數(shù)學(xué)選修21蘇教版：第3章　空間向量與立體幾何 章末復(fù)習(xí) Word版含答案

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1、 精品資料 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.梳理知識(shí)要點(diǎn)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).2.進(jìn)一步理解空間向量的概念及運(yùn)算.3.能熟練應(yīng)用向量法解決立體幾何問題． 1．空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的向量表示 設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則 線線平行 l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R 線面平行 l∥α?a⊥μ?aμ＝0 面面平行 α∥β?μ∥v?μ＝kv，k∈R 線線垂直 l⊥m?a⊥b?ab＝0 線面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ，k∈R 面面垂直 α⊥β?μ⊥v?μv＝0 線線夾角 l，

2、m的夾角為θ，cosθ＝ 線面夾角 l，α的夾角為θ，sinθ＝ 面面夾角 α，β的夾角為θ，cosθ＝ 2．用坐標(biāo)法解決立體幾何問題 步驟如下： (1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系； (2)寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)； (3)進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)的運(yùn)算； (4)寫出幾何意義下的結(jié)論． 關(guān)鍵點(diǎn)如下： (1)選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．坐標(biāo)系的選取很重要，恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使得點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)易求且簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程． (2)點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的確定．將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的問題，必須確定點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方向向量、平面的法向量，這是最核心的問題． (3)幾何問題與向量問題的轉(zhuǎn)化．平

3、行、垂直、夾角問題都可以通過向量計(jì)算來解決，如何轉(zhuǎn)化也是這類問題解決的關(guān)鍵． 1．a(chǎn)b＝ac(a≠0)的本質(zhì)是向量b，c在向量a方向上的投影相等，b與c不一定相等．(√) 2．設(shè)直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈a，n〉＝，則l與α所成的角為.(√) 3．兩異面直線夾角的范圍是，直線與平面所成角的范圍是，二面角的范圍是[0，π]．(√) 4．若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行．() 類型一　空間向量及其運(yùn)算 例1　如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.給出以下結(jié)論： ①

4、＋＋＋＝0； ②＋－－＝0； ③－＋－＝0； ④＝； ⑤＝0. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________． 答案?、邰? 解析　容易推出－＋－＝＋＝0，所以③正確；又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以＝22cos∠ASB，＝22cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是＝，因此④正確；其余三個(gè)都不正確，故正確結(jié)論的序號(hào)是③④. 反思與感悟　向量的表示與運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形法則及各運(yùn)算公式，理解向量運(yùn)算法則、運(yùn)算律及其幾何意義． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在平行六面體A1B1C1D1－ABCD中，M分成的比為，N分成的比為

5、2，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示. 解　連結(jié)AN， 則＝＋， 由已知ABCD是平行四邊形， 故＝＋＝a＋b， 又M分成的比為， 故＝－＝－(a＋b)． 又N分成的比為2，故＝＋＝－＝－＝(c＋2b)． 于是＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b) ＝(－a＋b＋c)． 類型二　利用空間向量解決位置關(guān)系問題 例2　在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn)，求證： (1)PC∥平面EBD. (2)平面PBC⊥平面PCD. 證明　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DC，DA，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)

6、DC＝a，PD＝b，則D(0,0,0)，C(a，0,0)，B(a，a,0)，P(0，0，b)， A(0，a,0)E. (1)＝，＝(a，a,0)，＝(a,0，－b)． 設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令x＝1，得n＝， 因?yàn)閚＝(a,0，－b)＝0， 所以⊥n，又PC?平面EBD，故PC∥平面EBD. (2)由題意得平面PDC的一個(gè)法向量為＝(0，a,0)， 又＝(a，a，－b)，＝(a,0，－b)， 設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m＝(x1，y1，z1)， 則即 得y1＝0，令x1＝1，則z1＝，所以m＝， 因?yàn)閙＝(0，a,0)＝0， 所以⊥m

7、，即平面PBC⊥平面PCD. 反思與感悟　1.證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量． 2．證明線面平行的方法 (1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直． (2)能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線． (3)利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量． 3．證明面面平行的方法 (1)轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理． (2)證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量． 4．證明兩條直線垂直，只需證明這兩條直線的方向向量垂直． 5．證明線面垂直的方法 (1)證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量． (2)證明直線的方向向

8、量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直． 6．證明面面垂直的方法 (1)轉(zhuǎn)化為證明線面垂直． (2)證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直． 跟蹤訓(xùn)練2　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)，求證：平面AED⊥平面A1FD1. 證明　如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則 E，D1(0,0,1)， A(1，0,0)，F(xiàn). ∴＝(1,0,0)＝，＝，＝.設(shè)m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分別是平面AED和平面A1FD1的一個(gè)法向量， 由得 令y1＝1

9、，得m＝(0,1，－2)． 又由得 令z2＝1，得n＝(0,2,1)． ∵mn＝(0,1，－2)(0,2,1)＝0， ∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1. 類型三　利用空間向量求角 例3　已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1和C1D1的中點(diǎn)．試求： (1)AD1與EF所成角的大小； (2)AF與平面BEB1所成角的余弦值； (3)二面角C1－DB－B1的正切值． 解　以點(diǎn)B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，B1A1，B1C1，B1B所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B1(0,0,0)，A(1,0,1)，B(0,0,1)，D1

10、(1,1,0)， E，F(xiàn)， D(1,1,1)． (1)因?yàn)椋?0,1，－1)， ＝， 所以cos〈，〉＝＝， 因?yàn)椤?，〉∈[0，180]， 所以AD1與EF所成的角為60. (2)由圖可得＝(1,0,0)為平面BEB1的一個(gè)法向量，設(shè)AF與平面BEB1所成的角為θ， 則sinθ＝＝＝，所以cosθ＝. (3)設(shè)平面D1DBB1的一個(gè)法向量n1＝(x，y，z)， 因?yàn)椋?－1，－1,0)，＝(0,0,1)， 由n1⊥，n1⊥，得 令y＝1，則n1＝(－1,1,0)． 同理可得平面C1DB的一個(gè)法向量n2＝(－1,1,1)， 則cos〈n1，n2〉＝＝， tan

11、〈n1，n2〉＝.即二面角C1－DB－B1的正切值為. 反思與感悟　用向量法求空間角的注意點(diǎn) (1)異面直線所成角：兩異面直線所成角的范圍為0<θ≤90，需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成的角求解． (2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個(gè)平面α的法向量n與直線a的方向向量a的夾角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sinθ＝|cos〈n，a〉|，求θ. (3)二面角： 如圖，有兩個(gè)平面α與β，分別作這兩個(gè)平面的法向量n1與n2，則平面α與β所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在

12、幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn)． (1)求證：GF∥平面ADE； (2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值． (1)證明　如圖，取AE的中點(diǎn)H，連結(jié)HG，HD， 又G是BE的中點(diǎn)， 所以GH∥AB，且GH＝AB. 又F是CD的中點(diǎn)， 所以DF＝CD. 由四邊形ABCD是矩形， 得AB∥CD，AB＝CD， 所以GH∥DF，且GH＝DF， 從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF∥DH. 又DH?平面ADE，GF?平面ADE， 所以GF∥平面ADE. (2)

13、解　如圖，在平面BEC內(nèi)，過B點(diǎn)作BQ∥EC. 因?yàn)锽E⊥CE，所以BQ⊥BE. 又因?yàn)锳B⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ. 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1)． 因?yàn)锳B⊥平面BEC，所以＝(0,0,2)為平面BEC的法向量．設(shè)n＝(x，y，z)為平面AEF的法向量． 又＝(2,0，－2)，＝(2,2，－1)， 由得 取z＝2，得n＝(2，－1,2)． 從而|cos〈n，〉|＝＝＝，所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為. 1．已知

14、空間四邊形ABCD，G是CD的中點(diǎn)，則＋(＋)＝________. 答案　 解析　在△BCD中，因?yàn)辄c(diǎn)G是CD的中點(diǎn)， 所以＝(＋)， 從而＋(＋)＝＋＝. 2．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，則實(shí)數(shù)λ的值是________． 答案　－2 解析　a＋λb＝(λ，1＋λ，－1)． 由(a＋λb)⊥a，知(a＋λb)a＝0， ∴λ0＋(1＋λ)1＋(－1)(－1)＝0，解得λ＝－2. 3．已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)與b＝(4,2－2m，2－2m)平行，則m＝________. 答案　1或3 解析　當(dāng)2－2m＝0，即m＝1時(shí)，

15、a＝(2,0,0)，b＝(4,0,0)，滿足a∥b； 當(dāng)2－2m≠0，即m≠1時(shí)， ∵a∥b，∴＝，解得m＝3. 綜上可知，m＝3或m＝1. 4．已知平面α經(jīng)過點(diǎn)O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一個(gè)法向量，M(x，y，z)是平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則x，y，z滿足的關(guān)系式是________． 答案　x＋y＋z＝0 解析　e＝(x，y，z)(1,1,1)＝x＋y＋z＝0. 5．已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求向量c； (2)求向量a與向量b的夾角的余弦值． 解　(1)∵c∥，∴存在實(shí)數(shù)

16、m， 使得c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)． ∵|c|＝3，∴＝3|m|＝3， ∴m＝1，∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴ab＝(1,1,0)(－1,0,2)＝－1. 又∵|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 即向量a與向量b的夾角的余弦值為－. 解決立體幾何中的問題，可用三種方法：幾何法、基向量法、坐標(biāo)法．幾何法以邏輯推理作為工具解決問題；基向量法利用向量的概念及其運(yùn)算解決問題；坐標(biāo)法利用數(shù)及其運(yùn)算來解決問題．坐標(biāo)方法經(jīng)常與向量運(yùn)算結(jié)合起來使用． 一、

17、填空題 1．下列說法中不正確的是________．(填序號(hào)) ①若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相同，方向相同或相反； ②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|； ③空間向量的減法滿足結(jié)合律； ④在四邊形ABCD中，一定有＋＝. 答案?、佗邰? 解析　依據(jù)相反向量的定義知，只有②正確． 2．已知O是空間任意一點(diǎn)，A，B，C，D四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且＝2x＋3y＋4z，則2x＋3y＋4z＝________. 答案?。? 解析　由A，B，C，D四點(diǎn)共面知＝－2x＋(－3y)＋(－4z)，所以－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1. 3．空間中，若

18、向量a＝(5,9，m)，b＝(1，－1,2)，c＝(2,5,1)共面，則m＝________. 答案　4 解析　∵向量a，b，c共面， ∴存在實(shí)數(shù)α，β，使得a＝αb＋βc， 即(5,9，m)＝(α，－α，2α)＋(2β，5β，β) ＝(α＋2β，5β－α，2α＋β)． ∴解得∴m＝2α＋β＝4. 4．已知不重合的平面α和平面β的法向量分別為m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，則平面α，β的位置關(guān)系為________．(填“平行”“垂直”) 答案　平行 解析　∵n＝(－6，－2,10)，m＝(3,1，－5)， ∴n＝－2m.∴m∥n.∴α與β平行． 5．在平行

19、六面體ABCD－A1B1C1D1中，若＝a＋2b＋3c，則abc＝________. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 答案?。? 解析　由平行六面體ABCD－A1B1C1D1，得＝＋＋，又已知＝a＋2b＋3c，可得a＝1,2b＝1,3c＝－1，解得a＝1，b＝，c＝－，所以abc＝－. 6．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量用，表示為________． 答案?。剑? 解析　因?yàn)椋?，且＝? 所以－＝， 即＝－. 7．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，則x，y的值分別為________． 答案　1,3 解

20、析　由題意知a∥b，所以＝＝， 即 把①代入②得x2＋x－2＝0，(x＋2)(x－1)＝0， 解得x＝－2或x＝1， 當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－6；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3. 當(dāng)時(shí)，b＝(－2，－4，－6)＝－2a， 向量a，b反向，不符合題意，所以舍去． 當(dāng)時(shí)，b＝(1,2,3)＝a，a與b同向，所以 8．已知空間四點(diǎn)A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)共面，則x＝________. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共面向量定理及應(yīng)用 答案?。? 解析　∵A(0,3,5)，B(2,3,1)，C(4,1,5)，D(x,5,9)， ∴＝(2,0

21、，－4)，＝(4，－2,0)，＝(x,2,4)． ∵四點(diǎn)A，B，C，D共面， ∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ＋μ， ∴(x,2,4)＝λ(2,0，－4)＋μ(4，－2,0)， ∴解得x＝－6. 9．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則B與D之間的距離為________． 考點(diǎn)　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 題點(diǎn)　數(shù)量積的綜合應(yīng)用 答案　 解析　如圖，過B，D分別向AC作垂線，垂足分別為M，N. 可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1. ∵＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋ ||2＋2(＋＋)

22、＝2＋12＋2＋0＝，∴||＝. 10.如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線D1E與AC所成角的余弦值是________． 答案　 解析　如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(4,0,0)，C(0,4,0)， D1(0,0,4)，E(0,4,2)，＝(－4，4,0)，＝(0,4，－2)， cos〈，〉＝ ＝， 所以異面直線D1E與AC所成角的余弦值為. 二、解答題 11.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90

23、，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分別為PC，PB的中點(diǎn)．求BD與平面ADMN所成的角θ. 解　如圖所示，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)BC＝1，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，則N(1,0,1)， 所以＝(－2,2,0)，＝(0,2,0)，＝(1,0,1)， 設(shè)平面ADMN的法向量為n＝(x，y，z)， 則由得 取x＝1，則z＝－1， 所以n＝(1,0，－1)． 因?yàn)閏os〈，n〉＝＝＝－， 所以sinθ＝|cos〈，n〉|＝. 又0≤θ≤90，所以θ＝30.

24、 12.如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60，當(dāng)?shù)闹档扔诙嗌贂r(shí)，能使A1C⊥平面C1BD? 解　不妨設(shè)＝x，CC1＝1， 使A1C⊥平面C1BD. 則A1C⊥C1B，A1C⊥C1D， 而＝＋，＝＋＋ ＝＋＋， 由＝0， 得(＋＋)(＋)＝2－2＋ ＋＝0， 注意到＋＝－， 可得方程1－x2＋＝0， 解得x＝1或x＝－(舍)， 所以當(dāng)＝1時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD. 13．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90，如圖(1)，把△ABD沿BD翻折，使得平面A

25、BD⊥平面BCD，如圖(2)． (1)求證：CD⊥AB； (2)求BC與平面ACD所成角的正弦值． (1)證明　由已知條件可得BD＝2，CD＝2，CD⊥BD. ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴CD⊥平面ABD. 又∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB. (2)解　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖． 由已知條件可得D(0,0,0)， A(1,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， ＝(0，－2,0)，＝(－1,0，－1)． 設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 則⊥n，⊥

26、n， ∴可得 令x＝1，得平面ACD的一個(gè)法向量為n＝(1,0，－1)． 設(shè)BC與平面ACD所成的角為θ， ∵＝(－2,2,0)， ∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝， ∴BC與平面ACD所成角的正弦值為. 三、探究與拓展 14．正三角形ABC與正三角形BCD所在的平面互相垂直，則直線CD與平面ABD所成角的正弦值為________． 考點(diǎn)　向量法求解直線與平面所成的角 題點(diǎn)　向量法解決直線與平面所成的角 答案　 解析　取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO，DO， 以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz. 設(shè)

27、BC＝1，則A， B，C， D， 所以＝，＝， ＝. 設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)， 則 所以 取x＝1，則y＝－，z＝1， 所以n＝(1，－，1)， 所以cos〈n，〉＝＝， 又直線與平面所成角的范圍是， 因此直線CD與平面ABD所成角的正弦值為. 15．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F(xiàn)分別是CC1，BC的中點(diǎn)，AE⊥A1B1，D為棱A1B1上的點(diǎn)． (1)證明：DF⊥AE； (2)是否存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點(diǎn)D的位置，若不存在，說明理由． 考點(diǎn)　向量法求

28、平面與平面所成的角 題點(diǎn)　向量法求平面與平面所成的角 (1)證明　∵AE⊥A1B1， A1B1∥AB，∴AB⊥AE， 又∵AB⊥AA1，AE∩AA1＝A， AE，AA1?平面A1ACC1， ∴AB⊥平面A1ACC1， 又∵AC?平面A1ACC1， ∴AB⊥AC. 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz， 則A(0,0,0)，E，F(xiàn)， A1(0,0,1)，B1(1,0,1)． 設(shè)D(x1,0,1)，則＝λ，且λ∈[0,1]， 即(x1,0,0)＝λ(1,0,0)， ∴D(λ，0,1)， ∴＝， 又＝， ∴＝－＝0，∴DF⊥AE. (2)解　存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為.理由如下： 設(shè)平面DEF的法向量為n＝(x2，y2，z2)， 則 ∵＝，＝， ∴ 即 令z2＝2(1－λ)， ∴n＝(3,1＋2λ，2(1－λ))． 由題意可知平面ABC的法向量m＝(0,0,1)． ∵平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為， ∴|cos〈m，n〉|＝＝， 即＝， ∴λ＝或λ＝. ∵λ∈[0,1]，∴λ＝舍去． ∴點(diǎn)D為A1B1的中點(diǎn)．