ca0且cb0得不出l；反之，由l一定有ca0且cb0，故選B.答案：B32014山東省濟(jì)寧市質(zhì)檢已知向量a(2，3,5)與b(4，x，y)平行，則x，y的值分別為()A6和10 B6和10C6和10 D6和10解析：本題主要考查空間兩向量平行的坐標(biāo)表示因?yàn)橄蛄縜(2，3,5)與b(4，x，y)平行，所以，解得x6，y10，故選B.答案：B42014四川省成都七中期末考試已知直線l過點(diǎn)P(1,0，1)，平行于向量a(2,1,1)，平面過直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面的法向量不可能是()A(1，4,2) B(，1，)C(，1，) D(0，1,1)解析：本題主要考查平面的法向量因?yàn)?0,2,4)，直線l平行于向量a，若n是平面的法向量，則必須滿足，把選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只有選項(xiàng)D不滿足，故選D.答案：D5已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，則向量ab與ab的夾角是()A90 B60C30 D0解析：因?yàn)閨a|b|，所以(ab)(ab)a2b2|a|2|b|20，則(ab)(ab)答案：A6如右圖所示，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：0；0；0；0，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4解析：因?yàn)?，所以正確；又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正確，其余三個(gè)都不正確答案：B7空間四邊形ABCD的各邊及對(duì)角線長均為1，E是BC的中點(diǎn)，則()A<BC>D與不能比較大小解析：如右圖，易證AEBC，故0，取BD中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EFCD.在AEF中，AEAF，EF，得AEF是銳角，所以，是鈍角，即，是鈍角，所以<0，故選C.答案：C8在長方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是棱BB1、B1C1的中點(diǎn)，若CMN90，則異面直線AD1與DM所成的角為()A30 B45C60 D90解析：建立如圖所示坐標(biāo)系設(shè)ABa，ADb，AA1c，則A1(b,0,0)，A(b,0，c)，C1(0，a,0)，C(0，a，c)，B1(b，a,0)，D(0,0，c)，N，M.CMN90，b2c20，cb.(b，0，b)b2b20，AD1DM，即異面直線AD1與DM所成的角為90.答案：D92014陜西省高新一中期末考試如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體ABCDA1B1C1D1，AB1，BC2，AA13，則點(diǎn)B到直線A1C的距離為()A BC D1解析：本題主要考查空間點(diǎn)到直線的距離過點(diǎn)B作BE垂直A1C，垂足為E，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，y，z)，則A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，(1,2，3)，(x，y，z3)，(x1，y，z)因?yàn)?，所以，解得，所?，)，所以點(diǎn)B到直線A1C的距離|，故選B.答案：B102014安徽省合肥一中月考設(shè)OABC是四面體，G1是ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG3GG1，若xyz，則(x，y，z)為()A(，)B(，)C(，)D(，)解析：本題主要考查空間向量的基本定理因?yàn)镚1是ABC的重心，所以()()(2)，因G是OG1上的一點(diǎn)，且OG3GG1，所以()(2)(2)，所以xyz，故選A.答案：A11在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A BC D解析：以A為原點(diǎn)建系，設(shè)棱長為1.則A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，(0,1，1)，(1,0，)設(shè)平面A1ED的法向量為n1(1，y，z)，則n1(1,2,2)，平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)cosn1，n2.即所成的銳二面角的余弦值為.答案：B12如右圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD.則下列結(jié)論中不正確的是()AACSBBAB平面SCDCSA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角DAB與SC所成的角等于DC與SA所成的角解析：四邊形ABCD是正方形，ACBD.又SD底面ABCD，SDAC.其中SDBDD，AC面SDB，從而ACSB.故A正確；易知B正確；設(shè)AC與DB交于O點(diǎn)，連接SO.則SA與平面SBD所成的角為ASO，SC與平面SBD所成的角為CSO，又OAOC，SASC，ASOCSO.故C正確；由排除法可知選D.答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)132014清華附中月考在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(1，2,3)、B(2,1，1)，若直線AB交平面xOz于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_解析：本題主要考查空間直角坐標(biāo)系中，直線與平面相交的交點(diǎn)坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識(shí)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0，z)，則(x1,2，z3)，(1,3，4)，因?yàn)榕c共線，所以，解得，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，0，)答案：(，0，)142014湖南省長沙一中期末考試如圖，在三棱錐ABCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DBDC，E為BC中點(diǎn)，則等于_解析：本題主要考查求空間兩向量的數(shù)量積因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以()，因?yàn)樵谌忮FABCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DBDC，所以()()()0.答案：015如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA15，BAD90，BAA1DAA160，則對(duì)角線AC1的長度等于_解析：()222222216925243cos90245cos60235cos6050201585，|.答案：16正四棱錐SABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成的角是_解析：如右圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，則(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n(0,1,1)，則cos，n，n60，直線BC與平面PAC所成的角為906030.答案：30三、解答題(本大題共6小題，共70分)17(10分)如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，CM2MA，A1N2ND，且a，b，c，試用a，b，c表示向量.解：()()abc，abc.18(12分)已知e1，e2，e3為空間的一個(gè)基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判斷P，A，B，C四點(diǎn)是否共面；(2)能否以，作為空間的一個(gè)基底？若不能，說明理由；若能，試以這一基底表示向量.解：(1)假設(shè)四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，z使xyz，且xyz1.即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)，得一關(guān)于x，y，z的方程組解得與xyz1矛盾，故四點(diǎn)不共面；(2)若向量，共面，則存在實(shí)數(shù)m，n使mn，同(1)可證，這不可能，因此，可以作為空間的一個(gè)基底，令a，b，c，由e12e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c聯(lián)立得到方程組：從中解得所以17530.19. (12分)2014陜西高考四面體ABCD及其三視圖如圖所示，過棱AB的中點(diǎn)E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點(diǎn)F，G，H.(1)證明：四邊形EFGH是矩形；(2)求直線AB與平面EFGH夾角的正弦值解：(1)證明：由該四面體的三視圖可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.由題設(shè)，BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，F(xiàn)GEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四邊形EFGH是平行四邊形又ADDC，ADBD，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四邊形EFGH是矩形(2)法一：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)設(shè)平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，F(xiàn)GBC，n0，n0，得取n(1,1,0)，sin|cos，n|.法二：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別為BD，DC的中點(diǎn)，得E，F(xiàn)(1,0,0)，G(0,1,0)，(1,1,0)，(2,0,1)設(shè)平面EFGH的法向量n(x，y，z)，則n0，n0，得取n(1,1,0)，sin|cos，n|.20(12分)如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱DS上的點(diǎn)(1)求證：ACSD；(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大??；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，試說明理由解：(1)證明：連接BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，由題意知SO平面ABCD，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)底面邊長為a，則高SOa.于是S(0,0，a)，D(a,0,0)，C(0，a,0)，B(a,0,0)，(0，a,0)，(a,0，a)，0.故OCSD，因此ACSD.(2)由題意知，平面PAC的一個(gè)法向量(a,0，a)，平面DAC的一個(gè)法向量(0,0，a)，設(shè)所求二面角為，則cos，故所求二面角PACD的大小為30.(3)在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE平面PAC.由(2)知是平面PAC的一個(gè)法向量，且(a,0，a)，(0，a，a)，(a，a,0)，設(shè)t，則t(a，a(1t)，at)由0，得t，即當(dāng)SEEC21時(shí)，.而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE平面PAC.21(12分)如右圖所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCDABCD的對(duì)角線BD上，PDA60.(1)求DP與CC所成角的大?。?2)求DP與平面AADD所成角的大小解：(1)如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1.則(1,0,0)，(0,0,1)連接BD，BD.在平面BBDD中，延長DP交BD于H.設(shè)(m，m,1)(m>0)，由已知，60 ，由|cos，可得2m.解得m，所以(，1)因?yàn)閏os，所以，45，即DP與CC所成的角為45.(2)平面AADD的一個(gè)法向量是(0,1,0)，因?yàn)閏os，所以，60，可得DP與平面AADD所成的角為30.22(12分)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.(1)求證：平面PAB平面PAD；(2)設(shè)ABAP.若直線PB與平面PCD所成的角為30，求線段AB的長；在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說明理由解：(1)證明：因?yàn)镻A平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系(如右圖)在平面ABCD內(nèi)，作CEAB交AD于點(diǎn)E，則CEAD.在RtCDE中，DECDcos451.CECDsin451.設(shè)ABAPt，則B(t,0,0)，P(0,0，t)由ABAD4，得AD4t.所以E(0,3t,0)，C(1,3t，0)，D(0,4t,0)，(1,1,0)，(0，4t，t)設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)，由n，n，得取xt，得平面PCD的一個(gè)法向量n(t，t,4t)又(t,0，t)，故由直線PB與平面PCD所成的角為30得cos60|，即，解得t或t4(舍去，因?yàn)锳D4t>0)，所以AB.假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等設(shè)G(0，m,0)(其中0m4t)則(1,3tm,0)，(0,4tm,0)，(0，m，t)由|得12(3tm)2(4tm)2，即t3m；(1)由|得(4tm)2m2t2.(2)由(1)、(2)消去t，化簡得m23m40.(3)由于方程(3)沒有實(shí)數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，C，D的距離都相等從而，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等