高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第7節(jié) 正弦定理和余弦定理學案 理 北師大版

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1、 第七節(jié)　正弦定理和余弦定理 [考綱傳真]　(教師用書獨具)掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題． (對應學生用書第61頁) [基礎知識填充] 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 內容 ＝＝＝2R.(R為△ABC外接圓半徑) a2＝b2＋c2－2bc·cos A； b2＝c2＋a2－2ca·cos B； c2＝a2＋b2－2ab·cos C 變形形式 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin

2、A＝，sin B＝，sin C＝ cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的個數(shù) 一解 兩解 一解 一解 3.三角形常用面積公式 (1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r為內切圓半徑)． [知識拓展] 1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B． 2．合比定

3、理：＝＝2R. 3．在銳角三角形中①A＋B＞；②若A＝，則＜B，C＜. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)在△ABC中，若A＞B，則必有sin A＞sin B．(　　) (2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，則△ABC為銳角三角形．(　　) (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，則B＝45°或135°.(　　) (4)在△ABC中，＝.(　　) [解析]　(1)正確．A＞B?a＞b?sin A＞sin B． (2)錯誤．由cos A＝＞0知，A為銳角，但△ABC

4、不一定是銳角三角形． (3)錯誤．由b＜a知，B＜A． (4)正確．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知結論正確． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，則sin B＝(　　) A．　　　 B． C． D．1 B　[根據(jù)＝，有＝，得sin B＝.故選B．] 3．(20xx·全國卷Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝(　　) A． B． C．2 D．3 D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b

5、×2×， 解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D．] 4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，則△ABC的面積為________． 4　[∵cos C＝，0＜C＜π， ∴sin C＝， ∴S△ABC＝absin C ＝×3×2×＝4.] 5．(教材改編)在△ABC中，acos A＝bcos B，則這個三角形的形狀為________． 等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝， 所以這個三角形為等腰三角

6、形或直角三角形．] (對應學生用書第62頁) 利用正、余弦定理解三角形 　(20xx·廣州綜合測試(二))△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcos C＋bsin C＝a. (1)求角B的大?。? (2)若BC邊上的高等于a，求cos A的值． [解]　(1)因為bcos C＋bsin C＝a， 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin A． 因為A＋B＋C＝π， 所以sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin(B＋C)． 即sin Bcos C＋sin Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bs

7、in C． 因為sin C≠0，所以sin B＝cos B． 因為cos B≠0，所以tan B＝1. 因為B∈(0，π)，所以B＝. (2)法一：設BC邊上的高線為AD，則AD＝a. 因為B＝，則BD＝AD＝a，CD＝a. 所以AC＝＝a，AB＝a. 由余弦定理得cos∠BAC＝＝－. 所以cos∠BAC的值為－. 法二：設BC邊上的高線為AD，則AD＝a. 因為B＝，則BD＝AD＝a，CD＝a. 所以AC＝＝a，AB＝a. 由正弦定理得＝， 則sin∠BAC＝＝＝. 在△ABC中，由AB＜AC，得C＜B＝， 所以∠BAC為鈍角． 所以cos∠BAC＝－＝－.

8、 所以cos∠BAC的值為－. [規(guī)律方法]　1.正弦定理是一個連比等式，只要知道其比值或等量關系就可以運用正弦定理通過約分達到解決問題的目的. 2.(1)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用. (2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它邊角的問題時，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大角”在判定中的應用. (3)重視在余弦定理中用均值不等式，實現(xiàn)a2＋b2，ab，a＋b三者的互化.) [跟蹤訓練]　(1)(20xx·全國卷Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝_______

9、_. (2)(20xx·全國卷Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，則B＝________. (1)　(2)60°　[(1)在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝， ∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 又∵＝，∴b＝＝＝. (2)法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理， 得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A． ∴2sin Bcos B＝sin(

10、A＋C)． 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B． ∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B． 又sin B≠0，∴cos B＝.∴B＝. 法二：∵在△ABC中，acos C＋ccos A＝b， ∴條件等式變?yōu)?bcos B＝b，∴cos B＝. 又0＜B＜π，∴B＝.] 判斷三角形的形狀 　(1)設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) 【導學號：79140131】 A．銳角三角形　　　 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 (2)在△ABC中，角A，B，

11、C的對邊分別為a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為(　　) A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 (1)B　(2)C　[(1)由已知及正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， 即sin(B＋C)＝sin2A，又sin(B＋C)＝sin A， ∴sin A＝1，∴A＝.故選B． (2)∵＝，∴＝，∴b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等邊三角形．] ([規(guī)律方法]　判定三角形形狀的

12、兩種常用途徑 (1)化角為邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷. (2)化邊為角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷. 易錯警示：無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式；要移項提取公因式，否則會有漏掉一種情況的可能. [跟蹤訓練]　設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 B　[法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝si

13、n Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因為－π＜A－B＜π，所以A＝B． 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c?a2＝b2?a＝b.] 與三角形面積有關的問題 　(20xx·全國卷Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2. (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b. [解]　(1)由題設及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2， 故sin B＝4(1－cos B)． 上式兩邊平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0

14、， 解得cos B＝1(舍去)，或cos B＝. 故cos B＝. (2)由cos B＝得sin B＝， 故S△ABC＝acsin B＝ac. 又S△ABC＝2，則ac＝. 由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4. 所以b＝2. [規(guī)律方法]　三角形面積公式的應用方法 (1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式. (2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化，所以解決此類問題通常圍繞某個已知角

15、，將余弦定理和面積公式都寫出來，尋求突破. [跟蹤訓練]　(20xx·深圳二調)已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，2b＝asin B＋bcos A，c＝4. (1)求A； (2)若D是BC的中點，AD＝，求△ABC的面積. 【導學號：79140132】 [解]　(1)由2b＝asin B＋bcos A及正弦定理， 又0＜B＜π， 可得2＝sin A＋cos A， 即有sin＝1， ∵0＜A＜π，∴＜A＋＜， ∴A＋＝，∴A＝. (2)設BD＝CD＝x，則BC＝2x， 由余弦定理得cos∠BAC＝＝， 得4x2＝b2－4b＋16.① ∵∠ADB＝180°－∠ADC， ∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0， 由余弦定理得＋＝0， 得2x2＝b2＋2.② 聯(lián)立①②，得b2＋4b－12＝0，解得b＝2(舍負)， ∴S△ABC＝bcsin∠BAC＝×2×4×＝2.