高考數(shù)學(xué) 廣東專用文科復(fù)習(xí)配套課時(shí)訓(xùn)練：第五篇 數(shù)列 第1節(jié)　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法含答案

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1、 第五篇　數(shù)列(必修5) 第1節(jié)　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 　　 課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 數(shù)列的概念與表示法 3、5 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng) 4、8 遞推公式的應(yīng)用 2、6、9 an與Sn的關(guān)系 1、10、11、13 數(shù)列與函數(shù) 7、12、14、15、16 A組 一、選擇題 1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為(　A　) (A)15 (B)16 (C)49 (D)64 解析:由a8=S8-S7=64-49=15,故選A. 2.(20xx華師大附中高三模擬

2、)數(shù)列{an}中,a1=1,an=1an-1+1,則a4等于(　A　) (A)53 (B)43 (C)1 (D)23 解析:由a1=1,an=1an-1+1得, a2=1a1+1=2,a3=1a2+1=12+1=32, a4=1a3+1=23+1=53. 故選A. 3.下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是(　C　) (A)1,12,13,14,… (B)-1,-2,-3,-4,… (C)-1,-12,-14,-18,… (D)1,2,3,…,n 解析:根據(jù)定義,屬于無窮數(shù)列的是選項(xiàng)A、B、C(用省略號(hào)),屬于遞增數(shù)列的是選項(xiàng)C、D,故滿足要求的是選項(xiàng)C.故選C. 4

3、.下列關(guān)于星星的圖案中,星星的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是(　C　) (A)an=n2-n+1 (B)an=n(n-1)2 (C)an=n(n+1)2 (D)an=n(n+2)2 解析:從題圖中可觀察星星的構(gòu)成規(guī)律, n=1時(shí),有1個(gè);n=2時(shí),有3個(gè); n=3時(shí),有6個(gè);n=4時(shí),有10個(gè);… ∴an=1+2+3+4+…+n=n(n+1)2, 故選C. 5.下面五個(gè)結(jié)論:①數(shù)列若用圖象表示,從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn);②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的;③數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的;④數(shù)列不一定有通項(xiàng)公式;⑤將數(shù)列看做函數(shù),其定義域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n})

4、.其中正確的是(　B　) (A)①②④⑤ (B)①④⑤ (C)①③④ (D)②⑤ 解析:②中數(shù)列的項(xiàng)數(shù)也可以是有限的,③中數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一,故選B. 6.(20xx東莞模擬)數(shù)列{an}滿足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(　C　) (A)3n-1 (B)(2n-1)·3n (C)3n (D)(2n-1)·3n-1 解析:當(dāng)n≥2時(shí),有a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,兩式相減得(2n-1)an=(n-1)3

5、n+1-(n-2)3n,即(2n-1)an=(2n-1)·3n,故an=3n.又a1=3滿足an=3n,故選C. 7.(20xx太原一模)已知函數(shù)f(x)=(3-a)x-3,x≤7,ax-6,x>7,若數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),且{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　C　) (A)[94,3) (B)(94,3) (C)(2,3) (D)(1,3) 解析:由題意,an=f(n)=(3-a)n-3,n≤7,an-6,n>7, 要使{an}是遞增數(shù)列,必有3-a>0,a>1,(3-a)×7-3<a8-6, 解得,

6、2<a<3.故選C. 二、填空題 8.數(shù)列-21×2,42×3,-83×4,164×5,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為　　　　.  解析:觀察各項(xiàng)知,其通項(xiàng)公式可以為an=(-2)nn(n+1). 答案:an=(-2)nn(n+1) 9.(20xx廣西一模)數(shù)列{an}中,已知a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(n∈N*),則a7=　　　　.  解析:由an+1=an+an+2,得an+2=an+1-an. 所以a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2.a6=a5-a4=-

7、2-(-1)=-1,a7=a6-a5=-1-(-2)=1. 答案:1 10.(20xx清遠(yuǎn)調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n-1,則a1+a25=　　　　.  解析:∵Sn=n2+2n-1,∴a1=S1=2. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1. ∴an=2　(n=1),2n+1　(n≥2). ∴a1+a25=2+51=53. 答案:53 11.(20xx東莞市高三模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-3n,若它的第k項(xiàng)滿足2<ak<5,則k=　　　.  解析:a1

8、=S1=1-3=-2,當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1=n2-3n-(n-1)2+3(n-1),∴an=2n-4,由2<ak<5得2<2k-4<5,則3<k<92,所以k=4. 答案:4 三、解答題 12.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2-7n+6. (1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少? (2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)?若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng),它是第幾項(xiàng)? (3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)? 解:(1)當(dāng)n=4時(shí),a4=42-4×7+6=-6. (2)是.令an=150,即n2-7n+6=150, 解得n=16或n=-9(舍去), 即1

9、50是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng). (3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍). 故數(shù)列從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù). 13.(20xx潮州期末質(zhì)檢)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2an+b,若a1=12,a2=56. (1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (3)設(shè)bn=ann2+n-1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)由S1=a1=12,得1a+b=12; 由S2=a1+a2=43,得42a+b=43. ∴a+b=2,2a+b=3,解得a=1,b=1.故Sn=n2n+1. (2)當(dāng)n≥2時(shí), an=Sn-S

10、n-1 =n2n+1-(n-1)2n =n3-(n-1)2(n+1)n(n+1) =n2+n-1n2+n 由于a1=12也適合an=n2+n-1n2+n. ∴an=n2+n-1n2+n. (3)bn=ann2+n-1=1n(n+1)=1n-1n+1. ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和 Tn=b1+b2+…+bn-1+bn =1-12+12-13+…+1n-1-1n+1n-1n+1 =1-1n+1=nn+1. B組 14.對(duì)于數(shù)列{an},a1=4,an+1=f(an),依照下表則a20xx=(　D　) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2

11、 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:由題意a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1.則數(shù)列{an}的項(xiàng)周期性出現(xiàn),其周期為4,a20xx=a4×503+3=a3=5.故選D. 15.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2(7-n)(n∈N*),則an的最大值是　　　　.  解析:設(shè)f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2, 當(dāng)x>0時(shí),由f′(x)=-3x2+14x=0得,x=143. 當(dāng)0<x<143時(shí),f′(x)>

12、;0, 則f(x)在0,143上單調(diào)遞增, 當(dāng)x>143時(shí),f′(x)<0, f(x)在143,+∞上單調(diào)遞減, 所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)max=f143. 又n∈N*,4<143<5,a4=48,a5=50, 所以an的最大值為50. 答案:50 16.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n-30. (1)求數(shù)列的前三項(xiàng),60是此數(shù)列的第幾項(xiàng)? (2)n為何值時(shí),an=0,an>0,an<0? (3)該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn是否存在最值?說明理由. 解:(1)由an=n2-n-30,得 a1=12-1-30=-30, a2=

13、22-2-30=-28, a3=32-3-30=-24. 設(shè)an=60,則60=n2-n-30. 解之得n=10或n=-9(舍去). ∴60是此數(shù)列的第10項(xiàng). (2)令an=n2-n-30=0, 解得n=6或n=-5(舍去). ∴a6=0. 令n2-n-30>0, 解得n>6或n<-5(舍去). ∴當(dāng)n>6(n∈N*)時(shí),an>0. 令n2-n-30<0,解得0<n<6. ∴當(dāng)0<n<6(n∈N*)時(shí),an<0. (3)Sn存在最小值,不存在最大值. 由an=n2-n-30=n-122-3014,(n∈N*) 知{an}是遞增數(shù)列,且 a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…, 故Sn存在最小值S5=S6,不存在最大值.