人教版 高中數(shù)學(xué)選修23 教學(xué)案1.1 第一課時　兩個計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用

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1、2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué) 第一課時　兩個計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用 預(yù)習(xí)課本P2～6，思考并完成以下問題 1．什么是分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理？ 2．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？ 　　　 1．分類加法計數(shù)原理 2．分步乘法計數(shù)原理 [點睛] 兩個原理的區(qū)別 區(qū)別一 每類方法都能獨(dú)立完成這件事．它是獨(dú)立的、一次的且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就完成 任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步也不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事 區(qū)別二 各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的

2、 各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)、也不能遺漏 1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．(　　) (3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(　　) (4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)2本好書，決定

3、至少買其中一本，則購買方式共有(　　) A．1種　　　　　　　　 　B．2種 C．3種 D．4種 答案：C 3．從10名任課教師，54名同學(xué)中，選1人參加元旦文藝演出，共有________種不同的選法． 答案：64 4．一個袋子里放有6個球，另一個袋子里放有8個球，每個球各不相同，從兩個袋子里各取一個球，共有_____種不同的取法． 答案：48 分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用 [典例]　在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為__________． [解析]　(1)法一：根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一

4、類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)． 法二：分析個位數(shù)字，可分以下幾類： 個位是9，則十位可以是1,2,3，…，8中的一個，故共有8個； 個位是8，則十位可以是1,2,3，…，7中的一個，故共有7個； 同理，個位是7的有6個； …… 個位是2的有1個． 由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)． [答案]　36 [一題多變] 1．[變條件]若本例條件變?yōu)閭€位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少

5、個． 解：當(dāng)個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個． 當(dāng)個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7,8,9，共3個． 當(dāng)個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9，共5個． 同理可知，當(dāng)個位數(shù)字是2時，共7個， 當(dāng)個位數(shù)字是0時，共9個． 由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個)． 2．[變條件，變設(shè)問]用1,2,3這3個數(shù)字可以寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)________個． 解析：分三類：第一類為一位整數(shù)，有3個； 第二類為兩位整數(shù)，有12,21,23,32,13,31，共6個； 第三類為三位整數(shù)，有123,132,231,213,321,312，共6

6、個， ∴共寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)3＋6＋6＝15個． 答案：15 利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程 分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用 [典例]　從1,2,3,4中選三個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，則分別滿足下列條件的數(shù)有多少個？ (1)三位數(shù)； (2)三位數(shù)的偶數(shù)． [解]　(1)三位數(shù)有三個數(shù)位， 故可分三個步驟完成： 第1步，排個位，從1,2,3,4中選1個數(shù)字，有4種方法； 第2步，排十位，從剩下的3個數(shù)字中選1個，有3種方法； 第3步，排百位，從剩下的2個數(shù)字中選1個，有2種方法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理， 共有4×3×2＝2

7、4個滿足要求的三位數(shù)． (2)分三個步驟完成： 第1步，排個位，從2,4中選1個，有2種方法； 第2步，排十位，從余下的3個數(shù)字中選1個，有3種方法； 第3步，排百位，只能從余下的2個數(shù)字中選1個，有2種方法． 故共有2×3×2＝12個三位數(shù)的偶數(shù)． 利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程 [活學(xué)活用] 某商店現(xiàn)有甲種型號電視機(jī)10臺， 乙種型號電視機(jī)8臺， 丙種型號電視機(jī)12臺， 從這三種型號的電視機(jī)中各選1臺檢驗， 有多少種不同的選法？ 解：從這三種型號的電視機(jī)中各選1臺檢驗可分三步完成： 第一步，從甲種型號中選1臺，有10種不同的選法； 第

8、二步，從乙種型號中選1臺，有8種不同的選法； 第三步，從丙種型號中選1臺，有12種不同的選法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法共有10×8×12＝960種． 兩個計數(shù)原理的簡單綜合應(yīng)用 [典例]　在7名學(xué)生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)在從7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？ [解]　選參加象棋比賽的學(xué)生有兩種方法：在只會下象棋的3人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選；選參加圍棋比賽的學(xué)生也有兩種選法：在只會下圍棋的2人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選．互相搭

9、配，可得四類不同的選法． 從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽有3×2＝6種選法； 從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽有3×2＝6種選法； 從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽有2×2＝4種選法； 2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生分別參加象棋比賽和圍棋比賽有2種選法． ∴共有6＋6＋4＋2＝18種選法．所以共有18種不同的選法． 利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點 (

10、1)當(dāng)題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法． (2)分類時標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時要恰當(dāng)畫出示意圖或樹形圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律． (3)綜合問題一般是先分類再分步．　　　　　　 [活學(xué)活用] 某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會，已知甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況為多少種？ 解：分兩類：第一類是甲企業(yè)有1人發(fā)言，有2種情況，另2個發(fā)言人來自其余4家企業(yè)，有6種情況，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有2×

11、;6＝12(種)情況； 另一類是3人全來自其余4家企業(yè)，共有4種情況．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得共有12＋4＝16(種)情況． 層級一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．從甲地到乙地一天有汽車8班，火車3班，輪船2班，某人從甲地到乙地，他共有不同的走法數(shù)為(　　) A．13種　　　　　　　 　B．16種 C．24種 D．48種 解析：選A　應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，不同走法數(shù)為8＋3＋2＝13(種)． 2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，則(x，y)可表示不同的點的個數(shù)是(　　) A．1 B．3 C．6 D．9 解析：選D　這件事可分為兩步完成：第一步，在集合

12、{2,3,7}中任取一個值x有3種方法；第二步，在集合{－31，－24,4}中任取一個值y有3種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，有3×3＝9個不同的點． 3．甲、乙兩人從4門課程中各選修1門，則甲、乙所選的課程不相同的選法共有(　　) A．6種 B．12種 C．30種 D．36種 解析：選B　∵甲、乙兩人從4門課程中各選修1門，∴由分步乘法計數(shù)原理，可得甲、乙所選的課程不相同的選法有4×3＝12種． 4．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為(　　) A．40 B．16 C．13 D．10 解析：選C

13、　分兩類：第1類，直線a與直線b上8個點可以確定8個不同的平面； 第2類，直線b與直線a上5個點可以確定5個不同的平面． 故可以確定8＋5＝13個不同的平面． 5．給一些書編號，準(zhǔn)備用3個字符，其中首字符用A，B，后兩個字符用a，b，c(允許重復(fù))，則不同編號的書共有(　　) A．8本 B．9本 C．12本 D．18本 解析：選D　需分三步完成，第一步首字符有2種編法，第二步，第二個字符有3種編法，第三步，第三個字符有3種編法，故由分步乘法計數(shù)原理知不同編號共有2×3×3＝18種． 6．一個禮堂有4個門，若從任一個門進(jìn)，從任一門出，共有不同走法____

14、____種． 解析：從任一門進(jìn)有4種不同走法，從任一門出也有4種不同走法，故共有不同走法4×4＝16種． 答案：16 7．將三封信投入4個郵箱，不同的投法有________種． 解析：第一封信有4種投法，第二封信也有4種投法，第三封信也有4種投法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有不同投法43＝64種． 答案：64 8．如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導(dǎo)致電路不通．今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有________種． 解析：按照焊接點脫落的個數(shù)進(jìn)行分類： 第1類，脫落1個，有1,4，共2種； 第2類，脫落2個，有(1,4)，(2,3)

15、，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6種； 第3類，脫落3個，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4種； 第4類，脫落4個，有(1,2,3,4)，共1種． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有2＋6＋4＋1＝13種焊接點脫落的情況． 答案：13 9．若x，y∈N*，且x＋y≤6，試求有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)． 解：按x的取值進(jìn)行分類： x＝1時，y＝1,2，…，5，共構(gòu)成5個有序自然數(shù)對； x＝2時，y＝1,2，…，4，共構(gòu)成4個有序自然數(shù)對； … x＝5時，y＝1，共構(gòu)成1個有序自然數(shù)對． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N＝5＋4＋

16、3＋2＋1＝15個有序自然數(shù)對． 10．現(xiàn)有高一四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組． (1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？ 解：(1)分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法． 所以共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)． (2)分四步：第一、二、三、四步分別從

17、一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長． 所以共有不同的選法N＝7×8×9×10＝5 040(種)． (3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法． 所以，共有不同的選法 N＝7×8＋7×9＋7×10

18、＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)． 層級二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全展開后的項數(shù)為(　　) A．9　　　　　　　　 　B．12 C．18 D．24 解析：選B　每個括號內(nèi)各取一項相乘才能得到展開式中的一項，由分步乘法計數(shù)原理得，完全展開后的項數(shù)為2×2×3＝12． 2．(2016·全國卷Ⅰ)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) A．24 B．18 C．

19、12 D．9 解析：選B　由題意可知E→F有6種走法，F(xiàn)→G有3種走法，由分步乘法計數(shù)原理知，共6×3＝18種走法，故選B． 3．如圖所示，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的線段表示它們有網(wǎng)線相連．連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以從分開不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為(　　) A．26 B．24 C．20 D．19 解析：選D　因信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，由分類計數(shù)原理，完成從A向B傳遞有四種方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故單位時間內(nèi)傳遞的最大信

20、息量為四條不同網(wǎng)線上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故選D． 4．4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為(　　) A． B． C． D． 解析：選D　4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動的情況有24＝16(種)，其中僅在周六(周日)參加的各有1種，∴所求概率為1－＝． 5．圓周上有2n個等分點(n大于2)，任取3個點可得一個三角形，恰為直角三角形的個數(shù)為________． 解析：先在圓周上找一點，因為有2n個等分點，所以應(yīng)有n條直徑，不過該點的直徑應(yīng)有n－1條，這n－1條直徑都可以與該點形成直角三角形，即

21、一個點可形成n－1個直角三角形，而這樣的點有2n個，所以一共可形成2n(n－1)個符合條件的直角三角形． 答案：2n(n－1) 6．將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號為1,2,3,4的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不同的填法有________種． 解析：將數(shù)字1填入第2方格，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即2143,3142,4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對應(yīng)著3種填法，因此共有填法為3×3＝9(種)． 答案：9 7．某校高二共有三個班，各班人數(shù)如下表． 男生人數(shù) 女生人數(shù)

22、總?cè)藬?shù) 高二(1)班 30 20 50 高二(2)班 30 30 60 高二(3)班 35 20 55 (1)從三個班中選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？ (2)從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，有多少種不同的選法？ 解：(1)從每個班選1名學(xué)生任學(xué)生會主席，共有3類不同的方案： 第1類，從高二(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法； 第2類，從高二(2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法； 第3類，從高二(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從三個班中選1

23、名學(xué)生任學(xué)生會主席，共有50＋60＋55＝165種不同的選法． (2)從高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，共有3類不同的方案： 第1類，從高二(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法； 第2類，從高二(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法； 第3類，從高二(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，從高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，共有30＋30＋20＝80種不同的選法． 8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均為實數(shù)． (1)從集合A到集合B能構(gòu)成多少個不同的映射？ (2)能構(gòu)成多少個以集合A為定義域，集合B為值域的不同函數(shù)？ 解：(1)因為集合A中的每個元素ai(i＝1,2,3,4)與集合B中元素的對應(yīng)方法都有2種，由分步乘法計數(shù)原理，可構(gòu)成A→B的映射有N＝24＝16個． (2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均對應(yīng)同一元素b1或b2的情形此時構(gòu)不成以集合A為定義域，以集合B為值域的函數(shù)，這樣的映射有2個． 所以構(gòu)成以集合A為定義域，以集合B為值域的函數(shù)有M＝16－2＝14個．