第2篇 第3節(jié) 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

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1、第二篇第3節(jié) 1(2013年高考北京卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減的是()Ay ByexCyx21 Dylg |x|解析：y是奇函數(shù)，選項A錯；yex是指數(shù)函數(shù)，非奇非偶，選項B錯；ylg|x|是偶函數(shù)，但在(0，)上單調(diào)遞增，選項D錯；只有選項C是偶函數(shù)且在(0，)上單調(diào)遞減故選C.答案：C2已知周期為2的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上是增函數(shù)，則f(6.5)，f(1)，f(0)的大小關(guān)系是()Af(6.5)<f(0)<f(1)Bf(0)<f(6.5)<f(1)Cf(1)<f(6.5)<f(0)Df(1)<f(0)<f(6.

2、5)解析：由條件得f(6.5)f(6.5)f(60.5)f(0.5)，f(1)f(1)，又f(x)在區(qū)間0,1上是增函數(shù)，所以f(0)<f(0.5)<f(1)，故f(0)<f(6.5)<f(1)故選B.答案：B3(2014陜西師大附中一模)已知函數(shù)f(x)對任意xR都有f(x4)f(x)2f(2)，若yf(x1)的圖象關(guān)于直線x1對稱，且f(1)2，則f(2014)等于()A2 B3C4 D0解析：由于yf(x1)的圖象關(guān)于直線x1對稱，所以yf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)在等式f(x4)f(x)2f(2)中令x2得f(2)f(2)2f(2)，由此

3、可得f(2)0，故f(x4)f(x)，所以4是函數(shù)yf(x)的一個周期f(2014)f(1)2.故選A.答案：A4(2014廣東潮州質(zhì)檢)定義域為R的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x(，0)時f(x)xf(x)<0恒成立，若a3f(3)，bf(1)，c2f(2)，則()Aa>c>b Bc>b>aCc>a>b Da>b>c解析：設(shè)g(x)xf(x)，依題意得g(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x(，0)時f(x)xf(x)<0，即g(x)<0恒成立，故g(x)在x(，0)上單調(diào)遞減，則g(x)在(0，)上遞增，a3f(3)g(3)，bf(1)g(1)，c2f

4、(2)g(2)g(2)，故a>c>b.故選A.答案：A5(2014江西南昌模擬)已知定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足下列三個條件：對任意的xR都有f(x2)f(x)，對于任意的0x1<x22，都有f(x1)<f(x2)，yf(x2)的圖象關(guān)于y軸對稱，則下列結(jié)論中，正確的是()Af(4.5)<f(6.5)<f(7)Bf(4.5)<f(7)<f(6.5)Cf(7)<f(4.5)<f(6.5)Df(7)<f(6.5)<f(4.5)解析：由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)f(x)，即4是函數(shù)yf(x)的一個周期，根據(jù)知函

5、數(shù)yf(x)在0,2上單調(diào)遞增，根據(jù)知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱f(4.5)f(0.5)，f(6.5)f(2.5)f(1.5)，f(7)f(3)f(1)，則f(4.5)<f(7)<f(6.5)故選B.答案：B6(2014福建福州期末質(zhì)檢)能夠把圓O：x2y29的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為圓O的“和諧函數(shù)”，下列函數(shù)不是圓O的“和諧函數(shù)”的是()Af(x)4x3x Bf(x)lnCf(x)tan Df(x)exex解析：選項A、B、C中的函數(shù)在(3,3)上都是單調(diào)的奇函數(shù)，都能把圓的周長和面積分為相等的兩部分，只有選項D中的函數(shù)不是奇函數(shù)，故選D.答案：D二、

6、填空題7(2012年高考浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x0,1時，f(x)x1，則f_.解析：fff.答案：8已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)f(x1)為偶函數(shù)，f(1)1，則f(3)_.解析：法一根據(jù)條件可得f(3)f(21)f(21)f(1)f(1)1.法二使用特例法，尋求函數(shù)模型，令f(x)sin x，則f(x1)sinxcos x，滿足以上條件，所以f(3)sin 1.答案：19(2014浙江溫州一模)已知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意xR，都有ff(x)2x3，則f(3)的值是_解析：根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性，存在唯一的m，使得f(m)3，故f(x

7、)2xm，即f(x)2xm，令xm，則f(m)2mm，即32mm，解得m1，所以f(x)2x1，所以f(3)9.答案：910(2014陜西延安一模)已知定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足條件fxf(x)，且函數(shù)yfx為奇函數(shù)，給出以下四個命題：(1)函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；(2)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)，0對稱；(3)函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；(4)函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)其中真命題的序號為_(寫出所有真命題的序號)解析：由fxf(x)可得f(x)f(x3)f(x)為周期函數(shù)，且T3，(1)為真命題；又yfx關(guān)于(0,0)對稱，yfx向左平移個單位得yf(x)的圖象，則yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

8、，0對稱，(2)為真命題；又yfx為奇函數(shù)，所以fxfx，fxfxf(x)，fxf(x)，f(x)f(x3)fxf(x)，f(x)為偶函數(shù)，不可能為R上的單調(diào)函數(shù)，(3)為真命題；(4)為假命題，故真命題為(1)(2)(3)答案：(1)(2)(3)三、解答題11設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x2,4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2014)(1)證明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)解：x2,4，x4，2

9、，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4(3)解：f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2008)f(2009)f(2010)f(2011)0.f(0)f(1)f(2)f(2012)f(2014)f(0)f(1)1.12已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x1對稱(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x)(0<x1)，求x5，4時，函數(shù)f(x)的解析式(1)證明：由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，有f(x1)f(1x)即有f(x)f(x2)又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)從而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)解：由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)0.x1,0)時，x(0,1，f(x)f(x).故x1,0時，f(x).x5，4時，x41,0，f(x)f(x4).從而，x5，4時，函數(shù)f(x).