《【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7篇 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7篇 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一學(xué)案 理（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第四十六課時(shí) 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 (一)
課前預(yù)習(xí)案
考綱要求
1.理解直線的方向向量與平面的法向量。
2.能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。
3.能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理。
4.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。
基礎(chǔ)知識(shí)梳理
1.用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行
①設(shè)直線和的方向向量分別為和，則或與重合_____________.
②已知兩個(gè)不共線向量，與平面共面，直線的一個(gè)方向向量為，則或在內(nèi)_________________________
2、_________.
③已知兩個(gè)不共線的向量，與平面共面，則或與重合__________________________________.
2.用向量運(yùn)算證明兩條直線垂直
設(shè)直線和的方向向量分別為和，則_____________.
3.用向量運(yùn)算求兩條直線所成的角
設(shè)直線和的方向向量分別為和，直線和所成的角為，則與的關(guān)系是_____________，即_____________.兩條異面直線所成角的范圍是_______.
4.用平面的法向量證明兩個(gè)平面平行或垂直
設(shè)分別是平面的法向量，則或與重合_________________；_________________________
3、_.
5.直線與平面的夾角
(1)_________________________________________叫做斜線和平面所成的角,斜線和平面所成的角是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中_____________．
(2)直線與平面所成角的范圍是________________.
(3)若斜線與它在平面內(nèi)射影的夾角為,此射影與平面內(nèi)直線的夾角為,斜線與平面內(nèi)該直線的夾角為,則之間的關(guān)系是_____________．
6.利用平面的法向量求直線和平面所成的角
直線的方向向量，平面α的法向量為，與α所成的角為，則sin=．
預(yù)習(xí)自測(cè)
1、以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是( )
4、
A、等腰直角三角形 B、等邊三角形 C、直角三角形 D、無法判斷
2、已知，則向量與的夾角是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、正方體中，與平面所成角的余弦值為( )
A、 B、 C、 D、
4、在三棱柱中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是 ( )
A． B． C． D． .
5、設(shè)，則與平行的單位向量的坐標(biāo)為 .
6、已知，求平面的一個(gè)法向量.
課堂探究案
典型例題
5、
考點(diǎn)1：利用向量證明平行與垂直問題
【典例1】如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求證：CF⊥平面BDE。
考點(diǎn)2 利用向量求兩條異面直線所成的角
【典例2】【2012上海】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點(diǎn)，已知，，，
求：（1）三角形的面積；
（2）異面直線與所成的角的大小。
考點(diǎn)3：利用向量求直線與平面所成的角
【典例3】如圖,三棱柱中,，,.
(1)證明：；
(2)若平面⊥平面,,求直線與平面所成
6、角的正弦值.
【變式1】 如圖，在正三棱柱中，AB=4, ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且
（1）證明：平面平面;
（2）求直線AD和平面所成角的正弦值。
當(dāng)堂檢測(cè)
1、已知正四棱柱中，=，為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為( )
（A） (B) (C) (D)
2、（2013年湖南卷）如圖,在直棱柱,
,.
(1)證明:；(2)求直線與平面所成角的正弦值.
課后拓展案
A組全員必做題
1、正四棱柱
7、中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2、已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
3、【2012陜西】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
B組
4、如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)。
（1）求直線BE與平面ABB1A1所成的角
8、的正弦值；
（2）在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F//平面A1BE？證明你的結(jié)論。
A D
B C
A1 D1
B1 C1
E
B組提高選做題
在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)．
(1)求證：EF⊥CD；
(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論．
參考答案
預(yù)習(xí)自測(cè)
1.A
2.A
3.D
4.C
9、
5.或
6.解：設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則即∴令，
得，即平面的一個(gè)法向量為．
典型例題
【典例1】證明：（1）設(shè)、交點(diǎn)為，連接，
∵正方形邊長為，
∴，，
又，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）∵平面⊥平面，平面平面，平面，⊥，
∴⊥平面，
∴⊥，⊥，
以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，．
∴，，．
∵，，
∴⊥，⊥，
又，
∴⊥平面．
【典例2】解：（1）∵為矩形，∴⊥．
∵⊥底面，平面，
∴⊥．
又∵，
∴⊥平面，∴
∴．
（2），
∴．
，，
∴，
∴，即異
10、面直線與所成的角大小為．
【典例3】
（1）證明：取中點(diǎn)，連接、、．
∵，∴⊥，
∵，∴，
又∵∠，
∴，
∴，
∴∠，
∴⊥．
又∵，
∴⊥平面，
∴⊥．
（2）解：∵平面⊥平面，
∴⊥平面，
∴，，兩兩垂直．
以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
∴，，．
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即∴
令，則，設(shè)直線與平面所成角為，
∴．
【變式1】（1）證明：∵該棱柱為正三棱柱，
∴⊥平面，
∵平面，
∴，
又，
∴⊥平面，
∵平面，
∴平面⊥平面．
（2）解：取中點(diǎn)，中點(diǎn),連接,．
以為原點(diǎn)，，,所在直線為軸，
11、軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），
則，，，．
,
∴，，.
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則∴
∴令，則，
∴.
設(shè)直線與平面所成角為，
∴ ，
故直線與平面所成角的正弦值為.
當(dāng)堂檢測(cè)
１．C
２．（1）證明：∵該棱柱為直棱柱，
∴平面，
∵平面，
∴，
又，，
∴平面，
∵平面，
∴.
（2）
分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=，則，，，，
∴，，
∴，∴，
∴，，，，
則，，．
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則∴∴令，則．
設(shè)直線與平面所成的角為，
∴．
A組全員必做題
1.D
2.A
3.A
4.解：
12、分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），
設(shè)棱長為2，則，，平面的一個(gè)法向量，∴．
（1）設(shè)直線與平面所成角為，
則．
（2），，
∴，．
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則
即整理得令，得．
設(shè)，則，∴，解得，
即是棱中點(diǎn)時(shí)，平面．
B組提高選做題
(1)證明 如圖，以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD＝a，則D(0,0,0)、
A(a,0,0)、B(a，a,0)、
C(0，a,0)、E、
P(0,0，a)、F.
＝，＝(0，a,0)．
∵＝0，∴⊥，即EF⊥CD.
(2)解 設(shè)G(x,0，z)，則＝，
若使GF⊥平面PCB，則
由＝(a,0,0)
＝a＝0，得x＝；
由＝(0，－a，a)
＝＋a＝0，得z＝0.
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為，即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn)．
【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7篇 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一學(xué)案 理
