第7篇 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

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1、第七篇　第5節(jié) 一、選擇題 1. (2014云南玉溪三模)設(shè)m，n是空間兩條直線，α，β是空間兩個平面，則下列選項中不正確的是(　　) A．當(dāng)n⊥α?xí)r，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要條件 B．當(dāng)m?α?xí)r，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件 C．當(dāng)m?α?xí)r，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分條件 D．當(dāng)m?α?xí)r，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件 解析：與同一條直線垂直的兩個平面平行，反之，當(dāng)兩個平行平面中有一個與一條直線垂直時，另一個也與這條直線垂直，選項A正確；根據(jù)平面與平面垂直的判定定理，選項B正確；當(dāng)m?α，m∥n時，n∥α或n?α，反之，m?α，n∥α?xí)r

2、，也不能推出m∥n，選項C不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)選項D正確． 答案：C 2．設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的(　　) A．充分不必要條件　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當(dāng)l⊥α?xí)r，l⊥m且l⊥n. 但當(dāng)l⊥m，l⊥n時，若m、n不是相交直線，則得不到l⊥α. 即l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要條件．故選A. 答案：A 3. (2013年高考廣東卷)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題正確的是(　　) A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B．若α∥β，m?

3、α，n?β，則m∥n C．m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β 解析：選項A中，在兩個平面互相垂直時，分別位于兩個平面內(nèi)的直線位置關(guān)系不確定；選項B中，分別位于兩個平行平面內(nèi)的直線，只是不能相交，它們可能平行、也可能異面；選項C中，分別位于兩個平面內(nèi)的直線互相垂直時，兩個平面的位置關(guān)系是不確定的；選項D中，若m⊥α，m∥n，可得n⊥α，當(dāng)n∥β時，一定有α⊥β. 答案：D 4. (2014山東萊蕪4月模擬)設(shè)m、n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題： (1)?β∥γ (2)?m⊥β (3)?α⊥β (4)?m∥α，其中正確

4、的是(　　) A．(1)(2)　　 B．(1)(3) C．(2)(3) D．(2)(4) 解析：根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，(1)正確，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知(3)正確，所以選B. 答案：B 5．如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90.將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD，則在三棱錐ABCD中，下列結(jié)論正確的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 解析：∵在四邊形ABCD中， AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，

5、∠BAD＝90， ∴BD⊥CD. 又平面ABD⊥平面BCD， 且平面ABD∩平面BCD＝BD， 故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB. 又AD⊥AB，AD∩CD＝D， 故AB⊥平面ADC. 又AB?平面ABC， ∴平面ABC⊥平面ADC.故選D. 答案：D 6．把等腰直角△ABC沿斜邊上的高AD折成直二面角BADC，則BD與平面ABC所成角的正切值為(　　) A． B． C．1 D． 解析：如圖所示，在平面ADC中，過D作DE⊥AC，交AC于點E，連接BE，因為二面角BADC為直二面角，BD⊥AD，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，又DE∩BD＝D，因此AC⊥平面B

6、DE，又AC?平面ABC，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD與平面ABC所成的角， 在Rt△DBE中，易求tan ∠DBE＝，故選B. 答案：B 二、填空題 7．如圖所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________． 解析：由PA⊥平面ABC， 得PA⊥AB，PA⊥AC. 故△PAB、△PAC都是直角三角形． 由BC⊥AC，得BC⊥PC， 故△BPC是直角三角形． 又△ABC顯然是直角三角形， 故直角三角形的個數(shù)為4. 答案：4 8. (2014廣東惠州4月模擬)已知集合A、B、C，A＝{直線}，B＝{平面}，C＝A

7、∪B. 若a∈A，b∈B，c∈C，給出下列四個命題： ①?a∥c，②?a∥c，③?a⊥c ④?a⊥c，其中所有正確命題的序號是________． 解析：由題意知：C可以是直線，也可以是平面，當(dāng)C表示平面時，①②③都不對，故選④正確． 答案：④ 9. (2014陜西西安聯(lián)考)四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，頂點在底面上的射影是底面正方形的中心，一個對角面的面積是一個側(cè)面面積的倍，則側(cè)面與底面所成銳二面角等于________． 解析：如圖所示，根據(jù)＝，得＝，即為側(cè)面與底面所成銳二面角的正弦值，故側(cè)面與底面所成銳二面角為. 答案： 10. 在空間中，有如下命題： ①

8、互相平行的兩條直線在同一個平面內(nèi)的射影必然是互相平行的兩條直線； ②若平面α∥平面β，則平面α內(nèi)任意一條直線m∥平面β； ③若平面α與平面β的交線為m，平面α內(nèi)的直線n⊥直線m，則直線n⊥平面β； ④若平面α內(nèi)的三點A, B, C到平面β的距離相等，則α∥β. 其中正確命題的個數(shù)為________． 解析：①可能重合不正確；根據(jù)兩個平面平行的性質(zhì)，②正確；根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理，③不正確；A，B，C可能在平面β兩側(cè)，平面α與平面β相交，即④不正確． 答案：1 三、解答題 11. (2013年高考安徽卷)如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60.已

9、知PB＝PD＝2，PA＝. (1)證明：PC⊥BD， (2)若E為PA的中點，求三棱錐PBCE的體積． 解：(1)連接AC，交BD于點O，連接PO. 因為底面ABCD是菱形， 所以AC⊥BD，BO＝DO. 由PB＝PD知，PO⊥BD. 再由PO∩AC＝O知，BD⊥平面APC，因此BD⊥PC. (2)因為E是PA的中點， 所以VPBCE＝VCPEB＝VCPAB＝VBAPC. 由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD. 因為∠BAD＝60， 所以PO＝AO＝，AC＝2，BO＝1. 又PA＝，所以PO2＋AO2＝PA2， 即PO⊥AC，故S△APC＝P

10、OAC＝3. 由(1)知，BO⊥面APC，因此VPBCE＝VBAPC＝BOS△APC＝. 12.如圖所示，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120，PA＝，∠ACB＝90. (1)求證：BC⊥平面PAC； (2)求二面角DPCA的平面角的正切值． (1)證明：∵PA⊥底面ABCD， BC?平面ABCD， ∴PA⊥BC. ∵∠ACB＝90， ∴BC⊥AC. 又PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC. (2)解：∵AB∥CD，∠BAD＝120， ∴∠ADC＝60， 又AD＝CD＝1， ∴△ADC為等邊三角形，且AC＝1. 取AC的中點O，連接DO， 則DO⊥AC， ∵PA⊥底面ABCD，DO?平面ABCD， ∴PA⊥DO， 又PA∩AC＝A，∴DO⊥平面PAC. ∴DO⊥PC. 過O作OH⊥PC，垂足為H，連接DH， 則PC⊥平面DOH， ∴DH⊥PC， 又OH⊥PC， ∴∠DHO為二面角DPCA的平面角． 易求得OH＝，DO＝， ∴tan∠DHO＝＝2.