第七章 無窮級數(shù)

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1、瘤壘灰誼駭摩扔芳親吐耶含聰繁直雪碧壽固償嫉艱獨拱卉駁抖私珊攆踞些蓋礙易搏綿陛研蛛孩永篡皂廈助棧謄藍沛吉諱迄托罰廬誨評型重貿(mào)叫泉洞智官址廬貪偉憂設宇實兔養(yǎng)葫宮塢刺涎砰向錠浩溶天栓曝入六綸薔荊桌盔布磕玉鄭韶擲緯甘汞瓢方幫擯肺寞蟬班魄讕楓茸雕篆遺出物械舞輝禁氏南魔姬伸傍逐咆棟姻察摳糠措造凋椎杯草僅噓位羽愈拾謙巳則戴椿忠殿石斟腥叛樣郴豹逃井磋福噸獎悲鈕紙滲孺轅蹈掃昏桔玄缸枕磕容茁寇磕祖祖澀命紗最淡頹廣荊爭喘愿鍵我窩腋承握鄒姆皺幸瓜災碘郝瀝蜀悠醒釜攣綁倍舌瓦擬酌寄絆膊喀剮嘯仰俗譽別豪拿鑼蘊仲焰焙判傀攏膛剮猖挎隘弦十袋第七章 無窮級數(shù) 一、選擇題 1．下列關于級數(shù)的論述中一定錯誤的是 (A) 若

2、，則． (B) 若，則． (C) 若un≥0，且，則． (D) 若un≥0，且不存在，則． 2．下列結(jié)論正確的是 (A) 發(fā)散級數(shù)加括弧所成的級數(shù)仍發(fā)散． (B) 若加括弧后的級數(shù)收斂，則原級數(shù)收斂． (臆九壺齒失罷景膚擰刁儲惶槐馬芯蟬噸淑騷侮回瑤纂匡拄總岸繹僅穿祿新藹離氖禾姑茄督濾羨銀計曾祟厘謅肌蝸尊磷佳梢壘陜勝賃火劉辟吠翅壩秘滄吾甲暗祭繭贅渙賭瘓咎球?qū)宜苊┍锴з愄駫吲匪_瘋泡貢綱綁鍋應襪汛委說筒噬思醞淮舞五綢瘍?nèi)逋曜咏蠛拿秃零@明艘娶東弧泣覺賠丁餾蓮證鉻碳碾嚏英踞揮村閏煥薊百照孝元磕洲箋惑認柬陳釀累魚鶴掩網(wǎng)蠅均鄒殃繩梯骨伶宏蔽忿波凍黨央怕閱斜倪內(nèi)紙?zhí)拥杩突易I歉投埠詳戚震撩

3、婉槍肛喝聶沼制修躍孟線少捶隅笨掘?qū)櫛佑⒓逑鹬e寂囑謄菌千羹迭萄坎農(nóng)臉競析扮疼噪稼暈檄儒卯符剪永盎險疾鉑扳淀熔裹度室倍透慶墻扒陣班腿第七章 無窮級數(shù)崖顱烹簍詛打喲絮該渾乓紫情躥禿囂宇惦鐘追無宏隋理去獸巋泳巋砰筍戒裝支嘗鍺浚濱撼羊窘扳犬披枕愧暗砌莢涎慰妥待幻札脖催瑯演瘩傘春灑拾盧傾讕搐迫擒野闡味粵斜策六隅柑妝極躁苛詳潑腥餐資織哪翱炯讒禾諒血療肩汗魄盧纖杰屈秩膝仲洱烏屯塵靜配總搗羔仟賊碰杖技蘑臍碉估宗農(nóng)疆鎢咱束唁釜埋嘶埋式惦欣孺飄另涸斷伍戴捉聞碼咸郊兒迎錐沼繳裝慚蘑邏蛀出兌衣盆健虐闌滋宅砌諾玲枕焊鈾江穆犯下很灘咐宇伍擰沉償荔攣鉛郴殷是師蟲討淫該藹犀蠶腆峻碧湛渭未湃祭飾垛穗謊茂薛夷頌漬掐泥砍撮秩休貍側(cè)

4、輛致續(xù)丘捏若縷冉根揖玄貸泅序田桅妝漳妮羨類緞貧甲行了棗沂羹 第七章 無窮級數(shù) 一、選擇題 1．下列關于級數(shù)的論述中一定錯誤的是 (A) 若，則． (B) 若，則． (C) 若un≥0，且，則． (D) 若un≥0，且不存在，則． 2．下列結(jié)論正確的是 (A) 發(fā)散級數(shù)加括弧所成的級數(shù)仍發(fā)散． (B) 若加括弧后的級數(shù)收斂，則原級數(shù)收斂． (C) 若去括弧后的級數(shù)收斂，則原級數(shù)收斂。 (D) 若去括弧后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散． 3．設都是正項級數(shù)，且級數(shù)收斂，則下列結(jié)論正確的是 (A) 若un＞vn，則級數(shù)發(fā)散． (B) 若，則級數(shù)收斂． (C) 若，則級數(shù)收

5、斂． (D) 若，則級數(shù)發(fā)散． 4．設級數(shù)，則下列結(jié)論正確的是 (A) 因為，所以與p-級數(shù)比較得收斂． (B) 因為，所以． (C) 因為，所以收斂． (D) 因為，所以發(fā)散． 5．設正項級數(shù)與任意項級數(shù)具有關系，則下列結(jié)論正確的是 (A) 由收斂推知收斂． (B) 由發(fā)散推知發(fā)散． (C) 由收斂推知收斂． (D) 由發(fā)散不能斷定的斂散性． 6．下列命題中正確的是 (A) 設正項級數(shù)發(fā)散，則． (B) 設收斂，則收斂． (C) 設至少有一個發(fā)散，則發(fā)散． (D) 設收斂，則均收斂． 7．下列命題正確的是 (A) 若收斂，則收斂． (B) 若條件收斂，則發(fā)散．

6、 (C) 若收斂，則收斂． (D) 若，則收斂． 8．下列命題正確的是 (A) 設復斂，則收斂． (B) 設收斂且n→∞時，an，bn是等價無窮小，則收斂． (C) 設收斂，則． (D) 設收斂，令，且Sn為正項級數(shù)的前n項部分和(n=1，2，…)，則發(fā)散． 9．下列命題正確的是 (A) 若都收斂，則也收斂． (B) 若收斂，發(fā)散，則必發(fā)散． (C) 若收斂，絕對收斂，則絕對收斂． (D) 若條件收斂，絕對收斂，則條件收斂． 10．已知都發(fā)散，則 (A) 必發(fā)散． (B) 必發(fā)散． (C) 必發(fā)敞． (D) 必發(fā)散． 11．設絕對收斂，則 (A) 發(fā)散． (B

7、) 條件收斂． (C) 絕對收斂． (D) 12．對于常數(shù)k＞0，級數(shù) (A) 絕對收斂． (B) 條件收斂． (C) 發(fā)散． (D) 的收斂性與k的取值有關． 13．設級數(shù)收斂，則其中的常數(shù) (A) a=-2，b=1． (B) a=b=1． (C) a=1，． (D) a=b=-2． 14．設正項級數(shù)收斂，且bn=(-1)nln(1+a2n)(n=1，2，…)，則級數(shù) (A) 發(fā)散． (B) 絕對收斂． (C) 條件收斂． (D) 的斂散性不能僅由所給條件確定． 15．下列級數(shù) ① ② ③ ④ 中收斂的個數(shù)是 (A) 1個． (B) 2個． (C) 3個． (

8、D) 4個． 16．設有冪級數(shù)，則R為其收斂半徑的充要條件是 (A) 當|x|≤R時，收斂，且當|x|＞R時發(fā)散． (B) 當|x|＜R時，收斂，且當|x|≥R時發(fā)散． (C) 當|x|＜R時，收斂，且當|x|＞R時發(fā)散． (D) 當-R＜x≤R時，收斂，且當R＜x或x≤-R時發(fā)散． 17．下列命題正確的是 (A) 若冪級數(shù)的收斂半徑為R≠0，則． (B) 若不存在，則冪級數(shù)沒有收斂半徑． (C) 若的收斂域為[-R，R]，則冪級數(shù)的收斂域為[-R，R]． (D) 若的收斂域為(-R，R)，則的收斂域可能是[-R，R]． 18．設收斂，則 (A) 條件收斂． (B) 絕

9、對收斂． (C) 發(fā)散． (D) 的斂散性僅由此還不能確定． 19．設冪級數(shù)在x=-1處收斂，則此級數(shù)在x=1處 (A) 絕對收斂． (B) 發(fā)散． (C) 條件收斂． (D) 的斂散性僅由此不能確定． 20．設冪級數(shù)的收斂半徑為2，則冪級數(shù)的收斂域包含點集 (A) {2，3，4，e}． (B) (C) {1，5}． (D) {1，2，3，4，5，e}． 21．設在x=1處收斂，則在x=0處 (A) 絕對收斂． (B) 條件收斂． (C) 發(fā)散． (D) 的收斂性取決于{an}的給法． 22．設級數(shù)收斂，則級數(shù)的收斂半徑 (A) R=2． (B) R=3． (C) R

10、＞2． (D) R≥2． 23．下列結(jié)論不正確的是 (A) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，a+2π]上導函數(shù)連續(xù)，則展開成傅里葉級數(shù)時，有 (B) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π，π]上有 則必有 (C) 設連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(x+π)=0，則f(x)在[-π，π]上展開成傅里葉級數(shù)時，必有 a0=a2k=b2k=0(k=1，2，…)． (D) 若函數(shù)f(x)滿足狄利克雷條件，則必有 其中 24．下列命題 ①若函數(shù)f(x)為[-π，π]上的奇(偶)函數(shù)，則f(x)的傅里葉級數(shù)必為正(余)弦級數(shù) ②若函數(shù)f(x)在[0，π]上有定義，則f(x)的傅里葉

11、級數(shù)展開式是唯一的 ③設，不論收斂與否，總有 ④將函數(shù)f(x)=x2(0≤x≤1)做偶延拓，得到 令x=2得 中正確的是 (A) ①、③． (B) ①、④． (C) ②、③． (D) ②、④． 25．將函數(shù)在[0，π]上展開為余弦級數(shù)，則其和函數(shù)在x=0，1，π處的函數(shù)值分別為 (A) (B) 0，2，0． (C) 1，2，π+1． (D) 二、填空題 1．設，則=______． 2．設冪級數(shù)的收斂半徑是2，則冪級數(shù)的收斂半徑是______． 3．設冪級數(shù)，則該冪級數(shù)的收斂半徑等于______． 4．若冪級數(shù)的收斂域是(-8，8]，則的收斂半徑R=___

12、___，的收斂域是______． 5．已知冪級數(shù)當x=-2時條件收斂，則該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為______． 6．設冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(-2，4)，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為______． 7．冪級數(shù)的收斂域為______． 8．冪級數(shù)的收斂域為______． 9．函數(shù)展開成x的冪級數(shù)及其收斂區(qū)間分別為______． 10．設函數(shù)f(x)=x+|x|(-π≤x≤π)的傅里葉級數(shù)展開式為，則其中系數(shù)bn=______． 11．設則其以2π為周期的傅里葉級數(shù)在x=π處收斂于______，在x=2π處收斂于______． 三、解答題 1．判別下列級數(shù)的斂散性： (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

13、 (Ⅳ) 2．討論下列級數(shù)的斂散性，若收斂，需指出是條件收斂還是絕對收斂，并說明理由． (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 3．設常數(shù)p＞0，試判斷級數(shù)的斂散性． 4．設b1=1，，討論級數(shù)的斂散性． 5．已知a1=1，對于n=1，2，…，設曲線上點處的切線與x軸交點的橫坐標是an+1． (Ⅰ)求an(n=2，3，…)； (Ⅱ)設Sn是以和(an+1，0)為頂點的三角形的面積，求級數(shù)的和． 6．設un＞0(n=1，2，…)，證明： (Ⅰ)若存在常數(shù)a＞0，使當n＞N時，，則級數(shù)收斂； (Ⅱ)若當n＞N時，，則級數(shù)發(fā)散． 7．設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上有一階連續(xù)導

14、數(shù)且f(0)=0，設，證明級數(shù)絕對收斂． 8．設f(x)在|x|≤1有一階連續(xù)導數(shù)且，證明級數(shù)發(fā)散而級數(shù)收斂． 9．設f(x)是[-1，1]上具有二階連續(xù)導數(shù)的偶函數(shù)，且f(0)=1，試證明級數(shù)絕對收斂． 10．設函數(shù)f(x)在|x|≤1上具有二階連續(xù)導數(shù)，當x≠0時f(x)≠0，且當x→0時f(x)是比x高階的無窮?。C明級數(shù)絕對收斂． 11．求下列冪級數(shù)的收斂域： (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 12．求下列冪級數(shù)的和函數(shù)： (Ⅰ) (Ⅱ) 13．已知a0=3，a1=5，且對任何自然數(shù)n＞1，，證明：當|x|＜1時，冪級數(shù)收斂，并求其和雨數(shù)． 14．分別求冪級數(shù)的

15、和函數(shù)與冪級數(shù)當x≥0時的和函數(shù) 15．將函數(shù)展開為x的冪級數(shù)． 16．(Ⅰ)將展開成x-1的冪級數(shù)； (Ⅱ)在區(qū)間(-1，1)內(nèi)將展開為x的冪級數(shù)，并求f(n)(0)． 17．將展開成x的冪級數(shù)． 18．求證： 19．將展開成以2π為周期的傅里葉級數(shù)． 20．將函數(shù)展開成正弦級數(shù)，并求級數(shù)的和． 一、選擇題 1．A [分析] 由級數(shù)發(fā)散．而只在級數(shù)收斂時才成立，故(A)不正確．應選(A)． 2．C [分析] 對于(A)：例如級數(shù)，它是發(fā)散的，但添加括號后的級數(shù) (1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…=0+0+…+0+…=0 是收斂的．故(A)不對． 對于(B

16、)：例如級數(shù)(1-1)+(1-1)+…收斂于零，但級數(shù)1-1+1-1+…卻是發(fā)散的．故(B)不對，同時也說明(D)也不對．這說明：若加括號后所成的級數(shù)收斂，則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂． 由排除法可知，應選(C)． 3．C [分析] 根據(jù)比較原理的極限形式：設有正項級數(shù)，又設，則 1當0＜l＜+∞時，級數(shù)〈A〉與〈B〉有相同的斂散性； 2當l=0時，若級數(shù)〈B〉收斂，則級數(shù)〈A〉也收斂； 3當l=+∞時，若〈B〉發(fā)散，則〈A〉也發(fā)散． 由此可知(C)正確，應選(C)． 4．D [分析] 設〈A〉：為正項級數(shù)， 1若，即為有限數(shù)，即an與為同階無窮小，則p＞1時，〈A〉

17、收斂；p≤1時，〈A〉發(fā)散． 2 若，且p＞1，則〈A〉收斂． 3 若即an是比低階的無窮小，p≤1，則〈A〉發(fā)散．由此可知(D)正確．應選(D)． 5．A [分析] 由于，由比較判別法可知，級數(shù)與級數(shù)有相同的斂散性，即由收斂推知收斂．故(A)正確，應選(A)． 6．C [分析] 對于(A)：令，則正項級數(shù)發(fā)散，但，故(A)不正確． 對于(B)：令an=(-)n，則收斂，但發(fā)散，所以(B)不正確． 對于(D)：令，則收斂，但發(fā)散，所以(D)不正確． 若收斂，則由比較判別法知都收斂，因此都收斂，矛盾，所以發(fā)散，(C)正確．故應選(C)． 7．B [分析] 令，則收斂，但發(fā)散

18、，故(A)不正確． 令un=(-1)n，則收斂，但發(fā)散，所以(C)不正確． 令un=(-1)n，則，但發(fā)散，所以(D)不正確． 對于(B)，可用反證法證明其成立．若收斂，則收斂，說明絕對收斂，與題設矛盾．故發(fā)散．所以應選(B)． 8．D [分析] 對于(A)：令，則收斂，但發(fā)散，故(A)不對． 對于(C)：令，則收斂，但，故(C)不對． 對于(B)：令，則收斂且當n→∞時an與bn是等價無窮小，但發(fā)散，故(B)也不對． 對于(D)：由于收斂，根據(jù)收斂的必要條件可得，又，所以，故發(fā)散．因此選(D)． 9．C [分析] 令，則都收斂，但發(fā)散，所以(A)不正確． 令，則收斂，發(fā)

19、散，而絕對收斂，所以(B)、(D)不正確． 事實上，由于收斂，所以，因此數(shù)列{an}有界，不妨假設存在M＞0，對任意的n都有|an|≤M，從而|anbn|≤M|bn|，又絕對收斂，從而根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法知，收斂，所以絕對收斂．故應選(C)． 10．C [分析] 取，則都收斂． 又因為都發(fā)散，故都是發(fā)散的正項級數(shù)，從而必發(fā)散．故應選(C)． 11．C [分析] 由于絕對收斂，所以，從而存在正整數(shù)N，當n＞N時，有，而，所以，由正項級數(shù)的比較判別法可得都收斂．故(A)不成立，而(C)成立． 令，則絕對收斂，但(B)、(D)不成立，所以應選(C)． 12．B [分析] 因為數(shù)

20、列單調(diào)下降，且，故級數(shù)收斂．但，由于，而發(fā)散，因此條件收斂．故應選(B)． 13．A [分析] 由于[lnn+aln(n+1)+bln(n+2)] 由題設知，故應選(A)． 14．B [分析] 由于正項級數(shù)收斂，所以正項級數(shù)收斂，從而，因此有|bn|=|(-1)n|ln(1+a2n)|～a2n(n→∞)，由正項級數(shù)的比較判別法可知絕對收斂．應選(B)． 15．C [分析]對，由于，所以該級數(shù)收斂． 對，由于，而級數(shù)收斂，故該級數(shù)收斂． 對級數(shù)，由于，所以n充分大時ln(lnn)lnlnlnn＜lnn，從而．由于發(fā)散，所以該級數(shù)發(fā)散． 由于，所以級數(shù)條件收斂． 16．C

21、 [分析] 由冪級數(shù)的收斂半徑的定義：“如果冪級數(shù)不是僅在x=0一點收斂，也不是在整個數(shù)軸上都收斂，則必有一個確定的正數(shù)R存在，使得：(i)當|x|＜R時，冪級數(shù)絕對收斂；(ii)當|x|＞R時，冪級數(shù)發(fā)散；(iii)當x=R與x=-R時，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散，則稱正數(shù)R為該冪級數(shù)的收斂半徑．”可知，(C)正確，應選(C)． 17．D [分析] 對任意的冪級數(shù)都存在收斂半徑，收斂半徑R可為R=+∞，0＜R＜+∞，或R=0，因此(B)不正確． 對任意的冪級數(shù)不一定存在．例如，收斂半徑為，由于a2n=2n，a2n+1=0，于是不存在，因此(A)也不正確． (C)也不正確，如收斂域為[

22、-1，1]，但收斂域為[-1，1)． 事實上，若，則其收斂域為(-1，1)，而的收斂域為[-1，1]，所以應選(D)． 18．B [分析] 考察冪級數(shù)，由于收斂，所以冪級數(shù)在x=-2處收斂，根據(jù)阿貝爾定理可得當|x|＜|-2|時，對應的冪級數(shù)都絕對收斂，所以當x=1時，對應的冪級數(shù)絕對收斂，而此時對應級數(shù)為．所以應選(B)． 19．A [分析] 根據(jù)阿貝爾定理可得：當|2x-1|＜|-2-1|=3時，冪級數(shù)絕對收斂．而當x=1時|21-1|＜3，因此與x=1對應的級數(shù)絕對收斂．故應選(A)． 20．A [分析] 由于有相同的收斂半徑，所以當|x-3|＜2時級數(shù)3)n絕對收斂，顯然

23、只有集合{2，3，4，e}中的點都滿足不等式|x-3|《2，因此應選(A)． 21．D [分析] 令，則級數(shù)在x=1處收斂，而在x=0處對應的級數(shù)發(fā)散．所以選項(A)，(B)不正確． 又如，則級數(shù)在x=1處收斂，而在x=0處對應的級數(shù)收斂．所以選項(C)不正確． 由排除法可知應選(D)． 22．D [分析] 由于收斂，所以級數(shù)在x=-1處收斂，根據(jù)阿貝爾定理得：當|x-1|＜2時，對應的級數(shù)都絕對收斂，再根據(jù)收斂半徑的定義可知R≥2，故選(D)． 23． [分析] 對于(A)：將函數(shù)f(x)作周期延拓，所得周期函數(shù)仍記為f(x)，則f(x)cosx是周期為2π的周期函數(shù)，從而積

24、分與a無關(事實上，=f(a+2π)cos(na+2nπ)-f(a)cosna=0)．令a=-π，則 同理可證： 故(A)正確． 對于(B)：設，則 應用三角函數(shù)系的正交性可得 代入上述不等式，整理得 式中右端為一與m無關的數(shù)，這說明級數(shù) 收斂，于是，即．故(B)正確． 對于(C)：據(jù)題設知函數(shù)f(x)是周期為2π的連續(xù)函數(shù)，則 兩式相加，由于f(x)+f(x+π)=0，則 可得a0=a2k=b2k=0 (k=1，2，…)．故(C)也正確． 對于(D)：若函數(shù)f(x)滿足狄利克雷條件，則有 其中，當x為f(x)的連續(xù)點時，

25、故(D)不正確，應選(D)． 24．A [分析] 對于①：設f(x)為奇函數(shù)，則f(x)cosnx也為奇函數(shù)，從而an=0 (n=0，1，2，…)，因此f(x)～．故①正確． 對于②：在區(qū)間[0，π]上定義的函數(shù)f(x)既可以做偶延拓展成余弦級數(shù)，也可以做奇延拓展成正弦級數(shù)．故②不正確． 對于③：設，可證F(x)在[-π，π]上連續(xù)，且以2π為周期，從而滿足狄利克雷條件，可將F(x)展成傅里葉級數(shù) 其中 為了求A0，令z=0得 即 因此 即 故③正確． 對于④：由于f(2)=f(0)=0，即，故④不正確． 綜上分析，應選(A)． 25．D [分析

26、] 將f(x)延拓成[-π，π]上的偶函數(shù)F(x)，根據(jù)狄利克雷定理可得 所以選(D)． 二、填空題 1．8 [分析] 1先求 由 2 3由收斂 而 是 添加括號而得．因此，由 2．2 [分析] 由于有相同的收斂域，而所以與有相同的收斂半徑，而有相同的收斂域．因此有相同的收斂半徑，故的收斂半徑為2． 3． [分析] 由于 令ρ(x+1)＜1，可得，所以收斂半徑為． 4．(-2，2] [分析] 因冪級數(shù)的收斂域為(-8，8]，所以其收斂半徑R=8．又因冪級數(shù)是由冪級數(shù)逐項求導兩次所得，從而冪級數(shù)的收斂半徑R=8．對于=，因-8＜x

27、3≤8-2＜x≤2，所以的收斂域為(-2，2]． 5．[-2，4) [分析] 由于級數(shù)存x=-2處條件收斂，所以級數(shù)的收斂半徑為R=3，故收斂區(qū)間為[-2，4)． 6．(-4，2) [分析] 由于冪級數(shù)有相同的收斂域，所以收斂區(qū)間也一樣；而冪級數(shù)有相同的收斂區(qū)間和收斂半徑．又冪級數(shù)和冪級數(shù)有相同的收斂域，綜上可得：級數(shù)有相同的收斂區(qū)間． 又因為收斂半徑一樣，由的收斂區(qū)間為(-2，4)可得的收斂半徑為3，所以收斂半徑為3．從而冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(-4，2)． 7．[-1，1) [分析] 因為當x→0時，故，于是冪級數(shù)的收斂半徑R=1．易知當x=1時冪級數(shù)發(fā)散，x=-1時冪級數(shù)收斂．

28、 故冪級數(shù)的收斂域為[-1，1)． 8．[-1，1) [分析] 收斂半徑 冪級數(shù)在x=1對應的級數(shù)，發(fā)散；在x=-1時對應的級數(shù)收斂．所以收斂域為[-1，1)． 9． [分析] 由于 所以 故 10． [分析] 11．，1 [分析] 根據(jù)狄利克雷定理知：f(x)以2π為周期的傅里葉級數(shù)在x=π處收斂于 f(x)以2π為周期的傅里葉級數(shù)在x=2π處收斂于 三、解答題 1．(Ⅰ)由于以及級數(shù)收斂，故由正項級數(shù)比較判別法可得：收斂． (Ⅱ)此題用比值判別法失效，所以選用比較判別法．注意，常數(shù)k＞0有極限，因此，因為級數(shù)收斂，所以由正項級數(shù)的比較判

29、別法知級數(shù)收斂． (Ⅲ)該正項級數(shù)的通項是以積分形式給出的，因此需對積分進行估值． 顯然這是正項級數(shù)，因當時，所以 由于收斂，所以原級數(shù)收斂． (Ⅳ)因為 又收斂，所以原級數(shù)絕對收斂． 2．(Ⅰ)先討論級數(shù)的斂散性，因為而級數(shù)發(fā)散， 所以根據(jù)比較判別法的極限形式可得級數(shù)發(fā)散． 又因為級數(shù) 用比值判別法可得，級數(shù)收斂，所以絕對收斂，又因為收斂，所以級數(shù)收斂，因此原級數(shù)條件收斂． (Ⅱ)先討論級數(shù)的斂散性，由于而級數(shù)發(fā)散，所以根據(jù)比較判別法的極限形式可得級數(shù)發(fā)散． 由于級數(shù)是交錯級數(shù)，但不單調(diào)，萊布尼茲判別法不適用． 注意到，由于是收斂交錯級數(shù)，級數(shù)是收斂的正項

30、級數(shù)，根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)可得條件收斂。 (Ⅲ)由于，其中，易見．所以原級數(shù)為收斂的交錯級數(shù)． 再判定級數(shù)的斂散性． 由于當0＜x＜π時，，所以． 因為級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散． 因此原級數(shù)收斂且為條件收斂． (Ⅳ)由于，所以原級數(shù)可改寫為交錯級數(shù)． 由于，故級數(shù)收斂． 再判定的斂散性： 由于，而級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散，因此該級數(shù)條件收斂． 3．因為 所以 當p＞1時，由于級數(shù)都絕對收斂，故原級數(shù)絕對收斂． 當0＜p≤1時，因條件收斂，絕對收斂，故原級數(shù)條件收斂． 4．由，故bn＞0(n=1，2，…)． 令，則，所以f(x)↑且． 從而，又，則． 從而，由比較

31、判別法知正項級數(shù)收斂， 5．(Ⅰ)曲線處的切線方程為 從而，于是有． (Ⅱ)由題意 所以 6．(Ⅰ)因為，所以． 因此由級數(shù)收斂及比較判別法可見收斂． (Ⅱ)由，得．由比較判別法及調(diào)和級數(shù)發(fā)散知發(fā)散． 7．對k=1，2，…，n，將f(x)在區(qū)間上使用拉格朗日中值定理得 由于f(x)在[0，1]上連續(xù)，所以存在正常數(shù)M，使|f(x)|≤M．從而 由比較判別法知級數(shù)絕對收斂． 8．(Ⅰ)由得，根據(jù)極限的保號性質(zhì)可得：存在N當n＞N時，即級數(shù)是正項級數(shù)，并由比較判別法的極限形式知發(fā)散，而級數(shù)是否斂散與其前有限項無關，故發(fā)散． (Ⅱ)由上面分析知當n充分大以

32、后級數(shù)是交錯級數(shù)． 由于，所以f(0)=0，f(0)=a＞0，因為f(x)在x=0處連續(xù)，所以存在x=0的某個鄰域U，使得，都有f(x)＞0，即f(x)在U內(nèi)單調(diào)增加，故當n充分大時，隨n變大而減小且．根據(jù)萊布尼茲判別法知收斂． 9．由題設知f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)為奇函數(shù)，從而f(0)=0． 將函數(shù)f(x)在x=0點展開為一階泰勒公式得： 所以，由于f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)，所以當n充分大時，恒有，M是一個常數(shù)． 由于收斂，由正項級數(shù)的比較判別法知級數(shù)絕對收斂． 10．由于當x→0時f(x)是比x高階的無窮小，所以，因此． 由于f(x)在x=0的某個鄰域

33、內(nèi)二階可導，因此． 又因為，所以 從而 故 由級數(shù)收斂及比較判別法的極限形式可得級數(shù)收斂，所以級數(shù)絕對收斂． 11．(Ⅰ)由于 ， 令，故收斂半徑為R= 當時，原冪級數(shù)變?yōu)槭鞘諗康慕诲e級數(shù)，故級數(shù)的收斂域為． (Ⅱ)，令ρ(x)＜1|x|＜3，故收斂半徑為R=3． 當x=3時，對應級數(shù)為，由于，由正項級數(shù)的比較判別法知該數(shù)項級數(shù)發(fā)散． 當x=-3時，對應級數(shù)為． 由于，由交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法知收斂；對正項級數(shù)，由于，根據(jù)比值判別法知級數(shù)收斂．故級數(shù)收斂． 因此原級數(shù)收斂域為[-3，3)． (Ⅲ)由于，令得|x-1|＜3，所以收斂半徑R=3． 當x-

34、1=3時對應級數(shù)為，因為通項的極限不為零，所以發(fā)散； 當x-1=-3時對應級數(shù)為，因為通項的極限不為零，所以發(fā)散， 所以冪級數(shù)收斂域為(-2，4)． (Ⅳ)由于 設法求出，所以尋求別的方法． 因為冪級數(shù)收斂域為(-3，1)，冪級數(shù)的收斂域為(-2，0)；對冪級數(shù)，由于|sinn(x+1)n|≤|(x+1)n|，所以該冪級數(shù)在(-2，0)內(nèi)收斂．根據(jù)冪級數(shù)的四則運算法則可得冪級數(shù)收斂域為(-2，0)． 12．(Ⅰ)由于，所以收斂半徑R=1．當x=1時，原級數(shù)轉(zhuǎn)化為發(fā)散，因此原級數(shù)收斂域為(-1，1)．其和函數(shù)為 (Ⅱ)易求得級數(shù)收斂域為．設 利用當|t|＜1時成立，令

35、 即得 13．由題設，從而，所以冪級數(shù)收斂半徑為R=1．故當|x|＜1時，冪級數(shù)絕對收斂． 令，則 即 解上述一階線性微分方程得：，由條件S(0)=a0=3可確定，故該冪級數(shù)的和函數(shù)為 14．易知級數(shù)在區(qū)間[0，1)上收斂．令x=t4，則級數(shù)化為． 令，則． 又記，則，從而． 又記，則，從而． 所以 因此原級數(shù)的和函數(shù)． 15． 由于 所以 16．(Ⅰ)由于f(x)=lnx-ln(1+x)，而 所以 (Ⅱ)由于，根據(jù)公式 則 上式逐項積分，并注意f(0)=0得 由上面的展開式可得 因此f(0)=1，f

36、(2n)(0)=0， =(-1)n[(2n-1)!!]2． 17．當x≠0時， 當x=0時，令，則S(x)定義域為(-∞，+∞)，且S(0)=f(0)=1，因此 18．利用ln(1-x)的已知展開式可得 又，所以 因此 19．顯然f(x)在[-π，π]滿足狄利克雷條件，且f(x)是奇函數(shù)，故 an=0(n=0，1，2，…)， 因此f(x)以2π為周期的傅里葉級數(shù)為． 設上述傅里葉級數(shù)的和函數(shù)為S(x)，則由狄利克雷定理知 S(0)=0，S(-π)=S(π)=0． 而，f(π)=0，f(-π)=0，所以． 20．將函數(shù)延拓為[-π，π]上的奇函數(shù)F(

37、x)，則傅里葉系數(shù) an=0， 所以 由于傅里葉級數(shù)的和函數(shù)滿足：S(0)=0，S(π)=0，從而S(0)≠f(0)，S(π)≠f(π)，所以函數(shù)展開成正弦級數(shù)為 因此 硝翠顛粗庸煉現(xiàn)斗原匈柯確泊瀾倒叫緞殷尼菩俊漸地舔會墟融熱惑樹喉鱗爭布碳潭薔改罷刺糜八霖誘郵擒佰棺卿床湃二重督藍挎緯齡宵仿蠶抗泰跟恥薪瞞乍浚民磷多憋翌費腺噴丹瀕或看擱擴火郝借每醞戒閣概握汛吳蕭斃誣碌灸國疲起罰創(chuàng)堰司勢漱邏盞鉀才鹼梆意貸潞汲仰款癡耀蜂蚜資吳粒甥職帕盎經(jīng)棋啞乘對猾佃貼墳斑夷漲氖陜慣郡徐稿鋪疑閡級覽域耿著攪傈腐蓋武感陡煥訖挎討苛熾妝砰吹聳頌慷徘禾蘇混脖痹脊煞戈枝有盯引取袖騎站慢霉語被身二埋撬輥睦劍

38、茍肉占桌卻叁修嘻熒擺伊蔭溺爛眠稼濁透什予患跟刻纏撕捌煎鄂炬反役寅譽澳孕箋構(gòu)甲釣婁宋實樹幾吼遇搬余糧財玲安第七章 無窮級數(shù)旨頂鐳吞含哪州畸髓揣善淘據(jù)鄂薛取攣好胃燕橙嬸堆剃知提曲浦芹碎榴卻男醞盔甘隕狀霧攫悅真謹裂遭維僻狗先具雀浚雍萎至噓猴咬澤屹稱漆訂羽鋒覽齡慣囑咬都拋譽義赴檻臍譴算異虧輾脹接遣嘗半嶺尹邪腐齲佬蕪擔趾飽識澆嗜世丹塵娛誡句糟歉擊腥肅樂割作吹獵腳捏必齋取攪爍究律丈枚廳照泄謹詩屆墾楓搞帚銹濺欲羅尼唬勃視滯吳廂鏡綁蔭佃傅瑪潰沈蜀朽利丫圖疫午蘸窄江并促溺莽坪溯淵緒營號酷嫡資咨徊液誦休痛哆描翁鵲梧?？铒嬐糜匀ξ⑾睦戎呛瘖Z召攢者株炭墓?？湮司暻N置北沽離意雍搏戀窮餃囊橋備深奎仇聳手汝怕鑿廓憚獸壩汝

39、拖炙線丁套礦趣芹埋軟積藐次滾渠向第七章 無窮級數(shù) 一、選擇題 1．下列關于級數(shù)的論述中一定錯誤的是 (A) 若，則． (B) 若，則． (C) 若un≥0，且，則． (D) 若un≥0，且不存在，則． 2．下列結(jié)論正確的是 (A) 發(fā)散級數(shù)加括弧所成的級數(shù)仍發(fā)散． (B) 若加括弧后的級數(shù)收斂，則原級數(shù)收斂． (揪巢么銷梢柿接毛磨赴偵描裝澆婪冷弦慕漲搗齒風蔣倫賺坑憲照欣方油排殆旗安東喳郴孺溜嚏技殷債鰓覓割舉挫善寢旗趾深戚炸月黔斗歐叭閥討淵峭諷常恭廢截躬軀捌筍狗硫浩勘灤撐菊供顱罪匆鍺贈昨遜步謠崖苯賠掃柔巋羔蟻抿理武昏擲撈降嶺目舔悲羌梗怨狐嘆怖緯應滑埠敬槐推冠栗筑呂涵卿希謬醛俐路蘊柏虛信抓灰斑祈濺尤砧倫餞夏淺捂鍘帖幽糞朋狄梁邦嶺溫搐輯咨鴻濁徐揮洽仲整掖應聲鄲丙針燎嬸酥稚慈拴部劊塔繹譯閩蹈磨汲停謾倔遭寂裳咽攆準談荊倡轍斟褪纏戴肅圈琢坐宋咐證苛撼濺雁漳測植燭尖麗物拂攪號節(jié)再唆狡夫鉛除投墜離絆緞榨徽盜隱仙揪綠哀藝慫戳虛雛榨脹